Bất đẳng thức

twilighting · 24 Tháng một 2009

Ai giải giúp tớ mấy bài này với!

Bài 1.Với mọi a, b, c >0, chứng minh:
[tex]\frac{a^3}{b^2+ab+a^2} + \frac{b^3}{(b^2+bc+c^2)} + \frac{c^3}{(a^2+ac+c^2)}\geq \frac{(a+b+c)}{3}[/tex]
Bài 2. Cho a,b, c là các số không âm thỏa a+b+c=3. Chứng minh:
[tex]\frac{a^2}{(b^2+1)}+\frac{b^2}{(c^2+1)}+\frac{c^2}{(a^2+1)} \geq\frac{3}{2}[/tex]

hg201td · 24 Tháng một 2009

Ai giải giúp tớ mấy bài này với!
Bài 1.Với mọi a, b, c >0, chứng minh:
[TEX]\frac{a^3}{b^2+ab+a^2}[/TEX] [TEX]+[/TEX] [TEX]\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}[/TEX] [TEX]+[/TEX] [TEX]\frac{c^3}{a^2+ac+c^2}[/TEX] [TEX]\geq[/TEX] [TEX]\frac{a+b+c}{3}[/TEX]
Bài 2. Cho a,b, c là các số không âm thỏa a+b+c=3. Chứng minh:

[TEX]\frac{a^2}{b^2+1}[/TEX] [TEX]+[/TEX] [TEX]\frac{b^2}{c^2+1}[/TEX] [TEX]+[/TEX][TEX]\frac{c^2}{a^2+1}[/TEX] [TEX]\geq[/TEX] [TEX]\frac{3}{2}[/TEX]
không nhầm thì dùng BĐt schawrt<bài 2>

>-

mcdat · 25 Tháng một 2009

làm một bài đón năm mới

Tham gia làm bài này đón năm mới nha

[TEX]\blue \ Cho \ a, \ b , c \ > \ 0 \ Tm: \ 21ab+2bc+8ca \leq 12 \\ CMR: \ \frac{1}{a}+\frac{2}{b}+\frac{3}{c} \geq \frac{15}{2}[/TEX]

mcdat · 26 Tháng một 2009

hg201td said:

Bài 1.Với mọi a, b, c >0, chứng minh:
[TEX]\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}+ \frac{b^3}{b^2+bc+c^2} + \frac{c^3}{c^2+ac+a^2}\geq \frac{a+b+c}{3}[/TEX]

>->->->->->->->->->->->-

Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

Đây là bài khai bút chào mừng Kỷ Sửu trên hocmai của mình. Nếu có sai xót gì thì mọi người đừng nói nha { Kẻo xui cả năm ) }

[TEX]\blue \ 1: \ C_1: \ Ta \ CM: \ \frac{a^3}{b^2+ab+a^2} \geq \frac{2a-b}{3} \ (1) \\ (1) \Leftrightarrow a^3+b^3 \geq ab(a+b) \Leftrightarrow AM-GM \\ Tuong \ tu \ : \\ \frac{b^3}{b^2+bc+c^2} \geq \frac{2b-c}{3} \ (2) \\ \frac{c^3}{c^2+ca+a^2} \geq \frac{2c-a}{3} \ (3) \\ (1) +(2)+(3) \Rightarrow dpcm \\ C2: \ A= \frac{a^3}{a^2+ab+b^2}+ \frac{b^3}{b^2+bc+c^2} + \frac{c^3}{c^2+ac+a^2} \\ B=\frac{b^3}{a^2+ab+b^2}+ \frac{c^3}{b^2+bc+c^2} + \frac{a^3}{c^2+ac+a^2} \\ A-B=\frac{a^3-b^3}{a^2+ab+b^2}+ \frac{b^3-c^3}{b^2+bc+c^2} + \frac{c^3-a^3}{c^2+ac+a^2}=0 \Rightarrow A=B \\ \Rightarrow 2A=A+B=\frac{a^3+b^3}{a^2+ab+b^2}+ \frac{b^3+c^3}{b^2+bc+c^2} + \frac{c^3+a^3}{c^2+ac+a^2}[/TEX]

Ta lại có:

