Toán Bài tập chứng minh

aiyatori

Học sinh
Thành viên
Áp dụng Cauchy cho từng cặp ta có
a^4 + b^4 >= 2a^2b^2
b^4 + c^4 >= 2b^2c^2
a^4 + c^4 >= 2a^2c^2
--------------------------------------...
Cộng vế theo vế ta có:
=> 2a^4 + 2b^4 + 2c^4 >= 2(a^2b^2 + b^2c^2 + a^2c^2)
<=> a^4 + b^4 + c^4 >= a^2b^2 + b^2c^2 + a^2c^2 (1)
Áp dụng Cauchy lần nữa ta có:
a^2b^2 + b^2c^2 = b^2 (a^2 +c^2) >= b^2(2ac)
b^2c^2 + a^2c^2 = c^2 (b^2 + a^2) >= c^2(2ba)
a^2b^2 + a^2c^2 = a^2 (b^2 + c^2) >= a^2(2bc)
--------------------------------------...
Cộng vế theo vế ta có
=> 2(a^2b^2 + b^2c^2 + a^2c^2) >= 2[b^2(ac) + c^2(ba) + a^2(bc)]
<=> a^2b^2 + b^2c^2 + a^2c^2 >= b^2(ac) + c^2(ba) + a^2(bc)
<=> ......................................>= abc ( b + c + a) (2)
từ (1) và (2) ta có điều fài chứng minh.

Chúc bạn may mắn trong học tập ! ;);)
 

Trịnh Hoàng Quân

Học sinh tiến bộ
Thành viên
15 Tháng ba 2017
540
664
169
22
[tex]a^{4}+b^{4}+c^{4}\geq abc(a+b+c)[/tex]
gif.latex

gif.latex

gif.latex
 

Duy Đức CB

Học sinh mới
Thành viên
2 Tháng tư 2017
22
7
16
21
Áp dụng Cauchy cho từng cặp ta có
a^4 + b^4 >= 2a^2b^2
b^4 + c^4 >= 2b^2c^2
a^4 + c^4 >= 2a^2c^2
--------------------------------------...
Cộng vế theo vế ta có:
=> 2a^4 + 2b^4 + 2c^4 >= 2(a^2b^2 + b^2c^2 + a^2c^2)
<=> a^4 + b^4 + c^4 >= a^2b^2 + b^2c^2 + a^2c^2 (1)
Áp dụng Cauchy lần nữa ta có:
a^2b^2 + b^2c^2 = b^2 (a^2 +c^2) >= b^2(2ac)
b^2c^2 + a^2c^2 = c^2 (b^2 + a^2) >= c^2(2ba)
a^2b^2 + a^2c^2 = a^2 (b^2 + c^2) >= a^2(2bc)
--------------------------------------...
Cộng vế theo vế ta có
=> 2(a^2b^2 + b^2c^2 + a^2c^2) >= 2[b^2(ac) + c^2(ba) + a^2(bc)]
<=> a^2b^2 + b^2c^2 + a^2c^2 >= b^2(ac) + c^2(ba) + a^2(bc)
<=> ......................................>= abc ( b + c + a) (2)
từ (1) và (2) ta có điều fài chứng minh.

Chúc bạn may mắn trong học tập ! ;);)
"Áp dụng Cauchy"
nó là gì thế anh em chưa học nên chưa biết,anh giải thích với cho em xin 1 vd với
 

Nữ Thần Mặt Trăng

Cựu Mod Toán
Thành viên
TV BQT tích cực 2017
28 Tháng hai 2017
4,472
5,490
779
Hà Nội
THPT Đồng Quan
:) vậy bạn cho mình lý thuyết của cái đó cho mình tham khảo được không.Mình cảm ơn trướt.
bạn có thể tham khảo trên mạng nha nó chỉ áp dụng vs 2 số ko âm thôi bạn ạ
Theo mk thì bài trên cx ko hẳn phải áp dụng BĐT Cauchy
Nó luôn đúng vs mọi trường hợp mà :D
x^2+y^2≥2xy
<=> x^2-2xy+y^2≥0
<=> (x-y)^2≥0 (luôn đúng)
 

