BĐT giúp!!!

  • Thread starter miko_tinhnghich_dangyeu
  • Ngày gửi
  • Replies 31
  • Views 4,700

M

miko_tinhnghich_dangyeu

vậy thì bạn thử làm mình coi!!mình nghĩ mãi mà ko ra nổi bài này đo:(
 
R

rua_it

miko_tinhnghich_dangyeu said:
cho a,b ,c là các số dương thoã mãn [TEX]a^2+b^2+c^2+abc=4[/TEX]
CMR [TEX]a+b+c\leq3[/TEX]
nhanh nhá !mai học roài
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...
Giả sử [tex]a+b+c >3[/tex]
Vì [tex]a,b,c >0 [/tex]
[tex]\Rightarrow (a+b+c)^2>9[/tex]
[tex]\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2(ab+ab+ca) >9[/tex]
Mà ta lại có
[tex]a^2+b^2\geq 2ab[/tex]
[tex]b^2+c^2 \geq 2bc[/tex]
[tex]c^2+a^2 \geq 2ca[/tex]
Cộng theo vế, ta có: [tex]a^2+b^2+c^2 \geq ab+ac+bc[/tex]
[tex]\Rightarrow 3(a^2+b^2+c^2)> 9[/tex]
[tex]\Leftrightarrow 3(4-abc) >9[/tex]
[tex]\Leftrightarrow 12-3abc >9[/tex]
[tex]\Leftrightarrow abc<1[/tex](Vô lý)
[tex]\Rightarrow a+b+c \leq 3[/tex]
Làm vậy được không nhể :eek:
 
D

duynhan1

rua_it said:
Giả sử [tex]a+b+c >3[/tex]
Vì [tex]a,b,c >0 [/tex]
[tex]\Rightarrow (a+b+c)^2>9[/tex]
[tex]\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2(ab+ab+ca) >9[/tex]
Mà ta lại có
[tex]a^2+b^2\geq 2ab[/tex]
[tex]b^2+c^2 \geq 2bc[/tex]
[tex]c^2+a^2 \geq 2ca[/tex]
Cộng theo vế, ta có: [tex]a^2+b^2+c^2 \geq ab+ac+bc[/tex]
[tex]\Rightarrow 3(a^2+b^2+c^2)> 9[/tex]
[tex]\Leftrightarrow 3(4-abc) >9[/tex]
[tex]\Leftrightarrow 12-3abc >9[/tex]
[tex]\Leftrightarrow abc<1[/tex](Vô lý)
[tex]\Rightarrow a+b+c \leq 3[/tex]
Làm vậy được không nhể :eek:
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

Sao [TEX]abc<1 [/TEX]lại vô lý.
:khi (110)::khi (110)::khi (110)::khi (110):
 
V

vodichhocmai

miko_tinhnghich_dangyeu said:
cho a,b ,c là các số dương thoã mãn [TEX]a^2+b^2+c^2+abc=4[/TEX]
CMR [TEX]a+b+c\leq3[/TEX]
nhanh nhá !mai học roài
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...
Vì [TEX]a^2+b^2+c^2+abc=4[/TEX] nên thoả điều kiện.

[TEX]\left{a=2co sA\\b=2co sB\\ c=2 co sC[/TEX]

Vậy ta cần chứng minh .

[TEX](ycbt)\Leftrightarrow \sum_{cyclic}co sA\le \frac{3}{2}[/TEX]

Bất đẳng thức trên luôn đúng và chứng minh dễ dàng.
 
D

duynhan1

vodichhocmai said:
Vì [TEX]a^2+b^2+c^2+abc=4[/TEX] nên thoả điều kiện.

[TEX]\left{a=2co sA\\b=2co sB\\ c=2 co sC[/TEX]

Vậy ta cần chứng minh .

[TEX](ycbt)\Leftrightarrow \sum_{cyclic}co sA\le \frac{3}{2}[/TEX]

Bất đẳng thức trên luôn đúng và chứng minh dễ dàng.
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

Em chưa học những cái này nên đọc chả hiểu gì cả
Anh có thể giải theo cách thông thường được không
Dùng Côsi, Bunhiacopxki, và các BDT thông dụng khác
Thank you.
 