[TEX]\blue \ \frac{a^3+b^3}{a^2+ab+b^2} = \frac{(a+b)(a^2-ab+b^2)}{a^2+ab+b^2} \geq \frac{a+b}{3} \ (1) \ (Do \ \frac{a^2-ab+b^2}{a^2+ab+b^2} \geq \frac{1}{3} \ \forall a, b) \\ Tuong \ tu: \\ \frac{b^3+c^3}{b^2+bc+c^2} \geq \frac{b+c}{3} \ (2) \\ \frac{c^3+a^3}{c^2+ca+a^2} \geq \frac{c+a}{3} \ (3) \\ (1)+(2)+(3) \Rightarrow dpcm [/TEX]

pokco · 26 Tháng một 2009

mcdat said:
Đây là bài khai bút chào mừng Kỷ Sửu trên hocmai của mình. Nếu có sai xót gì thì mọi người đừng nói nha { Kẻo xui cả năm ) }

[TEX]\blue \ 1: \ C_1: \ Ta \ CM: \ \frac{a^3}{b^2+ab+a^2} \geq \frac{2a-b}{3} \ (1) \\ (1) \Leftrightarrow a^3+b^3 \geq ab(a+b) \Leftrightarrow AM-GM \\ Tuong \ tu \ : \\ \frac{b^3}{b^2+bc+c^2} \geq \frac{2b-c}{3} \ (2) \\ \frac{c^3}{c^2+ca+a^2} \geq \frac{2c-a}{3} \ (3) \\ (1) +(2)+(3) \Rightarrow dpcm \\ C2: \ A= \frac{a^3}{a^2+ab+b^2}+ \frac{b^3}{b^2+bc+c^2} + \frac{c^3}{c^2+ac+a^2} \\ B=\frac{b^3}{a^2+ab+b^2}+ \frac{c^3}{b^2+bc+c^2} + \frac{a^3}{c^2+ac+a^2} \\ A-B=\frac{a^3-b^3}{a^2+ab+b^2}+ \frac{b^3-c^3}{b^2+bc+c^2} + \frac{c^3-a^3}{c^2+ac+a^2}=0 \Rightarrow A=B \\ \Rightarrow 2A=A+B=\frac{a^3+b^3}{a^2+ab+b^2}+ \frac{b^3+c^3}{b^2+bc+c^2} + \frac{c^3+a^3}{c^2+ac+a^2}[/TEX]

Ta lại có:

[TEX]\blue \ \frac{a^3+b^3}{a^2+ab+b^2} = \frac{(a+b)(a^2-ab+b^2)}{a^2+ab+b^2} \geq \frac{a+b}{3} \ (1) \ (Do \ \frac{a^2-ab+b^2}{a^2+ab+b^2} \geq \frac{1}{3} \ \forall a, b) \\ Tuong \ tu: \\ \frac{b^3+c^3}{b^2+bc+c^2} \geq \frac{b+c}{3} \ (2) \\ \frac{c^3+a^3}{c^2+ca+a^2} \geq \frac{c+a}{3} \ (3) \\ (1)+(2)+(3) \Rightarrow dpcm [/TEX]

Anh ơi em không hiểu lắm anh giải thích gium` em với
Em cảm ơn anh nhìu lăm
ma sao anh nghĩ ra được nhũng cách nhu vay ạ
Sao mà anh giỏi thế
Anh cho em xin bí quyêt nhé

vodichhocmai · 26 Tháng một 2009

pokco said:
Anh ơi em không hiểu lắm anh giải thích gium` em với
Em cảm ơn anh nhìu lăm
ma sao anh nghĩ ra được nhũng cách nhu vay ạ
Sao mà anh giỏi thế
Anh cho em xin bí quyêt nhé

( Tại sao có [TEX]\frac{2a-b}{3}[/TEX]) em có thể coi them tại đây
http://diendan.hocmai.vn/showthread.php?t=37105&page=2

twilighting · 26 Tháng một 2009

Còn 6 bài nữa a giải hộ với! Bài tập Tết không làm chắc vô bị chép phạt chết mất!
Bài 1. Cho a,b, c là các số không âm thỏa a+b+c=3. Chứng minh:
[tex] \frac{a^2}{b^2+1}+\frac{b^2}{c^2+1}+\frac{c^2}{a^2+1} \geq \frac{3}{2} [/tex]
Bài 2. Với a, b, c > 0 chứng minh
[tex] \frac{a^2}{b+c} + \frac{b^2}{a+c} + \frac{c^2}{a+b} \geq \frac{a+b+c}{2} [/tex]
Bài 3. Với mọi x thuộc R chứng minh rằng:
[tex]\sqrt{9+ x^2- 3x.\sqrt{2}} + \sqrt{16+ x^2- 4x.\sqrt{2}} \geq 5 [/tex]
Bài 4. Cho x, y, z >0 và [tex] x+y+z =\frac{3}{2} [/tex]. Chứng minh:
[tex] \sqrt{x^2+\frac{1}{y^2}} + \sqrt{y^2+\frac{1}{z^2}} + \sqrt{z^2+\frac{1}{x^2}} \geq \frac{3\sqrt{17}}{2} [/tex]
Bài 5. Cho tam gác ABC. Chứng minh [tex] ab + bc + ac \geq 4\sqrt{3}S [/tex]
Bài 6. Với mọi x, y, z chứng minh rằng:
[tex]\sqrt{x^2+xy+y^2} + \sqrt{z^2+yz+y^2} + \sqrt{x^2+xz+z^2} \geq \sqrt{3}(x+y+z) [/tex]
Đề có gì thiếu sót mong thông cảm vì thằng lớp trưởng ra đề hok tin nổi. Càng nhiều cách càng tốt. Chúc mọi người năm mới an lành!

