[TOÁN 10] Đề thi hs giỏi lớp 10 trường mình vòng I

[123456auauau]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

[TOÁN 10] Đề thi chọn đội tuyển Olympic Hùng Vương vòng I

Đây là đề thi chọn đội Olympic Hùng Vương vòng I ở trường mình, các bạn tham khảo nhé.Đề ko khó lém đâu

Câu 1: Tìm số nguyên dương n để [TEX] 2^4[/TEX] + [TEX] 2^7[/TEX] + [TEX] 2^n[/TEX] là số chính phương

Câu 2: Cho x, y, z là các số dương thoả mãn [TEX] \frac{1}{x}[/TEX] + [TEX] \frac{1}{y}[/TEX] + [TEX] \frac{1}{z}[/TEX] = 4.Chứng minh rằng:

[TEX] \frac{1}{2x+y+z}[/TEX] + [TEX] \frac{1}{x+2y+z}[/TEX] + [TEX] \frac{1}{x+y+2z}[/TEX] [TEX] \le\[/TEX] 1​

Câu 3: Cho tam giác ABC tù.Chứng minh rằng tanA.tanB <1​

Câu 4: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O).Các tiếp tuyến với (O) tại B,C cắt nhau tại M, AM cắt BC tại N.Chứng minh rằng:​

[TEX] \frac{NB}{NC}[/TEX] = [TEX] (\frac{AB}{AC})^2[/TEX]​

Câu 5: Tìm m để phương trình sau có nghiệm:​

3[TEX] \sqrt{x - 1}[/TEX] + m[TEX] \sqrt{x + 1}[/TEX] = 2[TEX] \sqrt[4]{x^2 - 1}[/TEX]​

Đề thi này làm trong 120 phút, các bạn giải thử với cách ngắn gọn nhất nhé​

 

[ILoveNicholasTeo]

Câu 2: Cho x, y, z là các số dương thoả mãn [TEX] \frac{1}{x} + \frac{1}{y}+ \frac{1}{z}[/TEX] = 4.Chứng minh rằng:

[TEX]A= \frac{1}{2x+y+z} + \frac{1}{x+2y+z}+ \frac{1}{x+y+2z} \leq 1[/tex]

áp dụng BĐT[TEX] \frac{1}{a} + \frac{1}{b} \geq \frac{4}{a+b}[/TEX] (a,b > 0)
ta có
[TEX]8A= \frac{8}{2x+y+z} + \frac{8}{x+2y+z}+ \frac{8}{x+y+2z} [/tex]
[TEX]\leq 2( \frac{1}{x+y} + \frac{1}{x+z} + \frac{1}{x+y} + \frac{1}{y+z} + \frac{1}{x+z} +\frac{1}{y+z})[/TEX]
[TEX]= \frac{4}{x+y} + \frac{4}{x+z} + \frac{4}{z+y}[/TEX]
[TEX]\leq \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{x} + \frac{1}{z}+\frac{1}{z} + \frac{1}{y}[/TEX]
[TEX]= 2( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z})[/TEX] =8
\Rightarrow A \leq 1

 

[ILoveNicholasTeo]

\Rightarrow

Đây là đề thi chọn đội Olympic Hùng Vương vòng I ở trường mình, các bạn tham khảo nhé.Đề ko khó lém đâu

Câu 1: Tìm số nguyên dương n để [TEX] 2^4+ 2^7 + 2^n[/TEX] là số chính phương

đặt : [TEX] 2^4+ 2^7 + 2^n = m^2[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow m^2 - 2^n =144[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow (m-2^{\frac{n}{2}} )(m+2^{\frac{n}{2}} ) =144 = 2^4.3^2[/TEX]
ta có [TEX]m > 12 \Rightarrow m+2^{\frac{n}{2}}>12 [/TEX]do đó:
[TEX]m-2^{\frac{n}{2}} [/TEX]nhận các giá trị : 1,2,3,4,6.
[TEX]m+2^{\frac{n}{2}} [/TEX]nhận các giá tr: 144,72,48,36,24.(cái này tương ứng với cái trên nhá)
TH1:
[TEX]m-2^{\frac{n}{2}} =1 \Rightarrow m=2^{\frac{n}{2}} +1[/TEX]
[TEX]m+2^{\frac{n}{2}}=144 \Rightarrow m=144-2^{\frac{n}{2}} [/TEX]
[TEX]\Rightarrow 2.2^{\frac{n}{2}} =143 [/TEX]ko có gt n nào thoả mãn.
xét các TH tương tự ta tìm đc n=8 trong TH [TEX]m-2^{\frac{n}{2}} =4[/TEX],[TEX]m+2^{\frac{n}{2}} =36[/TEX]

 

[ILoveNicholasTeo]

