H
Q
quanghao98
Mình không chắc có tổng quát được không nhưng dạng chứng minh của nó cũng giống như cách làm mấy ví dụ mình đưa ra thôi,tuy vậy do là 3 hệ số khác nhau nên phải giải HPT,PT toàn tham số a,b,c thì phức tạp,tuy nhiên vào những TH có hệ số cụ thể thì sẽ đỡ phức tạp hơn
Q
quanghao98
Ở bài viết sau,mình sẽ chia sẻ một kinh nghiệm nhỏ thôi,coi như là công thức để giải nhanh-(thực ra cũng không nhanh lắm,đơn giản chỉ là bỏ qua bước giả sử tham số phụ và bước ngay tới bước tìm điều kiện qua việc giải các HPT,PT)
H
hoang_duythanh
dạng này hay đó mà phức tạp quá :thế bạn làm luôn bài tổng quát :xy+yz+xz=1 và tìm max của $ax^2+by^2+c$ luôn đi ,mình hơi mơ hồ tí kiểu này ,giải theo kiểu cách để tìm ra các số a,b mà thay vào giải mấy bài cụ thể ấy nhé!!!
Q
quanghao98
Về Bài toán tổng quát bạn vừa nêu,mình có ý kiến như sau:
_Về nguyên tắc,thì phương trình điều kiện của tham số có thể giải được
hương trình bậc 3,nhưng khi xét đến công thức giải phương trinh B3 của lớp 10 các-đa-nô thì vẫn chưa đầy đủ,ví dụ như nghiệm ảo chẳng hạn thì công thức các-đa-nô trên tập số thực thì sẽ vô nghiệm.Vì vậy,khi muốn giải quyết bài toán này thì bạn nên xem cách giải phương trình bậc 3 tổng quát bằng công thức cac-đa-nô-trên tập số thực,số phức thì sẽ thấy nó khủng như thế nào nên bài toán này về nguyên tắc thì làm được nhưng mà không ai làm đâu?Nếu bạn muốn giải nhanh 1 số PT bậc 3 có nghiệm trên tập số thực thì mình có thể up thêm công thức cac-đa-nô cũng được,coi như là ôn luyện và nhớ lại vì mình cũng đang quên
_Về nguyên tắc,thì phương trình điều kiện của tham số có thể giải được
hương trình bậc 3,nhưng khi xét đến công thức giải phương trinh B3 của lớp 10 các-đa-nô thì vẫn chưa đầy đủ,ví dụ như nghiệm ảo chẳng hạn thì công thức các-đa-nô trên tập số thực thì sẽ vô nghiệm.Vì vậy,khi muốn giải quyết bài toán này thì bạn nên xem cách giải phương trình bậc 3 tổng quát bằng công thức cac-đa-nô-trên tập số thực,số phức thì sẽ thấy nó khủng như thế nào nên bài toán này về nguyên tắc thì làm được nhưng mà không ai làm đâu?Nếu bạn muốn giải nhanh 1 số PT bậc 3 có nghiệm trên tập số thực thì mình có thể up thêm công thức cac-đa-nô cũng được,coi như là ôn luyện và nhớ lại vì mình cũng đang quên
Q
quanghao98
Khi giải những bài tập dạng này,các bạn cần chú ý phương trình điều kiện của tham số chỉ cho ra phương trình bậc 3 là cùng thôi,nếu ra phương trình bậc cao hơn nữa là chỉ có cách giải PT sai hoặc PT sai ,ngày mai mình được đi chơi hương pagoda nên chiều về,chúng ta sẽ bàn cách giải nhanh dạng này,luyện cho thật nhuyễn và cùng chuyển sang một số dạng khác của phương pháp cân bằng hệ số này nhé:cũng có thể là dạng đưa biểu thức phân số của bài toán đồng nhất với dạng đơn thức bậc nhất của giả thiết
,ngày mai mình được đi chơi hương pagoda nên chiều về,chúng ta sẽ bàn cách giải nhanh dạng này,luyện cho thật nhuyễn và cùng chuyển sang một số dạng khác của phương pháp cân bằng hệ số này nhé:cũng có thể là dạng đưa biểu thức phân số của bài toán đồng nhất với dạng đơn thức bậc nhất của giả thiết
H
hoang_duythanh
Q
quanghao98
Bài 4,Tìm Min của $3x^2+2y^2+z^2$.Mình làm như sau:
$\beta.x^2+\beta.\alpha^2.y^2$\geq $2\alpha.\beta.xy$
$\alpha.x^2+\alpha.\beta^2.z^2$\geq$2\alpha.\beta.xz$
$\alpha^2.y^2+b^2.z^2$\geq $2\alpha.\beta.yz$
Cuối cùng ta thu được hệ phương trình sau:
$\dfrac{a+b}{3}=\dfrac{a^2b+a^2}{2}+\dfrac{ab^2+b^2}{1}$.Giải hệ này để tìm a và b,đến đây thì phức tạp rồi hơn nữa những bài tập với 3 biến đều không bình đẳng như thế này thì hầu như đều giải dạng giống phương trình trên-rất phức tạp.Vì vậy để bài toán ngắn gọn hơn ta nên làm theo cách tách hệ số của vansang như sau:
$\alpha.x^2+\beta.y^2$\geq...
