Giải và bình luận phương trình, hệ phương trình, bất phương trình

[xlovemathx]

Bài 72 : [TEX]\left\{(1-\frac{12}{y+3x})\sqrt{x} =2\\ (1+\frac{12}{y+3x})\sqrt{y}=6[/TEX]

 

[locxoaymgk]

Bài 72 : [TEX]\left\{(1-\frac{12}{y+3x})\sqrt{x} =2\\ (1+\frac{12}{y+3x})\sqrt{y}=6[/TEX]

Định hướng: Thấy VT của 2 PT có 2 phần tử có tổng và hiệu nên ta sẽ cộng từng vế và trừ từng vế 2 PT trên. ( em ko giỏi lí luận đâu )) ).

Bài giải
DK: x \geq 0;y\geq 0.
Nhận thấy [TEX]x=0; y=0 \ [/TEX] ko là nghiệm của hệ nên [TEX]x>0; y>0.[/TEX]
[TEX]PT \Leftrightarrow \left{\begin{1-\frac{12}{\sqrt{y+3x}}}=\frac{2}{sqrt{x}}\\{1+ \frac {12}{y+3x}}=\frac{6}{\sqrt{y}}.[/TEX]

Từ 2 PT của hệ ta cộng và trừ từng vế ta có:

[TEX] \left{\begin{\frac{3}{\sqrt{y}}+\frac{1}{\sqrt{x}}=1}\\{\frac{3}{\sqrt{y}}-\frac{1}{\sqrt{x}}=\frac{12}{y+3x}}[/TEX]

[TEX]\Rightarrow \frac{9}{y}-\frac{1}{x}=\frac{12}{y+3x}[/TEX]

[TEX] \Rightarrow 27x^2-6xy+y^2=0 \Leftrightarrow (3x-y)(9x+y)=0[/TEX]

[TEX] \Leftrightarrow \left[\begin{y=3x}\\{y = -9x}[/TEX]

Với y=3x thay vào PT :[TEX] \frac{3}{\sqrt{y}}+\frac{1}{\sqrt{x}}=1 [/TEX]ta có:

[TEX] \frac{3}{\sqrt{3x}}+\frac{1}{\sqrt{x}}=1[/TEX]

[TEX]\Rightarrow x=2(2+\sqrt{3}).[/TEX]

[TEX] \Rightarrow y=6(2+\sqrt{3}).[/TEX]

Thay[TEX] x=-9x [/TEX]cũng như PT trên ta có:

[TEX] \frac{3}{\sqrt{-9x}}+\frac{1}{\sqrt{x}}=1[/TEX]

Do[TEX] y \geq 0 \Rightarrow -9x \geq 0. \Rightarrow x \leq 0.[/TEX]

Mà[TEX] x \geq 0 \Rightarrow x=0.[/TEX]

Do x=0 kp phải là nghiệm của PT nên PT vô nghiệm với [TEX]y=-9x. [/TEX]

Vậy HPT có nghiệm[TEX] (x,y)=(2(2+\sqrt{3}), 6(2+\sqrt{3}))[/TEX]

 

[niemkieuloveahbu]

Bài 73:Giải hpt:
[TEX]\{\sqrt{\frac{3x}{4}}(x+y+1)=x+y\\\sqrt{\frac{7y}{32}}(x+y-1)=x+y[/TEX]

 

[miko_tinhnghich_dangyeu]

Bài 70: Giải hệ phương trình: ( Dự bị 2 Khối B 2007)
[TEX]\left\{\begin{matrix}x+\frac{2xy}{\sqrt[3]{x^2-2x+9}}=x^2+y\\ y+\frac{2xy}{\sqrt[3]{y^2-2y+9}}=y^2+x\end{matrix}\right.[/TEX]

Cộng vế với vế của hệ ta đc:

[TEX]\frac{2xy}{\sqrt[3]{x^2-2x+9}}+\frac{2xy}{\sqrt[3]{y^2-2y+9}}=x^2+y^2[/TEX]

ta có [TEX]\sqrt[3]{x^2-2x+9} =\sqrt[3]{(x-1)^2+8} \geq 2[/TEX]