Câu 3: Cho tam giác ABC tù.Chứng minh rằng tanA.tanB <1

ta có : tanA+tanB+tanC=tanA.tanB.tanC
TH1: [TEX]\hat{C} tù \Rightarrow \hat{A},\hat{B}<90^o[/TEX]
\Rightarrow tanC<0,tanA>0,tanB>0
tanA.tanB < 1 (1)
\Leftrightarrow tanA.tanB.tanC >tan C
\Leftrightarrow tanA + tan B+tanC >tanC
\Leftrightarrow tanA +tanB >0 (2)
ta có (2) luôn đúng nên (1) đúng.
TH2: [TEX]\hat{A}[/TEX] hoặc [TEX]\hat{B}[/TEX]tù.
vì A,B có vai trò như nhau, giả sử [TEX]\hat{B}[/TEX] tù.
[TEX]\Rightarrow \hat{A},\hat{A+C},\hat{C} <90^o[/TEX]
\Rightarrow tanC>0 tanA<tan(A+C)
tanA.tanB < 1 (3)
\Leftrightarrow tanA.tanB.tanC <tan C
\Leftrightarrow tanA + tan B+tanC <tanC
\Leftrightarrow tanA +tanB <0
\Leftrightarrow tanA - tan(A+C) <0 (4)
ta có (3) luôn đúng nên (4) đúng.

 

[pytago_hocmai]

Giúp ILoveNicholasTeo 1 bài nhé !

Đây là đề thi chọn đội Olympic Hùng Vương vòng I ở trường mình, các bạn tham khảo nhé.Đề ko khó lém đâu

Câu 5: Tìm m để phương trình sau có nghiệm:​

3[TEX] \sqrt{x - 1}[/TEX] + m[TEX] \sqrt{x + 1}[/TEX] = 2[TEX] \sqrt[4]{x^2 - 1}[/TEX]​

Nhận thấy x=1 không phải là nghiệm của PT , ta chia 2 vế của PT cho x-1 , thu được :

[TEX]3+ m \frac{\sqrt{x+1}}{\sqrt{x-1}} = 2 \sqrt[4]{\frac{x+1}{x-1}}[/TEX]

Đặt [TEX]t= \frac{\sqrt{x+1}}{\sqrt{x-1}} [/TEX] , khi đó PT trở thành

[TEX]3+mt^2=2t \Rightarrow done! ......[/TEX]

Câu 2: Cho x, y, z là các số dương thoả mãn [TEX] \frac{1}{x}[/TEX] + [TEX] \frac{1}{y}[/TEX] + [TEX] \frac{1}{z}[/TEX] = 4.Chứng minh rằng:

[TEX] \frac{1}{2x+y+z}[/TEX] + [TEX] \frac{1}{x+2y+z}[/TEX] + [TEX] \frac{1}{x+y+2z}[/TEX] [TEX] \le\[/TEX] 1​

Bài này là 1 bài BDT thi đại học của 1 năm nào đó gần đây

 

[123456auauau]

^^

* Bài 1 bạn NicholasTeo làm đúng roài nhưng còn hơi dài.Mình có cách này nhanh hơn chút, các bạn tham khảo nhé
[TEX]2^4 + 2^7 + 2^n = a^2[/TEX]
[TEX]\Rightarrow 2^n = a^2 - 12^2[/TEX]
[TEX]\Rightarrow 2^n = (a - 12)(a + 12)[/TEX]
[TEX]\Rightarrow a + 12 = 2^p [/TEX] và [TEX]a - 12 = 2^q (p>q, p + q = n) [/TEX]
[TEX]\Rightarrow 2^3.3 = 2^p - 2^q[/TEX]
[TEX]\Rightarrow 2^3.3 = 2^q(2^{p - q} - 1)[/TEX]
[TEX]\Rightarrow 2^3 = 2^q và 3 = 2^{p - q}- 1[/TEX]
\Rightarrow q = 3 và p = 5
\Rightarrow n = 8

* Bài 2 còn có thể dùng bđt hệ quả của bđt AM - GM: Cho n số dương [TEX] a_1, a_2, ... , a_n[/TEX] thì [TEX] (a_1 + a_2 + ... + a_n)( \frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_2} +... + \frac{1}{a_n}[/TEX] cũng ra ngay rất là nhanh

Hì bài 3 NicholasTeo làm vẫn hơi dài, giờ bùn ngủ wa' mai mình sẽ post lời giải ngắn hơn
Bạn Pytago_hocmai ơi, bạn có thể giải hết bài 5 dc ko?bài này ko phải làm đến phương trình đấy là hết đâu , bài này còn phần giới hạn của t nữa
Các mem ơi vào giải nốt bài 4 đi nào, bài này cũng ko khó đâu

 

[ILoveNicholasTeo]

hì bài 4 tớ làm đc rùi, để đến lúc nào rỗi thì post tiếp.
mà đề này cư như đề của lớp 9 ý.
trừ câu 3 ra thì lớp 9 có thê làm đc hết.

