Giải và bình luận phương trình, hệ phương trình, bất phương trình

Thảo luận trong 'Thảo luận chung' bắt đầu bởi duynhan1, 4 Tháng chín 2011.

Lượt xem: 47,141

Trạng thái chủ đề:
Không mở trả lời sau này.

  1. duynhan1

    duynhan1 Guest

    Sở hữu bí kíp ĐỖ ĐẠI HỌC ít nhất 24đ - Đặt chỗ ngay!

    Đọc sách & cùng chia sẻ cảm nhận về sách số 2


    Chào bạn mới. Bạn hãy đăng nhập và hỗ trợ thành viên môn học bạn học tốt. Cộng đồng sẽ hỗ trợ bạn CHÂN THÀNH khi bạn cần trợ giúp. Đừng chỉ nghĩ cho riêng mình. Hãy cho đi để cuộc sống này ý nghĩa hơn bạn nhé. Yêu thương!

    Nhằm giúp các bạn ôn thi đại học có hiệu quả, mình lập TOPIC này với mong muốn các bạn cùng nhau chia sẻ những kinh nghiệm là bài về phương trình, bất phương trình, hệ phương trình.

    Bài 1:Giải phương trình :
    [TEX]\left{ (x+1)^3 + 3(x+1) + 20 = ( y-1)^3 - 12(y-1) \\ ( x + 1)^2 = 2(y+1)^2 + 1 [/TEX]


     
  2. nhocngo976

    nhocngo976 Guest

    Định hướng: Không
    Giải:


    đặt [TEX]\color{blue} \left{\begin{ x+1=a \\ y-1=b [/TEX]

    ta có:

    [TEX]\color{blue} HE \leftrightarrow \left{\begin{ a^3+3a+20=b^3 -12b \\ 3a^2 =6(b+2)^2 +3 \right. \\\\ \leftrightarrow a^3 +3a^2+3a +1+19= b^3+3.b^2.2+3.b .2^2+8+19 \\\\ \leftrightarrow (a+1)^3 = (b+2)^3 \leftrightarrow a+1=b+2 \leftrightarrow a=b+1 \leftrightarrow x+1=y (3)[/TEX]

    thế (3) vào (2) ta có:

    [TEX]\color{blue} (2) \leftrightarrow y^2 + 4y+3=0 \leftrightarrow \left[\begin{ y=-1 \rightarrow x= -2 \\ y=-3 \rightarrow x= -4[/TEX]

    Vậy hệ có nghiệm [TEX]\color{blue} (x;y)= (-2;-1) ;(-4;-3)[/TEX]




    :D:D


     
    Last edited by a moderator: 16 Tháng mười 2011
  3. nhocngo976

    nhocngo976 Guest

    Bài 2: Giải hệ

    [TEX]\color{blue} \left{\begin{ (x-1)^2 +6(x-1)y +4y^2 =20 \\ x^2+(2y+1)^2 =2[/TEX]​
     
    Last edited by a moderator: 4 Tháng chín 2011
  4. pepun.dk

    pepun.dk Guest

    Định hướng: Từ phương trình (1) ta đặt ẩn phụ để hệ được gọn bớt.

    Giải:
    Đặt [TEX]\left\{a=x-1\\b=2y[/TEX], hệ phương trình trở thành:
    [TEX] \left\{a^2+3ab+b^2=20\\(a+1)^2+(b+1)^2=2[/TEX]

    Đây là hệ ĐX loại I


    Bài 3: Giải phương trình:
    [TEX](x+2)(\sqrt{x^2+4x+7}+1)+x(\sqrt{x^2+3}+1)=0[/TEX]
     
    Last edited by a moderator: 4 Tháng chín 2011
  5. tuyn

    tuyn Guest

    [TEX](x+2)(\sqrt{x^2+4x+7}+1)+x(\sqrt{x^2+3}+1)=0[/TEX]
    [TEX]\Leftrightarrow (x+2)(\sqrt{(x+2)^2+3}+1)+x(\sqrt{x^2+3}+1)=0\[/TEX]
    Xét hàm số [TEX]f(t)=t(\sqrt{t^2+3}+1) \Rightarrow f'(t)=1+\sqrt{t^2+3}+\frac{t^2}{\sqrt{t^2+3}} > 0 \forall t[/TEX]
    \Rightarrow PT có nghiệm duy nhất [TEX]x=-1[/TEX]
     
