Giải và bình luận phương trình, hệ phương trình, bất phương trình

Nhằm giúp các bạn ôn thi đại học có hiệu quả, mình lập TOPIC này với mong muốn các bạn cùng nhau chia sẻ những kinh nghiệm là bài về phương trình, bất phương trình, hệ phương trình.

Bài 1:Giải phương trình :

[TEX]\left{ (x+1)^3 + 3(x+1) + 20 = ( y-1)^3 - 12(y-1) \\ ( x + 1)^2 = 2(y+1)^2 + 1 [/TEX]
​

 

Định hướng: Không
Giải:


đặt [TEX]\color{blue} \left{\begin{ x+1=a \\ y-1=b [/TEX]

ta có:

[TEX]\color{blue} HE \leftrightarrow \left{\begin{ a^3+3a+20=b^3 -12b \\ 3a^2 =6(b+2)^2 +3 \right. \\\\ \leftrightarrow a^3 +3a^2+3a +1+19= b^3+3.b^2.2+3.b .2^2+8+19 \\\\ \leftrightarrow (a+1)^3 = (b+2)^3 \leftrightarrow a+1=b+2 \leftrightarrow a=b+1 \leftrightarrow x+1=y (3)[/TEX]

thế (3) vào (2) ta có:

[TEX]\color{blue} (2) \leftrightarrow y^2 + 4y+3=0 \leftrightarrow \left[\begin{ y=-1 \rightarrow x= -2 \\ y=-3 \rightarrow x= -4[/TEX]

Vậy hệ có nghiệm [TEX]\color{blue} (x;y)= (-2;-1) ;(-4;-3)[/TEX]

 

Bài 2: Giải hệ

[TEX]\color{blue} \left{\begin{ (x-1)^2 +6(x-1)y +4y^2 =20 \\ x^2+(2y+1)^2 =2[/TEX]​

​

​

​

​

 

Định hướng: Từ phương trình (1) ta đặt ẩn phụ để hệ được gọn bớt.

Giải:
Đặt [TEX]\left\{a=x-1\\b=2y[/TEX], hệ phương trình trở thành:
[TEX] \left\{a^2+3ab+b^2=20\\(a+1)^2+(b+1)^2=2[/TEX]

Đây là hệ ĐX loại I


Bài 3: Giải phương trình:
[TEX](x+2)(\sqrt{x^2+4x+7}+1)+x(\sqrt{x^2+3}+1)=0[/TEX]

 

[TEX](x+2)(\sqrt{x^2+4x+7}+1)+x(\sqrt{x^2+3}+1)=0[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow (x+2)(\sqrt{(x+2)^2+3}+1)+x(\sqrt{x^2+3}+1)=0\[/TEX]
Xét hàm số [TEX]f(t)=t(\sqrt{t^2+3}+1) \Rightarrow f'(t)=1+\sqrt{t^2+3}+\frac{t^2}{\sqrt{t^2+3}} > 0 \forall t[/TEX]
\Rightarrow PT có nghiệm duy nhất [TEX]x=-1[/TEX]

 

Bài 4: Giải hệ

[TEX]\color{blue} \left{\begin{ x^2+xy+y^2=3 \\ x^2+2xy -7x-5y+9=0[/TEX]
​

 

Định hướng ban đầu:
Nhẩm nghiệm thì ta thấy hệ phương trình đã cho có nghiệm là [TEX](1;1)[/TEX]. Do đó ta sẽ đặt [TEX]x= a+ 1,\ y = b+1[/TEX], đây là cách làm thường gặp đối với hệ này.
Bài giải:
Đặt [TEX]x= a+1,\ y =b+1[/TEX], ta có hệ phương trình đã cho trở thành:
[TEX]\left{ (a+1)^2 + (a+1)(b+1) + (b+1)^2 = 3 \\ (a+1)^2 + 2 (a+1)(b+1) - 7(a+1) - 5(b+1) + 9 = 0 \right. \\ \Leftrightarrow \left{ a^2 + ab + b^2 = - 3(a+b) \\ a^2 + 2ab = 3(a+b) \right. \\ \Leftrightarrow \left{ 2a^2 + 3ab + b^2 = 0 \\ a^2 + 2ab = 3(a+b)\right. \\ \Leftrightarrow \left{ \left[ a= - b \\ 2a = -b \right. \\ a^2 + 2ab = 3(a+b) [/TEX]
Trường hợp 1:
[TEX]\left{ a= - b \\ a^2 + 2ab = 3(a+b) \right. \\ \Leftrightarrow a=b=0 \\ \Leftrightarrow x=y=1 [/TEX]
Trường hợp 2:
[TEX]\left{ 2a = -b \\ a^2 + 2ab = 3(a+b) \right. \\ \Leftrightarrow \left{ - 3a^2 = - 3a \\ 2a = - b \right. \\ \Leftrightarrow \left[ a=b=0 (da\ xet) \\ \left{ a= 1 \\ b = - 2 \right. \right. \\ \Leftrightarrow \left{ x= 2 \\ y = - 1 [/TEX]