Duy Đức CB

Học sinh mới
Thành viên
2 Tháng tư 2017
22
7
16
21
bạn có thể tham khảo trên mạng nha nó chỉ áp dụng vs 2 số ko âm thôi bạn ạ
Theo mk thì bài trên cx ko hẳn phải áp dụng BĐT Cauchy
Nó luôn đúng vs mọi trường hợp mà :D
x^2+y^2≥2xy
<=> x^2-2xy+y^2≥0
<=> (x-y)^2≥0 (luôn đúng)
trời mình biết cái này rồi :) . mình cũng cảm ơn bạn.
 

chi254

Cựu Mod Toán
Thành viên
12 Tháng sáu 2015
3,306
3
4,627
724
Nghệ An
THPT Bắc Yên Thành
[tex]a^{4}+b^{4}+c^{4}\geq abc(a+b+c)[/tex]
Mình làm cách khác cho bạn dễ hiểu hơn nhé ^^
Ta có : $(x - y)^2 + (y-z)^2 + (z - x)^2 \geq 0$
$2(x^2 + y^2 + z^2 - xy - yz - zx) \geq 0$
$x^2 + y^2 + z^2 - xy - yz - zx \geq 0$
$x^2 + y^2 + z^2 \geq xy + yz + zx$ (1)
Áp dụng bất đẳng thức (1) ta có :
$a^4 + b^4 + c^4 \geq a^2b^2 + b^2c^2 + c^2a^2$
Lại áp dụng bất đẳng thức (1) ta có :
$a^2b^2 + b^2c^2 + c^2a^2 \geq ab^2c + abc^2 + a^2bc = abc(a + b + c)$
Vậy $a^4 + b^4 + c^4 \geq abc(a + b + c)$
 

Phạm Đức Anh

Học sinh
Thành viên
23 Tháng tư 2017
24
1
31
21
giải hộ mình bài này với
tính tuổi của hai mẹ con hiện nay biết rằng cách đây 4 năm tuổi mẹ gấp 5 lần tuổi con 2 năm sau tuổi mẹ gấp 3 lần tuổi con
 

machung25112003

Học sinh tiến bộ
Thành viên
2 Tháng tư 2017
1,227
1,041
264
Hà Nội
giải hộ mình bài này với
tính tuổi của hai mẹ con hiện nay biết rằng cách đây 4 năm tuổi mẹ gấp 5 lần tuổi con 2 năm sau tuổi mẹ gấp 3 lần tuổi con
gọi tuổi mẹ hiện nay là x (tuổi)(x thuộc N*, x > 4)
tuổi mẹ cách đây 4 năm là x - 4 (tuổi)
tuổi con cách đây 4 năm là (x - 4)/5 (tuổi)
tuổi mẹ 2 năm sau là x + 2 (tuổi)
tuổi con 2 năm sau là (x + 2)/3 (tuổi)
tuổi mẹ 2 năm sau cách tuổi mẹ cách đây 4 năm là (x + 2) - (x - 4) = 6 (năm)
Vì mỗi năm mẹ tăng thêm một tuổi thì con tăng thêm một tuổi nên ta có phương trình:
(x - 4)/5 + 6 = (x + 2)/3
<=> 3(x - 4)/15 + 90/15 = 5(x + 2)/15
<=> 3(x - 4) + 90 = 5(x + 2)
<=> 3x -12 +90 = 5x +10
<=> 5x - 3x = 90 - 12 -10
<=> 2x = 68
<=> x = 34 (tmđk)
Vậy tuổi mẹ hiện nay là 34 tuổi.
tuổi con hiện nay là (34 + 2)/3 - 2 = 10 tuổi.
 
Top Bottom