- 24 Tháng mười 2018
- 1,616
- 1,346
- 216
- 24
- TP Hồ Chí Minh
- Đại học Sư phạm Kỹ thuật TP Hồ Chí Minh
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!
ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.
I. lý thuyết
- trong hệ trục tọa độ Oxy: đường thẳng không qua gốc tọa độ cắt trục Ox tại A(a;0) và cắt trục Oy tại B(0;b) có phương trình theo đoạn chắn là:
[tex]\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1[/tex]
- trong không gian hệ trục tọa độ Oxyz: mặt phẳng (P) không qua gốc tọa độ cắt trục Ox tại A(a;0;0), cắt trục Oy tại B(0;b;0) và cắt trục Oz tại C(0;0;c) có phương trình theo mặt chắn là:
[tex]\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1[/tex]
- ngoài các phương trình theo đoạn chắn, mặt chắn, ta cũng cần phải nắm được một số bất đẳng thức cơ bản để xử lý được bài toán:
+ Bất đẳng thức Cauchuy:
[tex]x+y\geq2 \sqrt{xy};x,y\geq 0[/tex]
[tex]x+y+z\geq 3\sqrt[3]{xyz};x,y,z\geq 0[/tex]
+ bất đẳng thức Cauchuy-Shwarz:
[tex]-\sqrt{(a_1^2+a_2^2)(b_1^2+b_1^2)}\leq (a_1.b_1+a_2.b_2)\leq \sqrt{(a_1^2+a_2^2)(b_1^2+b_1^2)}[/tex]
[tex]-\sqrt{(a_1^2+a_2^2+a_3^2)(b_1^2+b_1^2+b_3^2)}\leq (a_1.b_1+a_2.b_2+a_3.b_3)\leq \sqrt{(a_1^2+a_2^2+a_3^2)(b_1^2+b_1^2+b_3^2)}[/tex]
[tex]\frac{a^2}{m}+\frac{b^2}{n}\geq \frac{(a+b)^2}{m+n}[/tex]
[tex]\frac{a^2}{m}+\frac{b^2}{n}+\frac{c^2}{p}\geq \frac{(a+b+c)^2}{m+n+p}[/tex]
II. Bài toán ví dụ:
* ví dụ 1: trên mặt phẳng Oxy, đường thẳng d qua M(1;4) cắt tia Ox, Oy lần lượt tại A và B. tính diện tích nhỏ nhất của tam giác OAB.
- giả sử A(a;0), B(0;b). theo phương trình đoạn chắn ta viết được pt đường thẳng d: [tex]\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1[/tex].
- cắt tia nên a,b>0. ta có diện tích tam giác OAB là [tex]\frac{1}{2}ab[/tex].
- d đi qua M nên: [tex]1=\frac{1}{a}+\frac{4}{b}\geq 2\sqrt{\frac{4}{ab}}<=>\sqrt{ab}\geq 4<=>ab\geq 16<=>S=\frac{1}{2}ab\geq 8[/tex].
vậy, Smin = 8.
* ví dụ 2: trong không gian Oxyz, mặt phẳng (P) đi qua điểm M(1;2;3) và cắt Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B, C. H là hình chiếu vuông góc của O lên (P). tính GTNN của OH.
- ta có pt mặt chắn của P: [tex]\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1[/tex]
(P) đi qua M nên: [tex]\frac{1}{a}+\frac{2}{b}+\frac{3}{c}=1[/tex]
[tex]1=\frac{1}{a}+\frac{2}{b}+\frac{3}{c}\leq \sqrt{(1^2+2^2+3^2)(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2})}=\sqrt{14.\frac{1}{OH^2}}=>OH\leq \sqrt{14}[/tex]
* một vài ví dụ trên cho ta thấy hướng đi chung cho bài bài đoạn chắn, mặt chắn.
- trong hệ trục tọa độ Oxy: đường thẳng không qua gốc tọa độ cắt trục Ox tại A(a;0) và cắt trục Oy tại B(0;b) có phương trình theo đoạn chắn là:
[tex]\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1[/tex]
- trong không gian hệ trục tọa độ Oxyz: mặt phẳng (P) không qua gốc tọa độ cắt trục Ox tại A(a;0;0), cắt trục Oy tại B(0;b;0) và cắt trục Oz tại C(0;0;c) có phương trình theo mặt chắn là:
[tex]\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1[/tex]
- ngoài các phương trình theo đoạn chắn, mặt chắn, ta cũng cần phải nắm được một số bất đẳng thức cơ bản để xử lý được bài toán:
+ Bất đẳng thức Cauchuy:
[tex]x+y\geq2 \sqrt{xy};x,y\geq 0[/tex]
[tex]x+y+z\geq 3\sqrt[3]{xyz};x,y,z\geq 0[/tex]
+ bất đẳng thức Cauchuy-Shwarz:
[tex]-\sqrt{(a_1^2+a_2^2)(b_1^2+b_1^2)}\leq (a_1.b_1+a_2.b_2)\leq \sqrt{(a_1^2+a_2^2)(b_1^2+b_1^2)}[/tex]
[tex]-\sqrt{(a_1^2+a_2^2+a_3^2)(b_1^2+b_1^2+b_3^2)}\leq (a_1.b_1+a_2.b_2+a_3.b_3)\leq \sqrt{(a_1^2+a_2^2+a_3^2)(b_1^2+b_1^2+b_3^2)}[/tex]
[tex]\frac{a^2}{m}+\frac{b^2}{n}\geq \frac{(a+b)^2}{m+n}[/tex]
[tex]\frac{a^2}{m}+\frac{b^2}{n}+\frac{c^2}{p}\geq \frac{(a+b+c)^2}{m+n+p}[/tex]
II. Bài toán ví dụ:
* ví dụ 1: trên mặt phẳng Oxy, đường thẳng d qua M(1;4) cắt tia Ox, Oy lần lượt tại A và B. tính diện tích nhỏ nhất của tam giác OAB.
- giả sử A(a;0), B(0;b). theo phương trình đoạn chắn ta viết được pt đường thẳng d: [tex]\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1[/tex].
- cắt tia nên a,b>0. ta có diện tích tam giác OAB là [tex]\frac{1}{2}ab[/tex].
- d đi qua M nên: [tex]1=\frac{1}{a}+\frac{4}{b}\geq 2\sqrt{\frac{4}{ab}}<=>\sqrt{ab}\geq 4<=>ab\geq 16<=>S=\frac{1}{2}ab\geq 8[/tex].
vậy, Smin = 8.
* ví dụ 2: trong không gian Oxyz, mặt phẳng (P) đi qua điểm M(1;2;3) và cắt Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B, C. H là hình chiếu vuông góc của O lên (P). tính GTNN của OH.
- ta có pt mặt chắn của P: [tex]\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1[/tex]
(P) đi qua M nên: [tex]\frac{1}{a}+\frac{2}{b}+\frac{3}{c}=1[/tex]
[tex]1=\frac{1}{a}+\frac{2}{b}+\frac{3}{c}\leq \sqrt{(1^2+2^2+3^2)(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2})}=\sqrt{14.\frac{1}{OH^2}}=>OH\leq \sqrt{14}[/tex]
* một vài ví dụ trên cho ta thấy hướng đi chung cho bài bài đoạn chắn, mặt chắn.