andehoc_n · 26 Tháng một 2009

twilighting said:
Còn 6 bài nữa a giải hộ với! Bài tập Tết không làm chắc vô bị chép phạt chết mất!
Bài 1. Cho a,b, c là các số không âm thỏa a+b+c=3. Chứng minh:
a^2/(b^2+1)+b^2/(c^2+1)+c^2/(a^2+1) >= 3/2
Bài 2. Với a, b, c > 0 chứng minh
a^2/(b+c) + b^2/(a+c) + c^2/(a+b) >= (a+b+c)/2
Bài 3. Với mọi x thuộc R chứng minh rằng:
√(9+ x^2- 3x√2) + √(16+ x^2- 4x√2) >= 5
Bài 4. Cho x, y, z >0 và x+y+z =3/2. Chứng minh:
√(x^2+1/y^2 ) + √(y^2+1/z^2 ) + √(z^2+1/x^2 ) >= 3/2 √17
Bài 5. Cho tam gác ABC. Chứng minh ab + bc + ac >=4√3 *S
Bài 6. Với mọi x, y, z chứng minh rằng:
√(x^2+xy+y^2 ) + √(z^2+yz+y^2 ) + √(x^2+xz+z^2 ) >= √3(x+y+z)
Đề có gì thiếu sót mong thông cảm vì thằng lớp trưởng ra đề hok tin nổi. Càng nhiều cách càng tốt. Chúc mọi người năm mới an lành!

bài 1 dùng bunhicopski
bài 2 dùng bunhicopski
bài 3 dung toạ độ hoặc bất đẳng thức phụ trong sách tham khảo í

)
bài 4 cùng vậy
bài 5 trong sách
bài 6 tương tự bài 4

hg201td · 26 Tháng một 2009

Bài 1: Cho a,b, c là các số không âm thỏa a+b+c=3. Chứng minh:
[TEX]\frac{a^2}{b^2+1}[/TEX] + [TEX]\frac{b^2}{c^2+1}[/TEX] + [TEX]\frac{c^2}{a^2+1}[/TEX] [TEX]\geq[/TEX] [TEX]\frac{3}{2}[/TEX]
Dùng BĐT Côsi .Thêm vào Côsi loại mẫu.
Bài 2. Với a, b, c > 0 chứng minh
[TEX]\frac{a^2}{b+c}[/TEX] + [TEX]\frac{b^2}{c+a}[/TEX] + [TEX]\frac{c^2}{b+a}[/TEX] [TEX]\geq[/TEX] [TEX]\frac{a+b+c}{2}[/TEX]
cũng vậy .Cô si [TEX]\frac{a^2}{b+c}[/TEX] và [TEX]\frac{b+c}{4}[/TEX]
Bài 3. Với mọi x thuộc R chứng minh rằng:
[TEX]sqrt{9+x^2-3x\sqrt{2}[/TEX] + [TEX]sqrt{16+x^2-4x\sqrt{2}[/TEX] \geq 5
Dùng BĐt [TEX]sqrt{a^2+b^2}[/TEX] + [TEX]sqrt{c^2+d^2}[/TEX] [TEX]\geq[/TEX] [TEX]sqrt{(a+c)^2+(b+d)^2}[/TEX]
Bài 4. Cho x, y, z >0 và x+y+z =[TEX]\frac{3}{2}[/TEX]. Chứng minh:[TEX]sqrt(x^2+\frac{1}{y^2}[/TEX] + [TEX]sqrt(y^2+\frac{1}{z^2}[/TEX] + [TEX]sqrt(z^2+\frac{1}{x^2}[/TEX] [TEX]\geq[/TEX] [TEX]\frac{3\sqr{17}}{2}[/TEX]
Bài 5. Cho tam giác ABC. Chứng minh ab + bc + ac [TEX]\geq[/TEX] 4[TEX]\sqrt{3}[/TEX] S
Bài 6. Với mọi x, y, z chứng minh rằng:
[TEX]sqrt{x^2+xy+y^2}[/TEX] +[TEX]sqrt{z^2+zy+y^2}[/TEX] + [TEX]sqrt{x^2+xz+z^2}[/TEX] [TEX]\geq[/TEX] [TEX]sqrt{3}(x+y+z)[/TEX]