[TEX]\Rightarrow \frac{2xy}{\sqrt[3]{x^2-2x+9}} \leq xy[/TEX]

chứng mình tương tự ta có :

[TEX]\frac{2xy}{\sqrt[3]{x^2-2x+9}}+\frac{2xy}{\sqrt[3]{y^2-2y+9}} \leq 2xy[/TEX]

Mà [TEX]x^2+y^2 \geq2xy[/TEX]

=> Để hệ có nghiệm =>[TEX]\left[\begin{x=y=1}\\{x=y = 0} [/TEX]

lâu rùi ms thấy bạn langtu vào học mai nhẩy ))

 

[stork_pro]

bài 74

Bài 74 : Giải Phương Trình sau:

[TEX]x^2\sqrt[4]{2-x^4}-1=x^4-x^3[/TEX]

 

[xlovemathx]

Bài 75 : [TEX]\left\{ (4x^2+1)x+(y-3)\sqrt{5-2y}=0 \\ 4x^2+y^2+2\sqrt{3-4x}=7[/TEX]

Bài 76 : [TEX]\left\{ x^4+2x^3y+x^2y^2=2x+9 \\ x^2+2xy=6x+6[/TEX]

Bài 77 : [TEX]\left\{ \sqrt{11x-y}-\sqrt{y-x}=1 \\ 7\sqrt{y-x}+6y-26x=3[/TEX]

Bài 78 : [TEX]\left\{ x+y+z=6 \\ xy+yz-zx=7 \\ x^2+y^2+z^2=14[/TEX]

Bài 79 : [TEX]\left\{ x+y+z=4 \\x^2+y^2+z^2=3 \\xyz=2[/TEX]

Bài 80 : [TEX]\left\{ \sqrt{x+1}+\sqrt{y+1}=3 \\ x\sqrt{x+1}+y\sqrt{y+1}+\sqrt{y+1}+\sqrt{x+1}=6[/TEX]

 

[destinyx4]

Bài 78 : [TEX]\left\{ x+y+z=6 (1)\\ xy+yz-zx=7 (2)\\ x^2+y^2+z^2=14(3)[/TEX]

Định hướng:Bài này rất dễ nên mình không có đh
Bài giải:
Từ phương trình (3) ta có
[TEX](x+y+z)^2-2xy-2yz-2xz=14[/TEX]
[TEX]\Rightarrow xy+xz+yz=11(4)[/TEX]
[TEX](2)+(4)=>xy+yz=9[/TEX]
[TEX]\Rightarrow x+z=\frac{9}{y}[/TEX]
Thay vào phương trình (1)và (3) ta được
[TEX]y^2-6y+9=0 \Rightarrow y=3[/TEX]
[TEX]\left\ { x+z=3 \\ x^2+z^2=5[/TEX]
[TEX]\Rightarrow xz=2\Rightarrow x=\frac{2}{z}\Rightarrow \frac{2}{z}+z=3[/TEX]
[TEX]\Rightarrow z=2;z=1[/TEX]
Với z=2 =>x=1
Với z=1=>x=2
Vậy nghiệm của hệ phương trình là
(x;y;z)=(1;3;2);(2;3;1)

 

[stork_pro]

Bài 81:
[TEX]\left{\begin{\frac{1}{x}+\frac{1}{2y}=2(x^2+y^2)\\{\frac{1}{x}-\frac{1}{2y}=y^2-x^2}[/TEX]
Bài 82:
[TEX]\left{\begin{2(2x+1)^3+2x+1=(2y-3)\sqrt{y-2}\\{\sqrt{4x+2}+\sqrt{2y+4}=6[/TEX]

 

[lovelycat_handoi95]

Bài 79 : [TEX]\left\{ x+y+z=4 (1)\\x^2+y^2+z^2=3(2) \\xyz=2(3)[/TEX]

