Giải và bình luận phương trình, hệ phương trình, bất phương trình

[duynhan1]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Nhằm giúp các bạn ôn thi đại học có hiệu quả, mình lập TOPIC này với mong muốn các bạn cùng nhau chia sẻ những kinh nghiệm là bài về phương trình, bất phương trình, hệ phương trình.

Nội quy của TOPIC:
- Phải gõ bài bằng LATEX. Tất cả các bài không được gõ bằng LATEX sẽ bị xóa.
- Đánh số thứ tự bài.
- Bài giải phải đủ 2 phần:
+ Phần định hướng: Hướng suy nghĩ, tại sao lại có lời giải như thế?
+ Phần bài giải: Trình bày rõ ràng, có điều kiện và kết luận nghiệm.

Bài 1:Giải phương trình :

[TEX]\left{ (x+1)^3 + 3(x+1) + 20 = ( y-1)^3 - 12(y-1) \\ ( x + 1)^2 = 2(y+1)^2 + 1 [/TEX]
​

 

[nhocngo976]

Bài 1:Giải phương trình :

[TEX]\left{ (x+1)^3 + 3(x+1) + 20 = ( y-1)^3 - 12(y-1) (1)\\ ( x + 1)^2 = 2(y+1)^2 + 1(2) [/TEX]
​

Định hướng: Không
Giải:


đặt [TEX]\color{blue} \left{\begin{ x+1=a \\ y-1=b [/TEX]

ta có:

[TEX]\color{blue} HE \leftrightarrow \left{\begin{ a^3+3a+20=b^3 -12b \\ 3a^2 =6(b+2)^2 +3 \right. \\\\ \leftrightarrow a^3 +3a^2+3a +1+19= b^3+3.b^2.2+3.b .2^2+8+19 \\\\ \leftrightarrow (a+1)^3 = (b+2)^3 \leftrightarrow a+1=b+2 \leftrightarrow a=b+1 \leftrightarrow x+1=y (3)[/TEX]

thế (3) vào (2) ta có:

[TEX]\color{blue} (2) \leftrightarrow y^2 + 4y+3=0 \leftrightarrow \left[\begin{ y=-1 \rightarrow x= -2 \\ y=-3 \rightarrow x= -4[/TEX]

Vậy hệ có nghiệm [TEX]\color{blue} (x;y)= (-2;-1) ;(-4;-3)[/TEX]

giải hệ hay giải pt thế

 

[nhocngo976]

Bài 2: Giải hệ

[TEX]\color{blue} \left{\begin{ (x-1)^2 +6(x-1)y +4y^2 =20 \\ x^2+(2y+1)^2 =2[/TEX]​

​

​

​

​

 

[pepun.dk]

Bài 2: Giải hệ

[TEX]\left{\begin{ (x-1)^2 +6(x-1)y +4y^2 =20 \\ x^2+(2y+1)^2 =2[/TEX]​

Định hướng: Từ phương trình (1) ta đặt ẩn phụ để hệ được gọn bớt.

Giải:
Đặt [TEX]\left\{a=x-1\\b=2y[/TEX], hệ phương trình trở thành:
[TEX] \left\{a^2+3ab+b^2=20\\(a+1)^2+(b+1)^2=2[/TEX]

Đây là hệ ĐX loại I


Bài 3: Giải phương trình:
[TEX](x+2)(\sqrt{x^2+4x+7}+1)+x(\sqrt{x^2+3}+1)=0[/TEX]

 

[tuyn]

Bài 3: Giải phương trình:
[TEX](x+2)(\sqrt{x^2+4x+7}+1)+x(\sqrt{x^2+3}+1)=0[/TEX]

[TEX](x+2)(\sqrt{x^2+4x+7}+1)+x(\sqrt{x^2+3}+1)=0[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow (x+2)(\sqrt{(x+2)^2+3}+1)+x(\sqrt{x^2+3}+1)=0\[/TEX]
Xét hàm số [TEX]f(t)=t(\sqrt{t^2+3}+1) \Rightarrow f'(t)=1+\sqrt{t^2+3}+\frac{t^2}{\sqrt{t^2+3}} > 0 \forall t[/TEX]
\Rightarrow PT có nghiệm duy nhất [TEX]x=-1[/TEX]

 

[nhocngo976]

Bài 4: Giải hệ

[TEX]\color{blue} \left{\begin{ x^2+xy+y^2=3 \\ x^2+2xy -7x-5y+9=0[/TEX]
​

 

[duynhan1]

