[Toán 11]Bất đẳng thức

[minhkhac_94]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Bất đẳng thức thì trên diễn dàn mình cũng nhiều rồi (trong mục lớp 10) nhưng trong mục lớp 11 có ít topic về BĐT nên mình lập topic này để thảo luận về vẫn đề này
Trong này cũng có thể có các vấn đề ứng dụng của BĐT.
P/s Hi vọng các bài post được đánh đúng thứ tự của nó
Mở đầu bằng 1 bài
Bài 1(Marian Tetiva) Cho [tex]x,y,z[/tex] là các số thực không âm thoả mãn điều kiện
[tex]x^2+y^2+z^2+2xyz=1[/tex]
Chứng minh rằng:
[tex]1)xyz \le \frac{1}{8}[/tex]
[tex]2)x+y+z \le \frac{3}{2}[/tex]
[tex]3)xy+yz+zx \le \frac{3}{4} \le x^2+y^2+z^2[/tex]
[tex]4)xy+yz+zx \le \frac{1}{2} \le1+2xyz[/tex]

 

[duynhan1]

Bất đẳng thức thì trên diễn dàn mình cũng nhiều rồi (trong mục lớp 10) nhưng trong mục lớp 11 có ít topic về BĐT nên mình lập topic này để thảo luận về vẫn đề này
Trong này cũng có thể có các vấn đề ứng dụng của BĐT.
P/s Hi vọng các bài post được đánh đúng thứ tự của nó
Mở đầu bằng 1 bài
Bài 1(Marian Tetiva) Cho [tex]x,y,z[/tex] là các số thực không âm thoả mãn điều kiện
[tex]x^2+y^2+z^2+2xyz=1[/tex]
Chứng minh rằng:
[tex]1)xyz \le \frac{1}{8}[/tex]

[TEX] 1 - 2xyz = x^2 + y^2 + z^2 \ge 3\sqrt[3]{x^2y^2z^2} [/TEX]

[TEX] t = \sqrt[3]{xyz} [/TEX]

[TEX]\Rightarrow 1 - 2t^3 \ge 3t^2 [/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow 2t^3 + 3t^2 - 1 \le 0 [/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow ( t - \frac12 )( t+1 )^2 \le 0 [/TEX](*)

Do [TEX] t \ge 0 [/TEX] nên (*) [TEX]\Leftrightarrow t \le \frac12 \Leftrightarrow xyz \le \frac18[/TEX]

 

[minhkhac_94]

Bài 1 Nếu đặt [tex]x=sin(\frac{A}{2}[/tex] .... thì tất cả phần trên dễ rồi
Bài 2Cho các số ko âm [tex]x,y,z[/tex]
[tex]\frac{ab}{a+b+2c}+\frac{bc}{b+c+2a}+\frac{ca}{c+a+2b} \le \frac{1}{4}(a+b+c}[/tex]

 

[thesecond_jerusalem]

ủng hộ mấy bài IMO nè ) toàn dùng AM-GM hết nhé

1)Cho các số thực dương a,b,c .cmr:
[tex]\frac{1}{a^3+b^3+abc}+\frac{1}{b^3+c^3+abc}+\frac{1}{c^3+a^3+abc} \leq \frac{1}{abc} [/tex]
_________________________ ___USA IMO 1998____________________________

2)Cho các số thực dương x,y,z thỏa ĐK:[tex]x^3+y^3+z^3=3[/tex].CMR:

[tex]\frac{xy}{z}+\frac{yz}{x}+\frac{xz}{y}\geq3[/tex]
______________________________France Pre-IMO 2005________________________

 

[minhkhac_94]

ủng hộ mấy bài IMO nè ) toàn dùng AM-GM hết nhé

[/\b]Bài 3[/b])Cho các số thực dương a,b,c .cmr:
[tex]\frac{1}{a^3+b^3+abc}+\frac{1}{b^3+c^3+abc}+\frac{1}{c^3+a^3+abc} \leq \frac{1}{abc} [/tex]
_________________________ ___USA IMO 1998____________________________

Bài 4)Cho các số thực dương x,y,z thỏa ĐK:[tex]x^3+y^3+z^3=3[/tex].CMR:

[tex]\frac{xy}{z}+\frac{yz}{x}+\frac{xz}{y}\geq3[/tex]
______________________________France Pre-IMO 2005________________________

Lần sau post đúng tên bài nhé

Bài 3
Ta có [tex]a^3+b^3\geq ab(a+b)<=>(a-b)^2(a+b) \geq 0 [/tex](đúng)
Do dó ta có [tex]\frac{1}{a^3+b^3+abc}+\frac{1}{b^3+c^3+abc}+\frac{1}{c^3+a^3+abc} \leq \sum{\frac{1}{ab(a+b)+abc} [/tex]
[tex]\sum{\frac{1}{ab(a+b)+abc}=\frac{1}{abc}[/tex]
Ta có đpcm