_Định hướng:bài này dễ nên chắc không cần định hướng
_Bài giải:
Có2) [TEX]\Leftrightarrow (x+y+z)^2-2(xy+yz+zx)=3[/TEX]
[TEX]\Rightarrow xy+yz+zx=\frac{13}{2}[/TEX]
Hpt trở thành"
[TEX]\left\{x+y+z=4\\xy+yz+zx=\frac{13}{2}\\xyz=2[/TEX]
Theo Vi-et thì x,y,z là nhiệm pt:
[TEX]t^3-4t^2+\frac{13}{2}-2=0[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow 2t^3-8t^2+13t-4=0[/TEX]
(sao nhiệm xấu thế nhỉ)

Vi-et đảo không được xài trong thi đại học.

Bài 80 : [TEX]\left\{ \sqrt{x+1}+\sqrt{y+1}=3 \\ x\sqrt{x+1}+y\sqrt{y+1}+\sqrt{y+1}+\sqrt{x+1}=6[/TEX]

_Định hướng :thấy 2 vế có chung [TEX] \sqrt{x+1}+\sqrt{y+1}=3 [/TEX] nên trừ 2 vế cho nhau.chung [TEX]\sqrt{x+1};\sqrt{y+1}[/TEX]nên đặt ẩn phụ(không giỏi lí luận lắm)
_Đk:[TEX]x,y \geq -1[/TEX]
_bài giải:
hpt \Leftrightarrow [TEX]\left\{ \sqrt{x+1}+\sqrt{y+1}=3 \\ x\sqrt{x+1}+y\sqrt{y+1}=3[/TEX]
Đặt [TEX]a=\sqrt{x+1};b=\sqrt{y+1} =>x=a^2-1;y=b^2-1[/TEX]
hpt \Leftrightarrow [TEX]\left\{a+b=3\\(a^2-1)a+(b^2-1)b=3[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow \left\{a+b=3\\a^3+b^3-(a+b)=3[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow \left\{a+b=3\\(a+b)[(a+b)^2-3ab]-(a+b)=3[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow \left\{a+b=3\\ab=\frac{7}{3}[/TEX]
Theo Vi-et có a,b là nhiệm pt
[TEX]t^2-3t+\frac{7}{3}=0[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow 3t^2-9t+7=0[/TEX] phương trình vô nhiêm
=> hpt vô nhiệm

 

[stork_pro]

Bài 77 : [TEX]\left\{ \sqrt{11x-y}-\sqrt{y-x}=1 (1)\\ 7\sqrt{y-x}+6y-26x=3(2)[/TEX]

ĐK : để căn có nghĩa
y\geqx và 11x\geqy
Bài 77

Định hướng:
Ta thấy pt 1 có 11-x và y-x
Pt 2 có 6x- 26y ta tách được thành -4(y-x) và -2(11x-y)
xuất hiện như pt 1
hệ phương trình tương đương:
[TEX]\left{\begin{\sqrt{11x-y}-\sqrt{y-x}=1\\{7\sqrt{y-x}-2(11x-y)+4(y-x)=3}[/TEX]

http://diendan.hocmai.vn/showpost.php?p=1668301&postcount=15

đặt
[TEX]\left{\begin{\sqrt{11x-y}=a\\{\sqrt{y-x}=b[/TEX]
đk : a\geq0 và b\geq0
ta có :
[TEX]\left{\begin{a-b=1\\{7b-2a^2+4b^2=3[/TEX]
[TEX]\left{\begin{a=b+1\\{7b-2(b+1)^2+4b^2(_*_)[/TEX]
[TEX] suy ra[/TEX]
ta có
(_*_)(*)\Leftrightarrow [TEX]7b-2b^2-4b-2+4b^2=3[/TEX]
\Leftrightarrow [TEX]2b^2+3b-5=0[/TEX]
giải pt bậc 2 ta có
[TEX]\left[\begin{b=1\\{b=\frac{-5}{2}(loai)[/TEX]

vì b=1 nên ta có
y-x=1 => y=x+1
thay vào pt (1)
ta có[TEX]\sqrt{11x-(x+1)}-\sqrt{x+1-x}=1[/TEX]
\Leftrightarrow[TEX]\sqrt{10-1}=2[/TEX]
\Leftrightarrow[TEX]x=\frac{1}{2}[/TEX] => [TEX]y=\frac{3}{2}[/TEX]
Vậy hpt có 1 cặp nghiệm
[tex](x;y)=(\frac{1}{2};\frac{3}{2})[/tex]