    Last edited by a moderator: 16 Tháng mười 2011
  6. nhocngo976

    nhocngo976 Guest

    Bài 4: Giải hệ

    [TEX]\color{blue} \left{\begin{ x^2+xy+y^2=3 \\ x^2+2xy -7x-5y+9=0[/TEX]
     
  7. duynhan1

    duynhan1 Guest


    Định hướng ban đầu:

    Nhẩm nghiệm thì ta thấy hệ phương trình đã cho có nghiệm là [TEX](1;1)[/TEX]. Do đó ta sẽ đặt [TEX]x= a+ 1,\ y = b+1[/TEX], đây là cách làm thường gặp đối với hệ này.
    Bài giải:
    Đặt [TEX]x= a+1,\ y =b+1[/TEX], ta có hệ phương trình đã cho trở thành:

    [TEX]\left{ (a+1)^2 + (a+1)(b+1) + (b+1)^2 = 3 \\ (a+1)^2 + 2 (a+1)(b+1) - 7(a+1) - 5(b+1) + 9 = 0 \right. \\ \Leftrightarrow \left{ a^2 + ab + b^2 = - 3(a+b) \\ a^2 + 2ab = 3(a+b) \right. \\ \Leftrightarrow \left{ 2a^2 + 3ab + b^2 = 0 \\ a^2 + 2ab = 3(a+b)\right. \\ \Leftrightarrow \left{ \left[ a= - b \\ 2a = -b \right. \\ a^2 + 2ab = 3(a+b) [/TEX]
    Trường hợp 1:
    [TEX]\left{ a= - b \\ a^2 + 2ab = 3(a+b) \right. \\ \Leftrightarrow a=b=0 \\ \Leftrightarrow x=y=1 [/TEX]
    Trường hợp 2:
    [TEX]\left{ 2a = -b \\ a^2 + 2ab = 3(a+b) \right. \\ \Leftrightarrow \left{ - 3a^2 = - 3a \\ 2a = - b \right. \\ \Leftrightarrow \left[ a=b=0 (da\ xet) \\ \left{ a= 1 \\ b = - 2 \right. \right. \\ \Leftrightarrow \left{ x= 2 \\ y = - 1 [/TEX]

    Kết luận:
    Nghiệm của hệ phương trình đã cho là:
    [TEX]\left[ \left{ x= 1 \\ y = 1 \right. \\ \left{ x = 2 \\ y = - 1 [/TEX]
     
    Last edited by a moderator: 4 Tháng chín 2011
  8. duynhan1

    duynhan1 Guest


    Định hướng 2:
    Ta sẽ nhân hệ số cho phương trình (1) và (2) rồi cộng trừ thích hợp, sau đó xem x hoặc y làm ẩn số rồi lập delta. Nếu delta chính phương ta sẽ tìm được quan hệ giữa x và y. Hết sức tự nhiên ta sẽ cộng thử 2 phương trình.

    Bài giải:
    Cộng 2 phương trình vế theo vế ta có:

    [TEX]2x^2 + 3xy + y^2 - 7x - 5y + 6 = 0 \\ \Leftrightarrow 2x^2 + ( 3y - 7) x + y^2 - 5y + 6 = 0 (3) [/TEX]
    Coi x là ẩn số, ta có:
    [TEX]\Delta = (3y-7)^2 - 8( y^2 - 5y+6) = ( y-1)^2 [/TEX]
    Do đó :
    [TEX](3) \Leftrightarrow \left[ x = \frac{ - 3y + 7 + y-1}{4} = \frac{3 - y}{2} \\ x = \frac{-3y + 7 - y + 1 }{4} = 2-y[/TEX]

    Trường hợp 1:
    [TEX]x = \frac{ 3-y}{2} \Leftrightarrow y = 3- 2x [/TEX], thay vào phương trình (1) ta có:
    [TEX]x^2 + x( 3- 2x) + (3- 2x)^2 = 3 \\ \Leftrightarrow 3x^2 - 9 x + 6 = 0 \\ \Leftrightarrow \left[ x = 1\\ x= 2 [/TEX]

    • [TEX]x= 1 \Rightarrow y = 3 - 2x = 1 [/TEX]
    • [TEX]x=2 \Rightarrow y = 3 - 2x = -1 [/TEX]
    Trường hợp 2: [TEX]x = 2- y[/TEX], thay vào (1) ta có:
    [TEX]x^2 + x(2-x) + (2-x)^2 = 3 \\ \Leftrightarrow x^2 - 2x + 1 = 0 \\ \Leftrightarrow x= 1 \Rightarrow y = 2- y = 1[/TEX]