 

[herrycuong_boy94]

 

[giaosu_fanting_thientai]

Bài IMO thứ 2 sai đề kìa

1. Cm [TEX](1+\frac{1}{n+1})^{n+1} > (1+ \frac {1}{n} )^n[/TEX] với mọi n>0

2. mọi số tự nhiên n \geq2. Cm:
[TEX]\sqrt[n+1]{\frac {n+1}{2}} < \frac {1}{1^2} +\frac{1}{2^2} +....+\frac {1}{n^2}[/TEX]

2 bài nì mod vodichhocmai nợ mình Hứa lên lớp 11 mờ k bjk mod còn nhớ k
Nhưng vẫn làm được 2 bài nèy theo kiểu lớp "10"

 

[phamduyquoc0906]

Bài IMO thứ 2 sai đề kìa

1. Cm [TEX](1+\frac{1}{n+1})^{n+1} > (1+ \frac {1}{n} )^n[/TEX] với mọi n>0

2. mọi số tự nhiên n 2. Cm:
[TEX]\sqrt[n+1]{\frac {n+1}{2}} < \frac {1}{1^2} +\frac{1}{2^2} +....+\frac {1}{n^2}[/TEX]

2 bài nì mod vodichhocmai nợ mình Hứa lên lớp 11 mờ k bjk mod còn nhớ k
Nhưng vẫn làm được 2 bài nèy theo kiểu lớp "10"

*Bạn giải được rồi mà nhờ anh vodichhocmai làm gì nữa nhỉ
*Giải bằng phương pháp hàm số
[TEX]f(t)=(1+\frac{1}{t})^t\ \ \ \ (t>0)[/TEX]
[TEX]lnf(t)=t.ln(1+\frac{1}{t})\Rightarrow{\frac{f^'(t)}{f(t)}=ln(1+\frac{1}{t})-\frac{1}{t+1}=g(t)[/TEX]

[TEX]g^'(t)=-\frac{1}{t(t+1)}+\frac{1}{(t+1)^2}=-\frac{1}{t(t+1)^2}<0\ \ \ \forall{t>0[/TEX][TEX]\Rightarrow{g(t):NB[/TEX]
[TEX]g(0)=+\infty\ ,\ g(+\infty)=0\ \ (ghi---lim--)\ ,\ BBT\Rightarrow{g(t)>0\ \ \ \forall{t>0[/TEX]

[TEX]\Rightarrow{f^'(t)=f(t).g(t)>0\ \ \ \forall{t>0[/TEX][TEX]\Rightarrow{f(t):DB[/TEX]

[TEX]f(n+1)>f(n)\Leftrightarrow{(1+\frac{1}{n+1})^{n+1} > (1+ \frac {1}{n} )^n[/TEX]

 

[minhkhac_94]

Bài 7 Cho [tex]x,y,z[/tex] ko âm thỏa mãn [tex]x+y+z=1[/tex]. Chứng minh rằng :
[tex]\sum{\frac{1}{1-xy}} \le \frac{27}{8}[/tex]
Bài 8: Cho [tex]a,b,c [/tex]là số thực dương. Chứng minh rằng :
[tex]\frac{(2a+b+c)^2}{2a^2+(b+c)^2}+\frac{(2b+a+c)^2}{2b^2+(a+c)^2}+\frac{(2c+a+b)^2}{2c^2+(a+b)^2}} \le 8[/tex]

 

[duynhan1]

Bài 7 Cho [tex]x,y,z[/tex] ko âm thỏa mãn [tex]x+y+z=1[/tex]. Chứng minh rằng :
[tex]\sum{\frac{1}{1-xy}} \le \frac{27}{8}[/tex]

[TEX]\Leftrightarrow 8( 3 - 2 ( xy + yz + zx ) + xyz(x+y+z) ) \le 27( 1 - ( xy + yz + zx) +xyz(x+y+z) - x^2y^2z^2 ) [/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow 24 - 16 q + 8r \le 27 - 27 q + 27r - 27r^2 [/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow 3 -11 q + 9r - 27r^2 \ge 0 [/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow (1 - 3q) + r( 1 - 27r) + 2( 9r - 4 q + 1 ) \ge 0 [/TEX]

Điều này luôn đúng do :

[TEX]\left{ q \le \frac13p^2 = \frac13 \\ r \le \frac{1}{27} p^3 = \frac{1}{27} \\ 9r \ge p( 4q-p^2) = 4q - 1 [/TEX]

 

[minhkhac_94]

Bài 9 Tìm giá trị lớn nhất của hàm số

 

[letrang3003]

Bài 9 Tìm giá trị lớn nhất của hàm số -1 bài hay

[TEX]\sin^8x+\cos^4x \le \sin^2x+\cos^2x=1[/TEX] .