Bài 4: Giải hệ

[TEX]\color{blue} \left{\begin{ x^2+xy+y^2=3 \\ x^2+2xy -7x-5y+9=0[/TEX]
​

Định hướng ban đầu:
Nhẩm nghiệm thì ta thấy hệ phương trình đã cho có nghiệm là [TEX](1;1)[/TEX]. Do đó ta sẽ đặt [TEX]x= a+ 1,\ y = b+1[/TEX], đây là cách làm thường gặp đối với hệ này.
Bài giải:
Đặt [TEX]x= a+1,\ y =b+1[/TEX], ta có hệ phương trình đã cho trở thành:
[TEX]\left{ (a+1)^2 + (a+1)(b+1) + (b+1)^2 = 3 \\ (a+1)^2 + 2 (a+1)(b+1) - 7(a+1) - 5(b+1) + 9 = 0 \right. \\ \Leftrightarrow \left{ a^2 + ab + b^2 = - 3(a+b) \\ a^2 + 2ab = 3(a+b) \right. \\ \Leftrightarrow \left{ 2a^2 + 3ab + b^2 = 0 \\ a^2 + 2ab = 3(a+b)\right. \\ \Leftrightarrow \left{ \left[ a= - b \\ 2a = -b \right. \\ a^2 + 2ab = 3(a+b) [/TEX]
Trường hợp 1:
[TEX]\left{ a= - b \\ a^2 + 2ab = 3(a+b) \right. \\ \Leftrightarrow a=b=0 \\ \Leftrightarrow x=y=1 [/TEX]
Trường hợp 2:
[TEX]\left{ 2a = -b \\ a^2 + 2ab = 3(a+b) \right. \\ \Leftrightarrow \left{ - 3a^2 = - 3a \\ 2a = - b \right. \\ \Leftrightarrow \left[ a=b=0 (da\ xet) \\ \left{ a= 1 \\ b = - 2 \right. \right. \\ \Leftrightarrow \left{ x= 2 \\ y = - 1 [/TEX]

Kết luận: Nghiệm của hệ phương trình đã cho là:
[TEX]\left[ \left{ x= 1 \\ y = 1 \right. \\ \left{ x = 2 \\ y = - 1 [/TEX]

 

[duynhan1]

Bài 4: Giải hệ

[TEX]\color{blue} \left{\begin{ x^2+xy+y^2=3 \\ x^2+2xy -7x-5y+9=0[/TEX]
​

Định hướng 2:
Ta sẽ nhân hệ số cho phương trình (1) và (2) rồi cộng trừ thích hợp, sau đó xem x hoặc y làm ẩn số rồi lập delta. Nếu delta chính phương ta sẽ tìm được quan hệ giữa x và y. Hết sức tự nhiên ta sẽ cộng thử 2 phương trình.
Bài giải:
Cộng 2 phương trình vế theo vế ta có:
[TEX]2x^2 + 3xy + y^2 - 7x - 5y + 6 = 0 \\ \Leftrightarrow 2x^2 + ( 3y - 7) x + y^2 - 5y + 6 = 0 (3) [/TEX]
Coi x là ẩn số, ta có:
[TEX]\Delta = (3y-7)^2 - 8( y^2 - 5y+6) = ( y-1)^2 [/TEX]
Do đó :
[TEX](3) \Leftrightarrow \left[ x = \frac{ - 3y + 7 + y-1}{4} = \frac{3 - y}{2} \\ x = \frac{-3y + 7 - y + 1 }{4} = 2-y[/TEX]

Trường hợp 1: [TEX]x = \frac{ 3-y}{2} \Leftrightarrow y = 3- 2x [/TEX], thay vào phương trình (1) ta có:
[TEX]x^2 + x( 3- 2x) + (3- 2x)^2 = 3 \\ \Leftrightarrow 3x^2 - 9 x + 6 = 0 \\ \Leftrightarrow \left[ x = 1\\ x= 2 [/TEX]

• [TEX]x= 1 \Rightarrow y = 3 - 2x = 1 [/TEX]
• [TEX]x=2 \Rightarrow y = 3 - 2x = -1 [/TEX]

Trường hợp 2: [TEX]x = 2- y[/TEX], thay vào (1) ta có:
[TEX]x^2 + x(2-x) + (2-x)^2 = 3 \\ \Leftrightarrow x^2 - 2x + 1 = 0 \\ \Leftrightarrow x= 1 \Rightarrow y = 2- y = 1[/TEX]