>-

>-
Dù sao thì Trái Đất vẫn quay

vodichhocmai · 26 Tháng một 2009

[TEX]2)[/TEX]
Ta có theo [TEX]AM-GM[/TEX] :
[TEX]\frac{a^2}{b+c}+\frac{b+c}{4}\ge a[/TEX]
[TEX]\frac{b^2}{c+d}+\frac{c+d}{4}\ge b[/TEX]
[TEX]\frac{c^2}{c+a}+\frac{c+a}{4}\ge c[/TEX]
_________ cộng vế theo vế ta được [TEX](dpcm)[/TEX]__

quang1234554321 · 27 Tháng một 2009

hg201td said:
Bài 6. Với mọi x, y, z chứng minh rằng:
[TEX]sqrt{x^2+xy+y^2}[/TEX] +[TEX]sqrt{z^2+zy+y^2}[/TEX] + [TEX]sqrt{x^2+xz+z^2}[/TEX] [TEX]\geq[/TEX] [TEX]sqrt{3(x+y+z)}[/TEX]

Dù sao thì Trái Đất vẫn quay

có thể xem lời giải tại đây

http://diendan.hocmai.vn/showthread.php?t=35052&page=8

quang1234554321 · 27 Tháng một 2009

Bài 4. Cho x, y, z >0 và x+y+z =[TEX]\frac{3}{2}[/TEX]. Chứng minh:[TEX]sqrt(x^2+\frac{1}{y^2}[/TEX] + [TEX]sqrt(y^2+\frac{1}{z^2}[/TEX] + [TEX]sqrt(z^2+\frac{1}{x^2}[/TEX] [TEX]\geq[/TEX] [TEX]\frac{3}{2\sqrt{17}}[/TEX]

Áp dụng bổ đề sau và ta có đpcm

[TEX]\sqrt{a_1^2+b_1^2} + \sqrt{a_2^2+b_2^2} + ...+ \sqrt{a_n^2+b_n^2} \geq \sqrt{(a_1+...+a_n)^2+(b_1+...+b_n)^2} [/TEX]

pokco · 27 Tháng một 2009

quang1234554321 said:
Áp dụng bổ đề sau và ta có đpcm

[TEX]\sqrt{a_1^2+b_1^2} + \sqrt{a_2^2+b_2^2} + ...+ \sqrt{a_n^2+b_n^2} \geq \sqrt{(a_1+...+a_n)^2+(b_1+...+b_n)^2} [/TEX]

anh ơi anh lấy BDT này ở đâu vậy
Em cảm ơn anh nhiu` nhé

quang1234554321 · 27 Tháng một 2009

pokco said:
anh ơi anh lấy BDT này ở đâu vậy
Em cảm ơn anh nhiu` nhé

Bổ đề này là hệ quả của BDT cauchy-schwarz ( đây là tên gọi quốc tế của BDT bunhiacopxki mà Việt Nam ta thường gọi
Em nên mua sách về BDT để tham khảo thêm

pokco · 27 Tháng một 2009

vodichhocmai said:
( Tại sao có [TEX]\frac{2a-b}{3}[/TEX]) em có thể coi them tại đây
http://diendan.hocmai.vn/showthread.php?t=37105&page=2

Anh ơi em vẫn k hiểu
Anh giải thích lại cho em được k
em rất cảm ơn anh

pokco · 27 Tháng một 2009

mcdat said:
Đây là bài khai bút chào mừng Kỷ Sửu trên hocmai của mình. Nếu có sai xót gì thì mọi người đừng nói nha { Kẻo xui cả năm ) }