$(3-\alpha)x^2+\dfrac{3}{2+3}z^2$\geq...
$(2-b)y^2+\dfrac{2}{2+3}z^2$\geq...
Bài làm của vansang đúng rồi nhưng cách tách $z^2$ như trên theo cơ sở lí luận của toán học thì mình vẫn chưa hiểu,nếu mà tách $z^2$ theo những số khác thì bài toán có đúng không?
Để chứng thực điều này chúng ta cùng làm một ví dụ lẻ sau:cho x,y,z là các số thực dương và,$xy+yz+xz=1$.Tìm Min P:
$$5x^2+3y^2+2z^2$$
mọi người thử tách $z^2$ thành nhiều lần với nhiều hệ số khác nhau để xem kết quả cuối cùng có giống nhau không?Sau đó,chúng ta sẽ thử rút ra mẹo hoặc phương pháp khi làm bài tập như thế này
$\beta.x^2+\beta.\alpha^2.y^2$\geq $2\alpha.\beta.xy$
$\alpha.x^2+\alpha.\beta^2.z^2$\geq$2\alpha.\beta.xz$
$\alpha^2.y^2+b^2.z^2$\geq $2\alpha.\beta.yz$
Cuối cùng ta thu được hệ phương trình sau:
$\dfrac{a+b}{3}=\dfrac{a^2b+a^2}{2}+\dfrac{ab^2+b^2}{1}$.Giải hệ này để tìm a và b,đến đây thì phức tạp rồi hơn nữa những bài tập với 3 biến đều không bình đẳng như thế này thì hầu như đều giải dạng giống phương trình trên-rất phức tạp.Vì vậy để bài toán ngắn gọn hơn ta nên làm theo cách tách hệ số của vansang như sau:
$\alpha.x^2+\beta.y^2$\geq...
$(3-\alpha)x^2+\dfrac{3}{2+3}z^2$\geq...
$(2-b)y^2+\dfrac{2}{2+3}z^2$\geq...
Bài làm của vansang đúng rồi nhưng cách tách $z^2$ như trên theo cơ sở lí luận của toán học thì mình vẫn chưa hiểu,nếu mà tách $z^2$ theo những số khác thì bài toán có đúng không?
Để chứng thực điều này chúng ta cùng làm một ví dụ lẻ sau:cho x,y,z là các số thực dương và,$xy+yz+xz=1$.Tìm Min P:
$$5x^2+3y^2+2z^2$$
mọi người thử tách $z^2$ thành nhiều lần với nhiều hệ số khác nhau để xem kết quả cuối cùng có giống nhau không?Sau đó,chúng ta sẽ thử rút ra mẹo hoặc phương pháp khi làm bài tập như thế này
V
vansang02121998
Tách như vậy chỉ là mẹo cá nhân chứ tui vẫn chưa có cơ sở lý luận toán học. Tui chưa thấy có bài nào tách như vậy mà nó ra $\alpha$, $\beta$ không thỏa mãn.