 

[123456auauau]

hì bài 4 tớ làm đc rùi, để đến lúc nào rỗi thì post tiếp.
mà đề này cư như đề của lớp 9 ý.
trừ câu 3 ra thì lớp 9 có thê làm đc hết.

Hì thì là đề thi vòng I mà, ko thể wa' khó dc. Mà tuy dễ nhưng có thể cách làm của mình chưa nhanh nhất nên post lên mong tìm lời giải ngắn gọn nhất
Câu 5 cũng phải giới hạn nữa đấy, phần giới hạn này sử dụng hàm số rất nhanh

 

[ILoveNicholasTeo]

Câu 4: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O).Các tiếp tuyến với (O) tại B,C cắt nhau tại M, AM cắt BC tại N.Chứng minh rằng:​

[TEX] \frac{NB}{NC}[/TEX] = [TEX] (\frac{AB}{AC})^2[/TEX]​

Gọi I là giao điểm của(O) và AM
ta có tam giác ABN đông dạng với tam giác CIN nên: [TEX]\frac{AB}{IC} = \frac{NB}{NI}[/TEX]
tam giác ACN đông dạng với tam giác BIN nên: [TEX]\frac{AC}{IB} = \frac{NC}{NI}[/TEX]
[TEX]\Rightarrow \frac{NB}{NC} = \frac{AB}{AC} . \frac{IB}{IC}[/TEX](1)
ta lại có tam giác ABM đồng dạng với tam giác BIM nên: [TEX]\frac{AB}{BI}=\frac{BM}{IM}[/TEX]
tam giác ACM đông dạng với tam giác CIM nên : [TEX]\frac{AC}{CI} = \frac{CM}{IM}[/TEX]
mà BM=CM NÊN [TEX]\frac{AC}{CI} = \frac{AB}{IB}[/TEX]
\Rightarrow [TEX]\frac{AB}{AC}=\frac{IB}{IC}[/TEX] (2)
TỪ (1) VÀ (2) \Rightarrow DPCM

 

[conech123]

có thể giải thích cho mình chỗ này được không

[TEX]\Rightarrow \ 2^4 = 2^p - 2^q[/TEX]

trong bài của bạn 123456auauau

 

[123456auauau]

có thể giải thích cho mình chỗ này được không trong bài của bạn 123456auauau

Hì xin lỗi bạn mình đánh nhầm.Phải là [TEX] 2^3.3[/TEX] = [TEX] 2^q[/TEX] - [TEX] 2^p[/TEX]
Cảm ơn bạn rất nhìu vì đã chỉ giúp mình

 

[123456auauau]

Bài 4 còn có thể dùng cách sử dụng diện tích tam giác (vít tắt diện tích tam giác ABC là SABC nhe, các bạn thông cảm mình ko có nhìu thời gian, đánh công thức lâu wa' )
Từ B, C hạ BH, CK vuông góc với AM
Có [TEX] \frac{NB}{NC}[/TEX] = [TEX] \frac{BH}{CK}[/TEX] = [TEX] \frac{AM.BH}{AM.CK}[/TEX] = [TEX] \frac{SABM}{SACM}[/TEX] = [TEX] \frac{AB.BM.sinABM}{AC.CM.sinACM}[/TEX] = [TEX] \frac{AB.sinC}{AC.sinB}[/TEX] = [TEX] \frac{AB^2}{AC^2}[/TEX]

=> cm xong

Bài 5 ra kết quả là -1 < m [TEX] \le \[/TEX] [TEX] \frac{1}{3}[/TEX]

Hết đề

 

[pytago_hocmai]

Hì thì là đề thi vòng I mà, ko thể wa' khó dc. Mà tuy dễ nhưng có thể cách làm của mình chưa nhanh nhất nên post lên mong tìm lời giải ngắn gọn nhất
Câu 5 cũng phải giới hạn nữa đấy, phần giới hạn này sử dụng hàm số rất nhanh

Các chú đã học khảo sát hàm số bằng đạo hàm chưa để anh làm cho

 

[ILoveNicholasTeo]

Hì bài 3 NicholasTeo làm vẫn hơi dài, giờ bùn ngủ wa' mai mình sẽ post lời giải ngắn hơn

bạn có thể post cách làm của bạn ko?
cho tớ học hỏi tí ) cảm ơn trước

 

[mcdat]

Nhận thấy x=1 không phải là nghiệm của PT , ta chia 2 vế của PT cho x-1 , thu được :