    Kết luận:
    Nghiệm của hệ phương trình là:
    [TEX]\left[ \left{ x = 1 \\ y = 1 \right. \\ \left{ x = 2 \\ y = -1 [/TEX]


     
  9. nhocngo976

    nhocngo976 Guest

    Bài 5: Giải hệ

    [TEX]\color{blue} \left{\begin{3x^2y+ y^3=-49 \\ x^2 -8xy +y^2 =8x-17y[/TEX]
     
  10. bananamiss

    bananamiss Guest

    ĐH : PT(1) có [TEX]3x^2y[/TEX], PT(2) có [TEX]x^2[/TEX] -> nhân PT(2) với [TEX] 3y [/TEX] rồi trừ vế để xem đc cái gì

    G:

    y=0 k là nghiệm

    [TEX]PT(2) \leftrightarrow 3x^2y-24xy^2+3y^3=24xy-51y^2 \ (3)[/TEX]

    [TEX](3)-(1) \leftrightarrow 2y^3-24xy^2=24xy-51y^2+49 \Leftrightarrow (y+1)(24xy-2y^2-49y+49)=0[/TEX]

    [TEX]\Leftrightarrow \left[ y=-1 \Rightarrow x=....... \\ 24xy-2y^2-49y+49 =0 \ (4)[/TEX]

    [TEX]PT(2) \Rightarrow 3x^2-24xy+3y^2=24x-51y \ (5)[/TEX]

    [TEX](4)+(5) \Rightarrow 3x^2+y^2+2y-24x+49=0 \Leftrightarrow 3(x-4)^2+(y+1)^2=0[/TEX]



    sao 2 TH đều chỉ có x=4, y=-1 nhỉ :-? -> chắc lòng vòng
     
    Last edited by a moderator: 4 Tháng chín 2011
  11. xlovemathx

    xlovemathx Guest

    Bài 6:Giải hệ phương trình:
    [TEX]\left\{ x+y+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=4 \\ x^2+y^2+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}=4[/TEX]
     
    Last edited by a moderator: 4 Tháng chín 2011
  12. duynhan1

    duynhan1 Guest

    Định hướng: Đây là bài rất quen thuộc đặt ẩn phụ [TEX]x+\frac{1}{x},\ y + \frac{1}{y}[/TEX].
    Bài giải:
    Điều kiện:
    [TEX]x,\ y \not= 0 [/TEX]
    Đặt [TEX]\left{ u = x+\frac{1}{x} \\ v = y + \frac{1}{y} [/TEX], ta có hệ phương trình:
    [TEX]\left{ u+v = 4 \\ u^2 - 2 + v^2 - 2 = 4 \right. \\ \Leftrightarrow \left{ u+v =4 \\ uv = 4 \right. \\ \Leftrightarrow u=v=2 \\ \Leftrightarrow \left{ x + \frac{1}{x} = 2 \\ y + \frac{1}{y} = 2\right. \\ \Leftrightarrow \left{ x = 1 \\ y = 1 \right. (thoa\ man\ dieu\ kien)[/TEX]
    Kết luận: Nghiệm của hệ phương trình là:
    [TEX]\left{ x = 1 \\ y = 1[/TEX]
     
  13. xlovemathx

    xlovemathx Guest

    Tiếp, BÀI 7 - Giải hệ :

    [TEX]\left\{\sqrt{7x+y}+\sqrt{2x+y}=5 \\ \sqrt{2x+y}+x-y=2[/TEX] ;))
     
    Last edited by a moderator: 4 Tháng chín 2011
  14. hienzu

    hienzu Guest

    Bài 8: Giải phương trình:
    [​IMG]
     
    Last edited by a moderator: 4 Tháng chín 2011
  15. nhocngo976

    nhocngo976 Guest


    Định hướng: Đặt [TEX]a= \sqrt{7x+y},\ b = \sqrt{2x+y}[/TEX] rồi dùng phương pháp hệ số bất định biểu diễn [TEX]x-y[/TEX] theo a và b.