Ở bài $5x^2+3y^2+2z^2$ ta có thể linh hoạt tách $5x^2=3x^2+2x^2$
Q
quanghao98
Cảm ơn vansang đã chia sẻ nhiều thứ rất hữu ích cho mình.Bây giờ,mình sẽ nêu cách tách tổng quát của từng biến số thông qua mẹo của bạn ấy:
Ví dụ;Xét bài toán sau:cho $xy+yz+xz=\alpha$ với x,y,z là các số thực dương.Ta cần tìm GTNN:
$P=ax^2+by^2+cz^2$
_Nếu tách $x^2$ thì ta tách thành :$\dfrac{ab}{b+c}x^2+\dfrac{ac}{b+c}x^2$
_Nếu tách $y^2$ thì ta tách thành :$\dfrac{ba}{a+c}y^2+\dfrac{bc}{a+c}y^2$
_Nếu tách $z^2$ thì ta tách thành :$\dfrac{ca}{b+a}+\dfrac{ab}{a+b}$
chẳng hạn như bài toán mình vừa mới nêu ở trên:$a=5,b=3,c=2$ thì theo công thức trên ta có thể tách như sau:
$5x^2=3x^2+2x^2$
hoặc $3y^2=\dfrac{15}{7}y^2+\dfrac{6}{7}y^2$
hoặc $2z^2=\dfrac{10}{8}z^2+\dfrac{6}{8}z^2$
Ví dụ;Xét bài toán sau:cho $xy+yz+xz=\alpha$ với x,y,z là các số thực dương.Ta cần tìm GTNN:
$P=ax^2+by^2+cz^2$
_Nếu tách $x^2$ thì ta tách thành :$\dfrac{ab}{b+c}x^2+\dfrac{ac}{b+c}x^2$
_Nếu tách $y^2$ thì ta tách thành :$\dfrac{ba}{a+c}y^2+\dfrac{bc}{a+c}y^2$
_Nếu tách $z^2$ thì ta tách thành :$\dfrac{ca}{b+a}+\dfrac{ab}{a+b}$
chẳng hạn như bài toán mình vừa mới nêu ở trên:$a=5,b=3,c=2$ thì theo công thức trên ta có thể tách như sau:
$5x^2=3x^2+2x^2$
hoặc $3y^2=\dfrac{15}{7}y^2+\dfrac{6}{7}y^2$
hoặc $2z^2=\dfrac{10}{8}z^2+\dfrac{6}{8}z^2$
Last edited by a moderator:
V
vansang02121998
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM
$x^3+\alpha+\alpha+\alpha+\alpha+\alpha \ge 6\sqrt[6]{\alpha^5x^3}$
$y^3+\beta+\beta+\beta+\beta+\beta \ge 6\sqrt[6]{\beta^5y^3}$
Cần tìm $0 < \alpha; \beta$ thỏa mãn hệ $\left\{\begin{matrix} \sqrt[6]{\beta^5}=3\sqrt[6]{\alpha^5}\\ \alpha+\beta=1 \end{matrix}\right.$
Giải ra ta được $\alpha=\dfrac{1}{\sqrt[5]{729}+1};\beta=\dfrac{\sqrt[5]{729}}{\sqrt[5]{729}+1}$
P/s: Bài 7 sao VT không thấy có $t$ nhỉ
V
vansang02121998
$a^3+x+x \ge 3a\sqrt[3]{x^2}$
$8b^3+y+y \ge 3b\sqrt[3]{8y^2}$
$c^3+x+x \ge 3c\sqrt[3]{x^2}$
Cần tìm $0<x;y$ thỏa mãn $x^2=8y^2$ và $2\sqrt[3]{x}+\dfrac{1}{2}\sqrt[3]{y}=3$
Giải ra ta tìm được: $x=\dfrac{216}{(4+\dfrac{1}{\sqrt[6]{8}})^3};y=\dfrac{108}{\sqrt{2}(4+\dfrac{1}{\sqrt[6]{8}})^3}$
Last edited by a moderator:
V
vansang02121998
$(2-\sqrt{3})a+\dfrac{1}{2}b \ge (\sqrt{3}-1)\sqrt{ab}$
$(2-\sqrt{3})c+\dfrac{1}{2}b \ge (\sqrt{3}-1)\sqrt{bc}$
$(\sqrt{3}-1)a+(\sqrt{3}-1)c \ge 2(\sqrt{3}-1)\sqrt{ac}$
$\Rightarrow \sqrt{ab}+\sqrt{bc}+2\sqrt{ac} \le \dfrac{3}{\sqrt{3}-1}$
V
vansang02121998
$a^3+a^3+x \ge 3\sqrt[3]{x}a^2$
$\dfrac{3}{2}b^3+\dfrac{3}{2}b^3+y \ge 3\sqrt[3]{\dfrac{9}{4}y}b^2$