Kết luận: Nghiệm của hệ phương trình là:
[TEX]\left[ \left{ x = 1 \\ y = 1 \right. \\ \left{ x = 2 \\ y = -1 [/TEX]

Nhận xét cách 2 có vẻ ngắn hơn nhưng thực tế thời gian làm sẽ lâu hơn cách 1

 

[nhocngo976]

Bài 5: Giải hệ

[TEX]\color{blue} \left{\begin{3x^2y+ y^3=-49 \\ x^2 -8xy +y^2 =8x-17y[/TEX]
​

 

[bananamiss]

Bài 5: Giải hệ

[TEX]\color{blue} \left{\begin{3x^2y+ y^3=-49 \ (1) \\ x^2 -8xy +y^2 =8x-17y \ (2)[/TEX]
​

ĐH : PT(1) có [TEX]3x^2y[/TEX], PT(2) có [TEX]x^2[/TEX] -> nhân PT(2) với [TEX] 3y [/TEX] rồi trừ vế để xem đc cái gì

G:

y=0 k là nghiệm

[TEX]PT(2) \leftrightarrow 3x^2y-24xy^2+3y^3=24xy-51y^2 \ (3)[/TEX]

[TEX](3)-(1) \leftrightarrow 2y^3-24xy^2=24xy-51y^2+49 \Leftrightarrow (y+1)(24xy-2y^2-49y+49)=0[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow \left[ y=-1 \Rightarrow x=....... \\ 24xy-2y^2-49y+49 =0 \ (4)[/TEX]

[TEX]PT(2) \Rightarrow 3x^2-24xy+3y^2=24x-51y \ (5)[/TEX]

[TEX](4)+(5) \Rightarrow 3x^2+y^2+2y-24x+49=0 \Leftrightarrow 3(x-4)^2+(y+1)^2=0[/TEX]



sao 2 TH đều chỉ có x=4, y=-1 nhỉ :-? -> chắc lòng vòng

 

[xlovemathx]

Bài 6:Giải hệ phương trình:
[TEX]\left\{ x+y+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=4 \\ x^2+y^2+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}=4[/TEX]

 

[duynhan1]

Bài 6:Giải hệ phương trình:
[TEX]\left\{ x+y+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=4 \\ x^2+y^2+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}=4[/TEX]

Định hướng: Đây là bài rất quen thuộc đặt ẩn phụ [TEX]x+\frac{1}{x},\ y + \frac{1}{y}[/TEX].
Bài giải:
Điều kiện: [TEX]x,\ y \not= 0 [/TEX]
Đặt [TEX]\left{ u = x+\frac{1}{x} \\ v = y + \frac{1}{y} [/TEX], ta có hệ phương trình:
[TEX]\left{ u+v = 4 \\ u^2 - 2 + v^2 - 2 = 4 \right. \\ \Leftrightarrow \left{ u+v =4 \\ uv = 4 \right. \\ \Leftrightarrow u=v=2 \\ \Leftrightarrow \left{ x + \frac{1}{x} = 2 \\ y + \frac{1}{y} = 2\right. \\ \Leftrightarrow \left{ x = 1 \\ y = 1 \right. (thoa\ man\ dieu\ kien)[/TEX]
Kết luận: Nghiệm của hệ phương trình là:
[TEX]\left{ x = 1 \\ y = 1[/TEX]

 

[xlovemathx]

Tiếp, BÀI 7 - Giải hệ :

[TEX]\left\{\sqrt{7x+y}+\sqrt{2x+y}=5 \\ \sqrt{2x+y}+x-y=2[/TEX] )

 

[hienzu]

Những bài trc toàn giải hệ
- Làm con pt cho nó thay đổi không khí

Bài 8: Giải phương trình:

 

[nhocngo976]

Tiếp, BÀI 7 - Giải hệ :

[TEX]\left\{\sqrt{7x+y}+\sqrt{2x+y}=5 \\ \sqrt{2x+y}+x-y=2[/TEX] )

Định hướng: Đặt [TEX]a= \sqrt{7x+y},\ b = \sqrt{2x+y}[/TEX] rồi dùng phương pháp hệ số bất định biểu diễn [TEX]x-y[/TEX] theo a và b.