[TEX]3+ m \frac{\sqrt{x+1}}{\sqrt{x-1}} = 2 \sqrt[4]{\frac{x+1}{x-1}}[/TEX]

Đặt [TEX]t= \frac{\sqrt{x+1}}{\sqrt{x-1}} [/TEX] , khi đó PT trở thành

[TEX]3+mt^2=2t \Rightarrow done! ......[/TEX]

[TEX]\red done! [/TEX] nhanh quá đấy em

************************************************...................

 

[come_back]

Câu 3: Cho tam giác ABC tù.Chứng minh rằng tanA.tanB <1​

ta có : tanA+tanB+tanC=tanA.tanB.tanC
TH1: [TEX]\hat{C} tù \Rightarrow \hat{A},\hat{B}<90^o[/TEX]
\Rightarrow tanC<0,tanA>0,tanB>0
tanA.tanB < 1 (1)
\Leftrightarrow tanA.tanB.tanC >tan C
\Leftrightarrow tanA + tan B+tanC >tanC
\Leftrightarrow tanA +tanB >0 (2)
ta có (2) luôn đúng nên (1) đúng.

[TEX]tan AtanBtanC=tan A+tan B+tan C \Leftrightarrow tan A tan B=1+\frac{tan A+tan B}{tan C} <1 \ \ do \ \ tan C<0[/TEX]

TH2: [TEX]\hat{A}[/TEX] hoặc [TEX]\hat{B}[/TEX]tù.
vì A,B có vai trò như nhau, giả sử [TEX]\hat{B}[/TEX] tù.
[TEX]\Rightarrow \hat{A},\hat{A+C},\hat{C} <90^o[/TEX]
\Rightarrow tanC>0 tanA<tan(A+C)
tanA.tanB < 1 (3)
\Leftrightarrow tanA.tanB.tanC <tan C
\Leftrightarrow tanA + tan B+tanC <tanC
\Leftrightarrow tanA +tanB <0
\Leftrightarrow tanA - tan(A+C) <0 (4)
ta có (3) luôn đúng nên (4) đúng.

Đúng là đi đường vòng thật, B tù \Leftrightarrow [TEX]tanB<0\Rightarrow...[/TEX]

understand?

 

[pytago_hocmai]

[TEX]\red done! [/TEX] nhanh quá đấy em

************************************************...................

Cu này gọi ai là em thế , lớp 10 nó chưa học khảo sát hàm số nên "bà" chỉ làm thế thoy . "Bà" khảo sát theo đạo hàm rồi thằng nào thằng nấy trố mắt ra đọc mà chả hiểu cái gì cho chết người à .

[TEX]tan AtanBtanC=tan A+tan B+tan C \Leftrightarrow tan A tan B=1+\frac{tan A+tan B}{tan C} <1 \ \ do \ \ tan C<0[/TEX]



Đúng là đi đường vòng thật, B tù \Leftrightarrow [TEX]tanB<0\Rightarrow...[/TEX]

understand?

nhóc này làm cũng sai luôn rồi

 

[123456auauau]

bạn có thể post cách làm của bạn ko?
cho tớ học hỏi tí ) cảm ơn trước

Hì bài 3 mình làm cũng ko ngắn mấy , sr bạn nha vì hơi nổ
Bài này mình làm cũng gần giống bạn.Hì
- TH1: Nếu C > 90 độ => A + B < 90 độ
=> 0 < A < 90 độ - B < 90 độ
=> tanA < tan(90 độ - B) = cotB = [TEX] \frac{1}{tanB}[/TEX]
=> tanAtanB < 1

- TH2: Nếu A > 90 độ hoặc B > 90 độ => tanAtanB < 0 < 1
[FONT=.VnTime] [/FONT]

 

[123456auauau]

Các chú đã học khảo sát hàm số bằng đạo hàm chưa để anh làm cho

hì bài 5 này ko cần phải dùng đạo hàm đâu ah.Chỉ cần lập bảng biến thiên là tìm ra giới hạn của m rùi .Kết quả của bài 5 là -1 < m [TEX] \le \[/TEX] [TEX] \frac{1}{3}[/TEX]

 

[come_back]

Cu này gọi ai là em thế, lớp 10 nó chưa học khảo sát hàm số nên "bà" chỉ làm thế thoy . ...

[TEX]tan AtanBtanC=tan A+tan B+tan C \Leftrightarrow tan A tan B=1+\frac{tan A+tan B}{tan C} <1 \ \ do \ \ tan C<0[/TEX]



Đúng là đi đường vòng thật, B tù \Leftrightarrow [TEX]tanB<0\Rightarrow...[/TEX]

understand?

nhóc này làm cũng sai luôn rồi

Ku này gọi ai là nhóc thế?

Sai đâu sửa luôn hộ "ông" với.

Đúng là toàn vào chém gió...)