    Bài giải:
    Đặt [TEX] \left{ \sqrt{7x+y}=a \ge 0 \\ \sqrt{2x+y}=b \ge 0 [/TEX]
    Ta có, hệ phương trình đã cho trở thành:
    [TEX]\left{ a+b=5 \\ b + \frac{ a^2 -2b^2}{3}=2 \right. \\ \Leftrightarrow \left{\begin{ a= 5-b \\ b+ \frac{(5-b)^2 -2b^2}{3}=2 (2) \right.\\ \\ (2) \Leftrightarrow b^2 +7b-19=0 \\ \Leftrightarrow \left[\begin{ b = \frac{-7 -\sqrt{68}}{2} ( loai) \\ b= \frac{-7 +\sqrt{68}}{2} (thoa\ man) \Rightarrow a= \frac{17 -\sqrt{68}}{2} [/TEX]

    Khi đó ta có:
    [TEX]\left{\begin{ \sqrt{7x+y}= \frac{17 -\sqrt{68}}{2} \\ \sqrt{2x+y}=\frac{-7 +\sqrt{68}}{2} \right. \ \leftrightarrow \left{\begin{ x=10 -\sqrt{77} \\ y= \frac{11 -\sqrt{77}}{2}[/TEX]
    Kết luận: Nghiệm của hệ phương trình là:
    [TEX]\left{ x=10 -\sqrt{77} \\ y= \frac{11 -\sqrt{77}}{2}[/TEX]
     
    Last edited by a moderator: 4 Tháng chín 2011
  16. Bài này em trình bày hơi dài mong các ah chị- các bạn góp ý thêm
    Định hướng: Đặt [TEX]a=\sqrt{1+x};b=\sqrt{1-x}[/TEX]
    ĐK :[TEX] a,b\geq 0[/TEX]

    Thế vào ta được
    [TEX](I)\Leftrightarrow\sqrt{1+ab}(a^3-b^3)=\frac{1}{\sqrt{3}}.(2+ab)[/TEX]
    [TEX]\Leftrightarrow \sqrt{1+ab}(a-b)(a^2+b^2+ab)=\frac{1}{\sqrt{3}}.(2+ab)[/TEX] vs [TEX]( a^2+b^2=2)[/TEX]
    [TEX] \Leftrightarrow(sqrt{1+ab}.(a-b)- \frac{1}{\sqrt{3}}).(ab+2)=0 [/TEX]
    [TEX]\Leftrightarrow [^{ab=-2}_{ \sqrt{1+ab}.(a-b)=\frac{1}{\sqrt{3}} [/TEX]
    [TEX]\Rightarrow 3(1+ab)(a^2+b^2-2ab)=1[/TEX]
    [TEX]\Rightarrow 3(1+ab)(2-2ab)=1[/TEX]
    [TEX]\Rightarrow 6t^2=5 (t=ab\leq 2) [/TEX]
    Tới đây giải nhanh ra [TEX]x=\frac{1}{\sqrt{6}}[/TEX]
     
    Last edited by a moderator: 4 Tháng chín 2011
  17. hienzu

    hienzu Guest

    Thế này thì vô nghiệm lun zui còn gì hả bạn:D

    bài này có nghiệm mà
     
  18. Bài 9: Giải hệ phương trình:
    [TEX]\left\{\sqrt{\frac{20y}{x}}=\sqrt{x+y}+\sqrt{x-y}\\ \sqrt{\frac{16x}{5y}}=\sqrt{x+y}+\sqrt{x-y}[/TEX]
     
    Last edited by a moderator: 4 Tháng chín 2011
  19. nhocngo976

    nhocngo976 Guest


    [TEX]HE \leftrightarrow \left{\begin{ 3x^2y +y^3 +49=0 \\ 3x^2 -24xy +3y^2 -24x +51y=0 [/TEX]

    Cộng 2 vế của 2 phương trình, ta có:

    [TEX]y^3 +3y^2+ (3x^2 -24x+51) y+ 3x^2 -24x +49=0 \\\\ \leftrightarrow (y+1)(y^2 +2y-2) + (3x^2 -24x+51)(y+1)=0 \\\\ \leftrightarrow \left[\begin{ y=-1\rightarrow x=4 \\ (y^2 +2y-2) +(3x^2 -24x+51)=0 \leftrightarrow (y+1)^2+3(x-4)^2=0 (3)\leftrightarrow x=4 \, y=-1 [/TEX]



    Vậy hệ có nghiệm [TEX](x;y)=(4;-1)[/TEX]

     
  20. pepun.dk

    pepun.dk Guest

    Bài 10. Giải hpt

    [TEX]\left\{x^2-2xy+x+y=0\\x^4-4x^2y+3x^2+y^2=0[/TEX]

    Bài 11. Giải hpt

    [TEX]\left\{x^2+y^2+xy+1=4y\\y(x+y)^2=2x^2+7y+2[/TEX]
     
Chú ý: Trả lời bài viết tuân thủ NỘI QUY. Xin cảm ơn!

Draft saved Draft deleted
Trạng thái chủ đề:
Không mở trả lời sau này.

CHIA SẺ TRANG NÀY

-->