Bài giải:
Đặt [TEX] \left{ \sqrt{7x+y}=a \ge 0 \\ \sqrt{2x+y}=b \ge 0 [/TEX]
Ta có, hệ phương trình đã cho trở thành:
[TEX]\left{ a+b=5 \\ b + \frac{ a^2 -2b^2}{3}=2 \right. \\ \Leftrightarrow \left{\begin{ a= 5-b \\ b+ \frac{(5-b)^2 -2b^2}{3}=2 (2) \right.\\ \\ (2) \Leftrightarrow b^2 +7b-19=0 \\ \Leftrightarrow \left[\begin{ b = \frac{-7 -\sqrt{68}}{2} ( loai) \\ b= \frac{-7 +\sqrt{68}}{2} (thoa\ man) \Rightarrow a= \frac{17 -\sqrt{68}}{2} [/TEX]

Khi đó ta có:
[TEX]\left{\begin{ \sqrt{7x+y}= \frac{17 -\sqrt{68}}{2} \\ \sqrt{2x+y}=\frac{-7 +\sqrt{68}}{2} \right. \ \leftrightarrow \left{\begin{ x=10 -\sqrt{77} \\ y= \frac{11 -\sqrt{77}}{2}[/TEX]
Kết luận: Nghiệm của hệ phương trình là:
[TEX]\left{ x=10 -\sqrt{77} \\ y= \frac{11 -\sqrt{77}}{2}[/TEX]

 

[quocoanh12345]

Bài 8: Giải phương trình:

Bài này em trình bày hơi dài mong các ah chị- các bạn góp ý thêm
Định hướng: Đặt [TEX]a=\sqrt{1+x};b=\sqrt{1-x}[/TEX]
ĐK :[TEX] a,b\geq 0[/TEX]

Thế vào ta được
[TEX](I)\Leftrightarrow\sqrt{1+ab}(a^3-b^3)=\frac{1}{\sqrt{3}}.(2+ab)[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow \sqrt{1+ab}(a-b)(a^2+b^2+ab)=\frac{1}{\sqrt{3}}.(2+ab)[/TEX] vs [TEX]( a^2+b^2=2)[/TEX]
[TEX] \Leftrightarrow(sqrt{1+ab}.(a-b)- \frac{1}{\sqrt{3}}).(ab+2)=0 [/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow [^{ab=-2}_{ \sqrt{1+ab}.(a-b)=\frac{1}{\sqrt{3}} [/TEX]
[TEX]\Rightarrow 3(1+ab)(a^2+b^2-2ab)=1[/TEX]
[TEX]\Rightarrow 3(1+ab)(2-2ab)=1[/TEX]
[TEX]\Rightarrow 6t^2=5 (t=ab\leq 2) [/TEX]
Tới đây giải nhanh ra [TEX]x=\frac{1}{\sqrt{6}}[/TEX]

 

[hienzu]

[TEX]\Leftrightarrow [^{ab=-2}_{ \sqrt{1+ab}.(a-b)=\frac{1}{\sqrt{3}} [/TEX]

Thế này thì vô nghiệm lun zui còn gì hả bạn

bài này có nghiệm mà

 

[lovelycat_handoi95]

Bài 9: Giải hệ phương trình:
[TEX]\left\{\sqrt{\frac{20y}{x}}=\sqrt{x+y}+\sqrt{x-y}\\ \sqrt{\frac{16x}{5y}}=\sqrt{x+y}+\sqrt{x-y}[/TEX]

 

[nhocngo976]

Bài 5: Giải hệ

[TEX]\color{blue} \left{\begin{3x^2y+ y^3=-49 \\ x^2 -8xy +y^2 =8x-17y[/TEX]
​

[TEX]HE \leftrightarrow \left{\begin{ 3x^2y +y^3 +49=0 \\ 3x^2 -24xy +3y^2 -24x +51y=0 [/TEX]

Cộng 2 vế của 2 phương trình, ta có:

[TEX]y^3 +3y^2+ (3x^2 -24x+51) y+ 3x^2 -24x +49=0 \\\\ \leftrightarrow (y+1)(y^2 +2y-2) + (3x^2 -24x+51)(y+1)=0 \\\\ \leftrightarrow \left[\begin{ y=-1\rightarrow x=4 \\ (y^2 +2y-2) +(3x^2 -24x+51)=0 \leftrightarrow (y+1)^2+3(x-4)^2=0 (3)\leftrightarrow x=4 \, y=-1 [/TEX]



Vậy hệ có nghiệm [TEX](x;y)=(4;-1)[/TEX]

chết luôn )

 

[pepun.dk]

Bài 10. Giải hpt

[TEX]\left\{x^2-2xy+x+y=0\\x^4-4x^2y+3x^2+y^2=0[/TEX]

Bài 11. Giải hpt

[TEX]\left\{x^2+y^2+xy+1=4y\\y(x+y)^2=2x^2+7y+2[/TEX]