 

[stork_pro]

Bài 80 : [TEX]\left\{ \sqrt{x+1}+\sqrt{y+1}=3(1) \\ x\sqrt{x+1}+y\sqrt{y+1}+\sqrt{y+1}+\sqrt{x+1}=6[/TEX](2)

Cách 2

bài này hqua mình thấy đề # hnay lại thế đề khác
mình có định hướng nhanh hơn lovelycat_handoi95 1 tí
đó là
trên pt 1 ta thấy có
[TEX]\sqrt{x+1} va \sqrt{y+1}[/TEX]
ta nhìn vào pt (2) ta
có
[TEX]\sqrt{x+1}(x+1)+\sqrt{y+1}(y+1)[/TEX]

Bài làm :
sau khi định hướng xong
ta giải các bước sau đây
[TEX]\left{\begin{a+b=3\\{a^3+b^3=3[/TEX]
\Leftrightarrow[TEX]\left{\begin{a+b=3\\{(a+b)^3-3ab(a+b)=3[/TEX]
[TEX]\left{\begin{a+b=3\\{a.b=\frac{7}{3}[/TEX]
đến đây
giải như lovelycat_handoi95

 

[sot40oc]

Bài 83:
[TEX]\left\{\begin{matrix}x^4-y^4=240 & & \\ x^3-2y^3=3(x^2-4y^2)-4(x-8y) & & \end{matrix}\right.[/TEX]

 

[thuypro94]

\Leftrightarrow

Bài 83:
[TEX]\left\{\begin{matrix}x^4-y^4=240 & & \\ x^3-2y^3=3(x^2-4y^2)-4(x-8y) & & \end{matrix}\right.[/TEX]

Định hướng : Ta thấy x và y độc lập với nhau nên ta nghĩ sẽ đưa được về dạng [TEX](x+a)^4 = ( y + b)^4 \Leftrightarrow x^4 + 4a x^3 + 6a^2 x^2 + 4a^3 x + a^3 = y^4 + 4by^3 + 4b^2y^2 + 4b^3y + b^4 [/TEX], để tìm a, b ta phân tích các hệ số ở phương trình (2). Để phân tích được như dự định thì ta phải có:
[TEX]\left{ 4a \ : \ 6a^2 \ : \ 4a^3 = 1 \ :\ (-3)\ :\ 4 \\ 4b \ : \ 6b^2 \ : \ 4b^3= 2 \ : \ (-12) \ : \ 32 \right. \Rightarrow \left{ a=-2 \\ b = - 4 \right. [/TEX]
Như vậy ta cố gắng nhân thêm hệ số vào phương trình (2) sao cho khi đem (1) trừ cho (2) ta sẽ được:
[TEX]x^4-8x^3 + 24 x^2 - 32 x + 16 = y^4 - 16y^3 + 144 y^2 - 256y + 246[/TEX]
Do đó ta sẽ nhân thêm hệ số 8 vào phương trình (2).


Giải :

[TEX]\left\{\begin{matrix}x^4-y^4=240 \ (1) \ & & \\ x^3-2y^3=3(x^2-4y^2)-4(x-8y) \ (2) \ & & \end{matrix}\right.[/TEX]

\Leftrightarrow [TEX]\left\{\begin{matrix}x^4-y^4=240 \ (1) \ & & \\ 8[x^3-2y^3]=8[3(x^2-4y^2)-4(x-8y)] \ (2*) \ & & \end{matrix}\right.[/TEX]

\Rightarrow Lấy (1) - (2 *) \Rightarrow [TEX](x-2) ^4 = (y-4)^4[/TEX]


\Leftrightarrow[TEX]\left[\begin{x = 6-y}\\{x = y-2} [/TEX]