$2c^2+2c^2+z \ge 3\sqrt[3]{4z}c^2$
Cần tìm $0 < x;y;z$ thỏa $\sqrt[3]{x}=\dfrac{1}{2}\sqrt[3]{\dfrac{9}{4}y}=\dfrac{1}{3}\sqrt[3]{4z}$ và $\sqrt[3]{x^2}+\sqrt[3]{\dfrac{4}{9}y^2}+\sqrt[3]{\dfrac{1}{4}z^2}=1$ ( Cái này dễ nhưng số hơi lẻ chút )
H
hoang_duythanh
Bạn ghi bị nhầm 1 chút rồi ,,nếu mà tách theo kiểu đó thì phải là :$\dfrac{ab}{b+c}x^2+\dfrac{ac}{b+c}x^2$
Q
quanghao98
Đối với dạng bài tập này,nếu đề bài cho $a^2+b^2+c^2=\alpha$ thì sẽ giống như những bài tập trên nhưng ta khó lòng mà làm như thế.Ở bài này,ý tưởng là sẽ tách các biến độc lập với nhau qua phương pháp biến đổi tương đương.Nhờ vậy,ta thấy biểu thức P có dạng đơn thức bậc 2 với các biến độc lập nhau có dấu $-$đằng trước.Thông qua,một số biến đổi phụ,ta sẽ đưa bài toán trở thành bài toán tìm Min quen thuộc như bài tâp trước:
Biến đổi $P=a(b+c)+3b(c+a)+5c(a+b)=a(3-a)+3b(3-b)+5(3-c)=\dfrac{81}{4}-[(a-\dfrac{3}{2})^2+3(b-\dfrac{3}{2})^2+5(c-\dfrac{3}{2}^2)]$
Đặt $x=|a-\dfrac{3}{2}|;y=|b-\dfrac{3}{2}|;z=|c-\dfrac{3}{2}|$
\Rightarrow $x+y+z$\geq $\dfrac{3}{2}$
Như vậy đến đây,ta đã biến bài toán trở thành:Tìm Min của $x^2+3y^2+5z^2$ khi biết $x+y+z$\geq $\dfrac{3}{2}$Đây là một dạng quen thuộc vì thế mình sẽ không trình bày chi tiết phương pháp cân bằng hệ số nữa (không hiểu các bạn có thể coment ở dưới để mọi người cùng giải đáp)
$x^2+\dfrac{2025}{2116}$\geq$\dfrac{45}{23}x$
$3y^2+\dfrac{675}{2116}$\geq$\dfrac{45}{23}y$
$5z^2+\dfrac{405}{2116}$\geq$\dfrac{45}{23}z$
\Rightarrow $x^2+3y^2+5z^2$\geq $\dfrac{135}{46}-\dfrac{3105}{2116}=\dfrac{135}{92}$
$P=\dfrac{81}{4}-(x^2+3y^2+5z^2)$\leq $\dfrac{432}{23}$
Q
quanghao98
Thay số bài 13 một chút cho mọi người áp dụng nhé
Bài 14
cho $a^2+b^2+c^2=3$.Tìm Max $P=2a^2b^2+3b^2c^2+4a^2c^2$
Bài 14
cho $a^2+b^2+c^2=3$.Tìm Max $P=2a^2b^2+3b^2c^2+4a^2c^2$
Q
quanghao98
Sang một số dạng mới:
Bài 15
Cho các sô thực dương x,y,z thỏa mãn:
$2x+4y+7z=2xyz$.Tìm Min
$P=x+y+z$
Bài 15
Cho các sô thực dương x,y,z thỏa mãn:
$2x+4y+7z=2xyz$.Tìm Min
$P=x+y+z$
Q
quanghao98
Bài 16
cho $x,y,z$ là các số thực dương thỏa mãn:$4x+3y+4z=22$
Tìm Min của $P=x+y+z+\dfrac{1}{3x}+\dfrac{2}{y}+\dfrac{3}{z}$
cho $x,y,z$ là các số thực dương thỏa mãn:$4x+3y+4z=22$
Tìm Min của $P=x+y+z+\dfrac{1}{3x}+\dfrac{2}{y}+\dfrac{3}{z}$
H
hoang_duythanh
Tìm Min của $x^2+3y^2+5z^2$ khi biết $x+y+z$\geq $\dfrac{3}{2}$ cách giải loại này có cách rất nhanh sử dụng bunhiacopxki mình chia sẻ :
Có $(x^2+3y^2+5z^2)(1+\frac{1}{3}+\frac{1}{5})$\geq $(x+y+z)^2$\geq$\frac{9}{4}$
=>$x^2+3y^2+5z^2$ \geq$\frac{135}{92}$