F

final_fantasy_vii

Tại sao lại đặt được cái lượng giác ấy.... em ko hiểu j anh ạ :-S
 
V

vodichhocmai

duynhan1 said:
Em chưa học những cái này nên đọc chả hiểu gì cả
Anh có thể giải theo cách thông thường được không
Dùng Côsi, Bunhiacopxki, và các BDT thông dụng khác
Thank you.
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

Khai tháC điều kiện đó ta có thể đặt:

[tex]a=\frac{2x}{\sqrt{(x+y)(x+z)}} \\b=\frac{2y}{\sqrt{(y+z)(y+x)}}\\c=\frac{2z}{\sqrt{(z+x)(z+y)}}[/tex]
 
D

duynhan1

vodichhocmai said:
Khai tháC điều kiện đó ta có thể đặt:

[tex]a=\frac{2x}{\sqrt{(x+y)(x+z)}} \\b=\frac{2y}{\sqrt{(y+z)(y+x)}}\\c=\frac{2z}{\sqrt{(z+x)(z+y)}}[/tex]
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...


Anh có thể nói rõ hơn được không.
Em mới học lớp 10 nên kiến thức còn hạn hẹp. Mong anh giải thích chi tiết.
Tốt nhất là có lời giải cụ thể luôn.
:p:p:p:p:p:p:p:p:p:p:p:p
 
V

vodichhocmai

duynhan1 said:
Anh có thể nói rõ hơn được không.
Em mới học lớp 10 nên kiến thức còn hạn hẹp. Mong anh giải thích chi tiết.
Tốt nhất là có lời giải cụ thể luôn.
:p:p:p:p:p:p:p:p:p:p:p:p
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

Với những lí lẽ như em , thà anh cho diễn đàn này không biết còn hơn , còn cho em biết làm gì khì em dùng những từ ngữ lí sự đó.
 
V

vodichhocmai

miko_tinhnghich_dangyeu said:
cho a,b ,c là các số dương thoã mãn [TEX]a^2+b^2+c^2+abc=4[/TEX]
CMR [TEX]a+b+c\leq3[/TEX]
nhanh nhá !mai học roài
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

[tex]a=\frac{2x}{\sqrt{(x+y)(x+z)}} \\b=\frac{2y}{\sqrt{(y+z)(y+x)}}\\ c=\frac{2z}{ \sqrt{(z+x)(z+y)}}[/tex]

Vậy ta cần chứng minh.

[tex]\frac{2x}{\sqrt{(x+y)(x+z)}}+\frac{2y}{\sqrt{(y+z)(y+x)}}+\frac{2z}{\sqrt{(z+x)(z+y)}}\le 3[/tex]

[TEX]LHS\le x\(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{x+z}\)+y\(\frac{1}{y+z}+\frac{1}{y+x}\)+z\(\frac{1}{z+x}+\frac{1}{z+y}\)=3[/TEX]

Vậy bài toán chứng minh xong.
 
B

bigbang195

[TEX]a^2+b^2+c^2+abc =(a+b)^2 +c^2 +ab(c-2) \ge_{c=min{{(a,b,c)}}-->c < 2} (3-c)^2+c^2+\frac{(a+b)^2}{4}(c-2) =(3-c)^2+c^2+\frac{(3-c)^2}{4}(c-2) \ge 4 [/TEX]

Em CM ngược lại đc của bài toán ko biết có phải là Phản Chứng ko anh vì em cũng chưa làm nhiều PC bao giờ ! anh giảng lại giúp em đi. nhiều lúc em cũng thấy anh lật ngược BDT lên để CM nhưng em ko hiểu !
 
N

nguyenthuha1995

vodichhocmai said:
Vì [TEX]a^2+b^2+c^2+abc=4[/TEX] nên thoả điều kiện.

[TEX]\left{a=2co sA\\b=2co sB\\ c=2 co sC[/TEX]

Vậy ta cần chứng minh .