\Leftrightarrow[TEX]\left[\begin{x=4 \ ;\ y =2}\\{x =-4 \ ; \ y = -2} [/TEX]


Vậy : Hệ phương trình có nghiệm (x;y) = (4;2) ; (-4; -2)

 

[miko_tinhnghich_dangyeu]

Bài 75 : [TEX]\left\{ (4x^2+1)x+(y-3)\sqrt{5-2y}=0 \\ 4x^2+y^2+2\sqrt{3-4x}=7[/TEX]

-Định hướng : Bài này có dạng riêng rùi mừ , thường chỉ xét 1 pt trong hệ

đặt [TEX]\sqrt{5-2y} =2t(t\geq 0)[/TEX]
=> [TEX]5-2y=4t^2[/TEX]
=> [TEX]y=\frac{5-4t^2}{2}[/TEX]
=> [TEX]y-3=\frac{5-4t^2}{2}-3[/TEX]
(1)[TEX]\Leftrightarrow (4x^2+1)x-(4t^2+1)t=0[/TEX]
[TEX]\left[\begin{x=t}\\{2x+2t+1=0} [/TEX]
thế vào phương trình 2

Bài 76 : [TEX]\left\{ x^4+2x^3y+x^2y^2=2x+9 \\ x^2+2xy=6x+6[/TEX]

-Định hướng: thấy hệ số trong 1 vế là như nhau => hệ đẳng cấp đặt y=xt

 

[giaosu_fanting_thientai]

Bài 74 : Giải Phương Trình sau:

[TEX]x^2\sqrt[4]{2-x^4}-1=x^4-x^3[/TEX]

Định hướng: :khi (163): Nhìn nó phức tạp thế nài thì tìm cách mà đánh giá thôi, [TEX]x^4+1[/TEX] nhìn là thấy đánh giá được nên chuyển sang 1 bên xem.

Key: ĐK: [TEX]|x| \leq \sqrt[4]{2}[/TEX]

[TEX]x^2\sqrt[4]{2-x^4}-1=x^4-x^3[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow x^2(\sqrt[4]{2-x^4}+x)=x^4+1[/TEX]

Ta có: [TEX]\sqrt[4]{2-x^4}+x \leq \sqrt{(1+1)[(\sqrt[4]{2-x^4})^2+x^2]}=\sqrt{2(\sqrt{2-x^4}+x^2)} \leq \sqrt{2\sqrt{(1+1)[(\sqrt{2-x^4})^2+x^4]}}=2[/TEX]

[TEX]\Rightarrow VT \leq 2x^2 \leq x^4+1=VP[/TEX]

Dấu = khi [TEX]|x| \leq \sqrt[4]{2}; \sqrt[4]{2-x^4}=x; \sqrt{2-x^4}=x^2; 2x^2=x^4+1 [/TEX]đồng thời xảy ra [TEX]\Leftrightarrow x=1 [/TEX]

 

[quocoanh12345]

Bài 84: Giải bất pt: (mới vọc được trên mấy cái đề thi thử)

[TEX]\sqrt{3x+4}-\sqrt{5-x}+3x^2-8x-19 > 0[/TEX]

 

[thuypro94]

Bài 84: Giải bất pt: (mới vọc được trên mấy cái đề thi thử)

[TEX]\sqrt{3x+4}-\sqrt{5-x}+3x^2-8x-19 > 0[/TEX]

Định hướng : Nhẩm nghiệm !
Thấy x = 4 là 1 nghiệm của phương trình ( Thường nhẩm nghiệm chính phương mà ) )
Khi x = 4 thì [TEX]\sqrt{3x+4} = 4 \ va \ \sqrt{5-x} =1 [/TEX]

\Rightarrow Tách ghép tạo nhân tử chung .