 

[minhkhac_94]

Nhanh phết ! sửa lại đề rồi sorry nhé ______________
Thế này có khác j đâu )
Bài 10: Cho

thuộc đoạn

thỏa mãn

Tìm GTNN và GTLN của

 

[letrang3003]

Nhanh phết ! sửa lại đề rồi sorry nhé ______________
Thế này có khác j đâu )
Bài 10: Cho

thuộc đoạn

thỏa mãn

Tìm GTNN và GTLN của

[TEX]\cos \frac{9}{4} =\cos\bigg(a+b+c\bigg)^2 \le \cos (a^2+b^2+c^2) \le \cos \bigg(\frac{(a+b+c)^2}{3}\bigg)=\cos \frac{3}{4}[/TEX]

ta thấy[TEX] \frac{9}{4}[/TEX] và [TEX]\frac{3}{4}[/TEX] đều trong khoảng[TEX] [0,\pi][/TEX] nên có đpcm:

hình như thừa đk [TEX]x,y.z \le 1[/TEX] đó anh .

 

[letrang3003]

cho tam giác ABC tìm max:

 

[duynhan1]

Bài 9 Tìm giá trị lớn nhất của hàm số

[TEX]y \le 3 [/TEX]

[TEX]"=" \Leftrightarrow \left{ sinx = \pm 1 \\ cos 2x = \pm 1 [/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow sin x = 1 [/TEX] ) )

 

[vodichhocmai]

Nhanh phết ! sửa lại đề rồi sorry nhé ______________
Thế này có khác j đâu )
Bài 10: Cho

thuộc đoạn

thỏa mãn

Tìm GTNN và GTLN của

[TEX]\frac{3}{4}\le \sum x^2\le \frac{5}{4}<\frac{\pi}{2}\ \ [/TEX]

 

[legendismine]

Bất đẳng thức thì trên diễn dàn mình cũng nhiều rồi (trong mục lớp 10) nhưng trong mục lớp 11 có ít topic về BĐT nên mình lập topic này để thảo luận về vẫn đề này
Trong này cũng có thể có các vấn đề ứng dụng của BĐT.
P/s Hi vọng các bài post được đánh đúng thứ tự của nó
Mở đầu bằng 1 bài
Bài 1(Marian Tetiva) Cho [tex]x,y,z[/tex] là các số thực không âm thoả mãn điều kiện
[tex]x^2+y^2+z^2+2xyz=1[/tex]
Chứng minh rằng:
[tex]1)xyz \le \frac{1}{8}[/tex]
[tex]2)x+y+z \le \frac{3}{2}[/tex]
[tex]3)xy+yz+zx \le \frac{3}{4} \le x^2+y^2+z^2[/tex]
[tex]4)xy+yz+zx \le \frac{1}{2} \le1+2xyz[/tex]

dat s=x+y+z,ta có
[tex]s^2-2s+1\le \2(\frac{1-x+1-y+1-z}{3})^3=2(\frac {3-s}{3})^3[/tex]
[tex](2s-3)(s+3)^2\le 0[/tex]

[tex]xy+yz+xz\le \frac {3}{4} , x^2+y^2+z^2=1-2xyz=\frac {3}{4}[/tex]

 

[legendismine]

ủng hộ mấy bài IMO nè ) toàn dùng AM-GM hết nhé

1)Cho các số thực dương a,b,c .cmr:
[tex]\frac{1}{a^3+b^3+abc}+\frac{1}{b^3+c^3+abc}+\frac{1}{c^3+a^3+abc} \leq \frac{1}{abc} [/tex]
_________________________ ___USA IMO 1998____________________________

2)Cho các số thực dương x,y,z thỏa ĐK:[tex]x^3+y^3+z^3=3[/tex].CMR:

[tex]\frac{xy}{z}+\frac{yz}{x}+\frac{xz}{y}\geq3[/tex]
______________________________France Pre-IMO 2005________________________

2>
[tex]\sum_{cyc}\frac {x^2y^2}{z^2}+2(x^2+y^2+z^2)\ge 3(x^2+y^2+z^2)[/tex]

 

[minhkhac_94]

cho tam giác ABC tìm max:

Bài 11 :

Xem lại đề đi kuung:-SS@-)@-)@-)@-)@-)@-)@-)@-)@-)