Toán Đại số thi THPT khó

[trunghieule2807]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:
[tex]\frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}+\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}+\frac{c^{2}+a^{2}-b^{2}}{2ca}> 1[/tex]

 

[Saukhithix2]

Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:
[tex]\frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}+\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}+\frac{c^{2}+a^{2}-b^{2}}{2ca}> 1[/tex]

Vì a,b,c là 3 cạnh tam giác nên a;b;c>0
Ta có a^2+b^2>2ab(Cauchy)
=>(a^2+b^2-c^2/2ab)>1-(c^2/2ab)
Tương tự với 2 phân thức còn lại
=>biểu thức đã cho>3-((c^2/2ab)+(a^2/2bc)+(b^2/2ac))
Áp dụng Cauchy cho 3 số dương thì biểu thức đã cho>3/2 tức là sẽ lớn hơn 1
Vậy là có đpcm
Trên đây là 1 cách chứng minh đơn giản bạn hỏi mod xem hỏi @iceghost
Mình cũng chẳng chắc lắm đóng góp ý kiến vậy thôi

 

[iceghost]

Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:
[tex]\frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}+\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}+\frac{c^{2}+a^{2}-b^{2}}{2ca}> 1[/tex]

Gợi ý. Khai triển $(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c) > 0$

 

[trunghieule2807]

Gợi ý. Khai triển $(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c) > 0$

Bạn giải từng ý ra đi mình chưa hiểu.

 

[trunghieule2807]

Gợi ý. Khai triển $(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c) > 0$

Thế này phải không ???
Theo BĐT tam giác ta có:

[TEX]a+c>b, b+c>a, a+b>c[/TEX]

[TEX]=>a+c-b>0, b-a+c>0, b+a-c>0[/TEX]

[TEX]=> (a+c-b).(b-a+c).(b+a-c)>0[/TEX]

[TEX]<=> (a+c-b).[b^2-(a-c)^2]>0[/TEX]

[TEX]<=> -(a-c)^2.(a+c-b)+b^2.(a+c-b)>0[/TEX]

[TEX]<=> b.(a-c)^2-(a+c).(a-c)^2+b^2.(a+c-b)>0[/TEX]

[TEX]<=> b.(a-c)^2+(a+c).(a.c-a^2+a.c-c^2) +b^2.(a+c)-b^3>0[/TEX]

[TEX]<=> b.(a-c)^2+b^2.(a+c)+a.c.(a+c)-(a+c).(a^2-a.c+c^2)-b^3>0[/TEX]

[TEX]<=> a^2.b+a.b^2+b^2.c+b.c^2+c^2.a+c.a^2-a^3-b^3-c^3-2.a.b.c>0[/TEX]

[TEX]<=> (a^2+b^2-c^2).c+(b^2+c^2-a^2).a+(c^2+a^2-b^2).b>2.a.b.c[/TEX]

[TEX]<=> \frac{(a^2+b^2-c^2).c+(b^2+c^2-a^2).a+(c^2+a^2-b^2).b}{2.a.b.c}>1[/TEX]

[TEX]=> \frac{a^2+b^2-c^2}{2.a.b}+\frac{b^2+c^2-a^2}{2.b.c}+\frac{c^2+a^2-b^2}{2.c.a}>1[/TEX]

[TEX]=>[/TEX] ĐPCM

 

[Saukhithix2]

Thế này phải không ???
Theo BĐT tam giác ta có:

[TEX]a+c>b, b+c>a, a+b>c[/TEX]

[TEX]=>a+c-b>0, b-a+c>0, b+a-c>0[/TEX]

[TEX]=> (a+c-b).(b-a+c).(b+a-c)>0[/TEX]

[TEX]<=> (a+c-b).[b^2-(a-c)^2]>0[/TEX]

[TEX]<=> -(a-c)^2.(a+c-b)+b^2.(a+c-b)>0[/TEX]

[TEX]<=> b.(a-c)^2-(a+c).(a-c)^2+b^2.(a+c-b)>0[/TEX]

[TEX]<=> b.(a-c)^2+(a+c).(a.c-a^2+a.c-c^2) +b^2.(a+c)-b^3>0[/TEX]

[TEX]<=> b.(a-c)^2+b^2.(a+c)+a.c.(a+c)-(a+c).(a^2-a.c+c^2)-b^3>0[/TEX]

[TEX]<=> a^2.b+a.b^2+b^2.c+b.c^2+c^2.a+c.a^2-a^3-b^3-c^3-2.a.b.c>0[/TEX]

[TEX]<=> (a^2+b^2-c^2).c+(b^2+c^2-a^2).a+(c^2+a^2-b^2).b>2.a.b.c[/TEX]

[TEX]<=> \frac{(a^2+b^2-c^2).c+(b^2+c^2-a^2).a+(c^2+a^2-b^2).b}{2.a.b.c}>1[/TEX]

[TEX]=> \frac{a^2+b^2-c^2}{2.a.b}+\frac{b^2+c^2-a^2}{2.b.c}+\frac{c^2+a^2-b^2}{2.c.a}>1[/TEX]

[TEX]=>[/TEX] ĐPCM

Bác giải được rồi à mod gợi ý mình cũng giải được rồi sợ sai nên chẳng đăng

Gợi ý. Khai triển $(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c) > 0$

Bài này mình được chữa từ lớp 8 bạn gợi ý lại thì quên mất

(Mod hoặc admin có thể xoá bài post của mình nếu thấy không phù hợp)