Giải : Điều kiện xác định : [TEX]\frac{-4}{3}[/TEX] \leq x\leq5 ( * )

[TEX][\sqrt{3x+4}-4] + [1 - \sqrt{5-x}]+3x^2-8x-16 > 0 [/TEX]

\Leftrightarrow[TEX]\frac{3(x-4)}{\sqrt{3x+4}+4} +\frac{x-4}{1 + \sqrt{5-x}}+ (x-4) (3x+4)>0[/TEX]

\Leftrightarrow[TEX](x-4)[\frac{3}{\sqrt{3x+4}+4} + \frac{1}{1 + \sqrt{5-x}} +(3x+4)] >0 (**) [/TEX]

Với đk( *) thì [TEX]\frac{3}{\sqrt{3x+4}+4} + \frac{1}{1 + \sqrt{5-x}} +(3x+4) [/TEX] > 0 \Rightarrow (**) \Leftrightarrow x>4

Vậy : Bpt có nghiệm : 4 < x \leq 5

 

[niemkieuloveahbu]

Bài 85: Giải hệ phương trình:
[TEX]\{\sqrt{{\frac{x^2+y^2}{2}}}+{\sqrt{\frac{x^2+xy+y^2}{3}}=x+y\\{x\sqrt{2xy+5x+3}=4xy-5x-3}[/TEX]

 

[giaosu_fanting_thientai]

Bài 85: Giải hệ phương trình:
[TEX]\{\sqrt{{\frac{x^2+y^2}{2}}}+{\sqrt{\frac{x^2+xy+y^2}{3}}=x+y\\{x\sqrt{2xy+5x+3}=4xy-5x-3}[/TEX]

ĐH: Đầu tiên thì nghĩ là đặt ẩn, nhưng nhìn đi nhìn lại thì thấy 2 cái pt này ...nó chẳng có chung cái j cả. Những cái hệ rắc rối thường có nghiệm x=y, thử xem ~~> đúng thật :x. Liếc qua cái pt (2), nếu mà x=y thì cái pt này dễ dàng giải đc = đặt ẩn. Bây giờ thì... làm sao để có x=y ? . Bình phương pt (2) thì k ổn, bậc cao lắm, đánh giá thì chịu. Nhìn lên pt (1) ...thấy nó đẹp đẹp ~~> đánh giá đc @};-
Nếu mà 1 k đánh giá đc thì cố mà tách (2) thành nhân tử có (x-y)

Giải:

[TEX]\frac{x^2+y^2}{2} \geq \frac{(x+y)^2}{4}[/TEX]

[TEX]\frac{x^2+xy+y^2}{3} \geq \frac{(x+y)^2}{4}[/TEX]

Từ pt (1) [TEX]\Rightarrow x+y \geq 0[/TEX]

[TEX]\Rightarrow VT \geq x+y[/TEX]

Dấu [TEX]=[/TEX] khi [TEX]x=y[/TEX]

Thay vào pt (2) ta đc: [TEX]x\sqrt{2x^2+5x+3}=4x^2-5x-3 (*)[/TEX]

Quen thuôc rồi, đặt [TEX]\sqrt{2x^2+5x+3} = t \geq 0[/TEX]

[TEX]\Rightarrow 4x^2-5x-3 = 6x^2-t^2[/TEX]

Khi đó pt [TEX](*)[/TEX]trở thành: [TEX]xt=6x^2-t^2[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow (3x+t)(2x-t)=0[/TEX]

[TEX]3x+t=0 \Leftrightarrow t=-3x ~~>[/TEX] loại vì [TEX]x \geq 0, t \geq 0, TH x=0,t=0[/TEX] k thoả mãn )

[TEX]2x-t=0 \Rightarrow x=3[/TEX]

Tóm lại nghiệm của hệ là [TEX](x,y)=(3;3)[/TEX]

 

[niemkieuloveahbu]

Bài anh or chị làm rất tốt,thường thì ở hpt ít dùng tới đánh giá, nhưng đã dùng là rất hữu hiệu,bài này điển hình trong việc đánh giá giải hệ pt lại luyện cả việc đánh giá BĐT. Tiếp 1 bài dễ hơn:
Bài 86: Giải phương trình:
[TEX]\sqrt[3]{3x+4}=x^3+3x^2+x-2[/TEX]