Kết luận: Nghiệm của hệ phương trình đã cho là:
[TEX]\left[ \left{ x= 1 \\ y = 1 \right. \\ \left{ x = 2 \\ y = - 1 [/TEX]

 

Định hướng 2:
Ta sẽ nhân hệ số cho phương trình (1) và (2) rồi cộng trừ thích hợp, sau đó xem x hoặc y làm ẩn số rồi lập delta. Nếu delta chính phương ta sẽ tìm được quan hệ giữa x và y. Hết sức tự nhiên ta sẽ cộng thử 2 phương trình.
Bài giải:
Cộng 2 phương trình vế theo vế ta có:
[TEX]2x^2 + 3xy + y^2 - 7x - 5y + 6 = 0 \\ \Leftrightarrow 2x^2 + ( 3y - 7) x + y^2 - 5y + 6 = 0 (3) [/TEX]
Coi x là ẩn số, ta có:
[TEX]\Delta = (3y-7)^2 - 8( y^2 - 5y+6) = ( y-1)^2 [/TEX]
Do đó :
[TEX](3) \Leftrightarrow \left[ x = \frac{ - 3y + 7 + y-1}{4} = \frac{3 - y}{2} \\ x = \frac{-3y + 7 - y + 1 }{4} = 2-y[/TEX]

Trường hợp 1: [TEX]x = \frac{ 3-y}{2} \Leftrightarrow y = 3- 2x [/TEX], thay vào phương trình (1) ta có:
[TEX]x^2 + x( 3- 2x) + (3- 2x)^2 = 3 \\ \Leftrightarrow 3x^2 - 9 x + 6 = 0 \\ \Leftrightarrow \left[ x = 1\\ x= 2 [/TEX]

• [TEX]x= 1 \Rightarrow y = 3 - 2x = 1 [/TEX]
• [TEX]x=2 \Rightarrow y = 3 - 2x = -1 [/TEX]

Trường hợp 2: [TEX]x = 2- y[/TEX], thay vào (1) ta có:
[TEX]x^2 + x(2-x) + (2-x)^2 = 3 \\ \Leftrightarrow x^2 - 2x + 1 = 0 \\ \Leftrightarrow x= 1 \Rightarrow y = 2- y = 1[/TEX]

Kết luận: Nghiệm của hệ phương trình là:
[TEX]\left[ \left{ x = 1 \\ y = 1 \right. \\ \left{ x = 2 \\ y = -1 [/TEX]

 

Bài 5: Giải hệ

[TEX]\color{blue} \left{\begin{3x^2y+ y^3=-49 \\ x^2 -8xy +y^2 =8x-17y[/TEX]
​

 

ĐH : PT(1) có [TEX]3x^2y[/TEX], PT(2) có [TEX]x^2[/TEX] -> nhân PT(2) với [TEX] 3y [/TEX] rồi trừ vế để xem đc cái gì

G:

y=0 k là nghiệm

[TEX]PT(2) \leftrightarrow 3x^2y-24xy^2+3y^3=24xy-51y^2 \ (3)[/TEX]

[TEX](3)-(1) \leftrightarrow 2y^3-24xy^2=24xy-51y^2+49 \Leftrightarrow (y+1)(24xy-2y^2-49y+49)=0[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow \left[ y=-1 \Rightarrow x=....... \\ 24xy-2y^2-49y+49 =0 \ (4)[/TEX]

[TEX]PT(2) \Rightarrow 3x^2-24xy+3y^2=24x-51y \ (5)[/TEX]

[TEX](4)+(5) \Rightarrow 3x^2+y^2+2y-24x+49=0 \Leftrightarrow 3(x-4)^2+(y+1)^2=0[/TEX]



sao 2 TH đều chỉ có x=4, y=-1 nhỉ :-? -> chắc lòng vòng

 

Bài 6:Giải hệ phương trình:
[TEX]\left\{ x+y+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=4 \\ x^2+y^2+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}=4[/TEX]

 

Định hướng: Đây là bài rất quen thuộc đặt ẩn phụ [TEX]x+\frac{1}{x},\ y + \frac{1}{y}[/TEX].
Bài giải:
Điều kiện: [TEX]x,\ y \not= 0 [/TEX]
Đặt [TEX]\left{ u = x+\frac{1}{x} \\ v = y + \frac{1}{y} [/TEX], ta có hệ phương trình:
[TEX]\left{ u+v = 4 \\ u^2 - 2 + v^2 - 2 = 4 \right. \\ \Leftrightarrow \left{ u+v =4 \\ uv = 4 \right. \\ \Leftrightarrow u=v=2 \\ \Leftrightarrow \left{ x + \frac{1}{x} = 2 \\ y + \frac{1}{y} = 2\right. \\ \Leftrightarrow \left{ x = 1 \\ y = 1 \right. (thoa\ man\ dieu\ kien)[/TEX]
Kết luận: Nghiệm của hệ phương trình là:
[TEX]\left{ x = 1 \\ y = 1[/TEX]

 

Tiếp, BÀI 7 - Giải hệ :

[TEX]\left\{\sqrt{7x+y}+\sqrt{2x+y}=5 \\ \sqrt{2x+y}+x-y=2[/TEX] )

 

Bài 8: Giải phương trình:

 

Định hướng: Đặt [TEX]a= \sqrt{7x+y},\ b = \sqrt{2x+y}[/TEX] rồi dùng phương pháp hệ số bất định biểu diễn [TEX]x-y[/TEX] theo a và b.