[TEX](ycbt)\Leftrightarrow \sum_{cyclic}co sA\le \frac{3}{2}[/TEX]

Bất đẳng thức trên luôn đúng và chứng minh dễ dàng.
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...
sao kho hju zay a coa the giai giup e dc hok mot cach cu the dc hok
 
B

bigbang195

vodichhocmai said:
Khai tháC điều kiện đó ta có thể đặt:

[tex]a=\frac{2x}{\sqrt{(x+y)(x+z)}} \\b=\frac{2y}{\sqrt{(y+z)(y+x)}}\\c=\frac{2z}{\sqrt{(z+x)(z+y)}}[/tex]
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

Sau 1 thời gian trau dồi kĩ nghệ em đã hiểu tại sao lại có thể đặt như vậy

ta lấy [TEX]\frac{ab}{c}=x,\frac{ac}{b}=y,\frac{bc}{a}=z[/TEX]

thì

[TEX]c=\sqrt{xy} ,a=\sqrt{yz},b=\sqrt{xz}[/TEX]

lúc này [TEX]a^2+b^2+c^2+abc=4 [/TEX]trở thành
[TEX]xy+yz+xz+xyz=4[/TEX]

hay [TEX]\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+1=\frac{4}{xyz}[/TEX]

[TEX]\Rightarrow \frac{2}{x}+\frac{2}{y}+\frac{2}{z}+2=\frac{2.2.2}{xyz}[/TEX]


đặt [TEX]\frac{2}{x}=m,\frac{2}{y}=n,\frac{2}{z}=p (*)[/TEX]

ta sẽ có

[TEX]m+n+p+2=mnp[/TEX]


[TEX]\Leftrightarrow (n+1)(m+1)+(m+1)(p+1)+(n+1)(p+1)=(m+1)(n+1)(p+1)[/TEX]


[TEX]\Leftrightarrow \frac{1}{m+1}+\frac{1}{n+1}+\frac{1}{p+1}=1[/TEX]


đặt[TEX] \frac{1}{m+1}=A ,\frac{1}{n+1}=B,\frac{1}{p+1}=C ;(A+B+C=1)[/TEX]

thì
[TEX]A+Am=1 \Rightarrow \frac{1-A}{A}=m[/TEX] hay [TEX]\frac{B+C}{A}=m[/TEX]

tương tự [TEX]n=\frac{A+C}{B} , p=\frac{A+B}{C}[/TEX]


đến đây ta quay trở lại [TEX] (*)[/TEX]

[TEX]\frac{2}{x}=\frac{B+C}{A} \Rightarrow x=\frac{2A}{B+C}[/TEX]

[TEX]y=\frac{2B}{A+C} ,z=\frac{2C}{A+B}[/TEX]


nên[TEX] a=\sqrt{xy}=\sqrt{\frac{4AB}{(C+A)(C+B)}[/TEX]

[TEX]b=\sqrt{yz}........................[/TEX]

[TEX]c=\sqrt{xz}........................[/TEX]

Cần chứng minh
[TEX]a+b+c \le 3[/TEX] hay [TEX]\sum \sqrt{\frac{4AB}{(C+A)(C+B)}} \le 3[/TEX]

chỉ cần sử dụng bất đẳng thức AM-GM như sau ta sẽ được điều phải chứng minh
[TEX]\frac{A}{A+C}+\frac{B}{B+C} \ge \sqrt{\frac{4AB}{(A+C)(A+B)}}[/TEX]

Và chú ý

[TEX]\frac{A}{A+C}+\frac{B}{B+C}+\frac{B}{B+A}+\frac{C}{C+A}+\frac{A}{A+B}+\frac{C}{C+B} =3[/TEX]
 
Last edited by a moderator:
R

rua_it

[tex]\mathrm{\sum_{cyclic}^{abc \geq 1} \frac{a^5-a^2}{a^5+b^2+c^2} \geq 0}[/tex]
 
Last edited by a moderator:
You must log in or register to reply here.
Top Bottom