Bài giải:
Đặt [TEX] \left{ \sqrt{7x+y}=a \ge 0 \\ \sqrt{2x+y}=b \ge 0 [/TEX]
Ta có, hệ phương trình đã cho trở thành:
[TEX]\left{ a+b=5 \\ b + \frac{ a^2 -2b^2}{3}=2 \right. \\ \Leftrightarrow \left{\begin{ a= 5-b \\ b+ \frac{(5-b)^2 -2b^2}{3}=2 (2) \right.\\ \\ (2) \Leftrightarrow b^2 +7b-19=0 \\ \Leftrightarrow \left[\begin{ b = \frac{-7 -\sqrt{68}}{2} ( loai) \\ b= \frac{-7 +\sqrt{68}}{2} (thoa\ man) \Rightarrow a= \frac{17 -\sqrt{68}}{2} [/TEX]

Khi đó ta có:
[TEX]\left{\begin{ \sqrt{7x+y}= \frac{17 -\sqrt{68}}{2} \\ \sqrt{2x+y}=\frac{-7 +\sqrt{68}}{2} \right. \ \leftrightarrow \left{\begin{ x=10 -\sqrt{77} \\ y= \frac{11 -\sqrt{77}}{2}[/TEX]
Kết luận: Nghiệm của hệ phương trình là:
[TEX]\left{ x=10 -\sqrt{77} \\ y= \frac{11 -\sqrt{77}}{2}[/TEX]

 

Bài này em trình bày hơi dài mong các ah chị- các bạn góp ý thêm
Định hướng: Đặt [TEX]a=\sqrt{1+x};b=\sqrt{1-x}[/TEX]
ĐK :[TEX] a,b\geq 0[/TEX]

Thế vào ta được
[TEX](I)\Leftrightarrow\sqrt{1+ab}(a^3-b^3)=\frac{1}{\sqrt{3}}.(2+ab)[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow \sqrt{1+ab}(a-b)(a^2+b^2+ab)=\frac{1}{\sqrt{3}}.(2+ab)[/TEX] vs [TEX]( a^2+b^2=2)[/TEX]
[TEX] \Leftrightarrow(sqrt{1+ab}.(a-b)- \frac{1}{\sqrt{3}}).(ab+2)=0 [/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow [^{ab=-2}_{ \sqrt{1+ab}.(a-b)=\frac{1}{\sqrt{3}} [/TEX]
[TEX]\Rightarrow 3(1+ab)(a^2+b^2-2ab)=1[/TEX]
[TEX]\Rightarrow 3(1+ab)(2-2ab)=1[/TEX]
[TEX]\Rightarrow 6t^2=5 (t=ab\leq 2) [/TEX]
Tới đây giải nhanh ra [TEX]x=\frac{1}{\sqrt{6}}[/TEX]

 

Thế này thì vô nghiệm lun zui còn gì hả bạn

bài này có nghiệm mà

 

Bài 9: Giải hệ phương trình:
[TEX]\left\{\sqrt{\frac{20y}{x}}=\sqrt{x+y}+\sqrt{x-y}\\ \sqrt{\frac{16x}{5y}}=\sqrt{x+y}+\sqrt{x-y}[/TEX]

 

[TEX]HE \leftrightarrow \left{\begin{ 3x^2y +y^3 +49=0 \\ 3x^2 -24xy +3y^2 -24x +51y=0 [/TEX]

Cộng 2 vế của 2 phương trình, ta có:

[TEX]y^3 +3y^2+ (3x^2 -24x+51) y+ 3x^2 -24x +49=0 \\\\ \leftrightarrow (y+1)(y^2 +2y-2) + (3x^2 -24x+51)(y+1)=0 \\\\ \leftrightarrow \left[\begin{ y=-1\rightarrow x=4 \\ (y^2 +2y-2) +(3x^2 -24x+51)=0 \leftrightarrow (y+1)^2+3(x-4)^2=0 (3)\leftrightarrow x=4 \, y=-1 [/TEX]



Vậy hệ có nghiệm [TEX](x;y)=(4;-1)[/TEX]

 

Bài 10. Giải hpt

[TEX]\left\{x^2-2xy+x+y=0\\x^4-4x^2y+3x^2+y^2=0[/TEX]

Bài 11. Giải hpt

[TEX]\left\{x^2+y^2+xy+1=4y\\y(x+y)^2=2x^2+7y+2[/TEX]