[TEX]\blue \ 1: \ C_1: \ Ta \ CM: \ \frac{a^3}{b^2+ab+a^2} \geq \frac{2a-b}{3} \ (1) \\ (1) \Leftrightarrow a^3+b^3 \geq ab(a+b) \Leftrightarrow AM-GM \\ Tuong \ tu \ : \\ \frac{b^3}{b^2+bc+c^2} \geq \frac{2b-c}{3} \ (2) \\ \frac{c^3}{c^2+ca+a^2} \geq \frac{2c-a}{3} \ (3) \\ (1) +(2)+(3) \Rightarrow dpcm \\ C2: \ A= \frac{a^3}{a^2+ab+b^2}+ \frac{b^3}{b^2+bc+c^2} + \frac{c^3}{c^2+ac+a^2} \\ B=\frac{b^3}{a^2+ab+b^2}+ \frac{c^3}{b^2+bc+c^2} + \frac{a^3}{c^2+ac+a^2} \\ A-B=\frac{a^3-b^3}{a^2+ab+b^2}+ \frac{b^3-c^3}{b^2+bc+c^2} + \frac{c^3-a^3}{c^2+ac+a^2}=0 \Rightarrow A=B \\ \Rightarrow 2A=A+B=\frac{a^3+b^3}{a^2+ab+b^2}+ \frac{b^3+c^3}{b^2+bc+c^2} + \frac{c^3+a^3}{c^2+ac+a^2}[/TEX]

Ta lại có:

[TEX]\blue \ \frac{a^3+b^3}{a^2+ab+b^2} = \frac{(a+b)(a^2-ab+b^2)}{a^2+ab+b^2} \geq \frac{a+b}{3} \ (1) \ (Do \ \frac{a^2-ab+b^2}{a^2+ab+b^2} \geq \frac{1}{3} \ \forall a, b) \\ Tuong \ tu: \\ \frac{b^3+c^3}{b^2+bc+c^2} \geq \frac{b+c}{3} \ (2) \\ \frac{c^3+a^3}{c^2+ca+a^2} \geq \frac{c+a}{3} \ (3) \\ (1)+(2)+(3) \Rightarrow dpcm [/TEX]

Anh ơi ở c1-dấu \Leftrightarrow thu 1 em k hieu
anh lay cai do ở đau vậy
con c2 thi anh lay cai B ở đau vay

vodichhocmai · 27 Tháng một 2009

hg201td said:
Bài 4. Cho x, y, z >0 và x+y+z =[TEX]\frac{3}{2}[/TEX]. Chứng minh:[TEX]sqrt(x^2+\frac{1}{y^2}[/TEX] + [TEX]sqrt(y^2+\frac{1}{z^2}[/TEX] + [TEX]sqrt(z^2+\frac{1}{x^2}[/TEX] [TEX]\geq[/TEX] [TEX]\frac{3\sqr{17}}{2}[/TEX]

Áp dụng [TEX]Bunhiacopxki[/TEX] ta có:
[TEX]\sqrt{\(1^2+4^2\)\(x^2+\frac{1}{y^2}\)}\ge x+\frac{4}{y}[/TEX]
[TEX]\righ\sum_{cyc} \sqrt{x^2+\frac{1}{y^2}}\ge \frac{1}{\sqrt{17}}.\sum_{cyc}\(x+\frac{4}{x}\)[/TEX]
[TEX]\righ\sum_{cyc} \sqrt{x^2+\frac{1}{y^2}}\ge \frac{1}{\sqrt{17}}.\sum_{cyc}\(16x+\frac{4}{x}-15x\) \ \(1)[/TEX]
Theo [TEX]AM-GM[/TEX] ta lại có.
[TEX]16x+\frac{4}{x}\ge 16[/TEX]
[TEX]\righ\sum_{cyc}\(16x+\frac{4}{x}\)\ge 48\ \ (2)[/TEX]
[TEX](1)&(2)\righ\sum_{cyc} \sqrt{x^2+\frac{1}{y^2}}\ge \frac{1}{\sqrt{17}}\(48-15.\frac{3}{2}\)=\frac{3\sqrt{17}}{2}\ \(dpcm)[/TEX]

mcdat · 27 Tháng một 2009

pokco said:

Anh ơi ở c1-dấu \Leftrightarrow thu 1 em k hieu
anh lay cai do ở đau vậy
con c2 thi anh lay cai B ở đau vay

Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

1: cái đó e chỉ việc quy đồng là được thui

2: Cái B đó là anh gọi thêm thoy

mcdat · 27 Tháng một 2009

quang1234554321 said:

Bổ đề này là hệ quả của BDT cauchy-schwarz ( đây là tên gọi quốc tế của BDT bunhiacopxki mà Việt Nam ta thường gọi
Em nên mua sách về BDT để tham khảo thêm

Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

Đó đâu phải là BĐT Cauchy - Schwarz !!

BĐT đó muốn chứng minh thì phải dùng BĐT Cauchy - Schwarz hoặc sư dụng bổ đề sau để CM bằng quy nạp

[TEX]\sqrt{a^2+b^2} + \sqrt{x^2+y^2} \geq \sqrt{(a+x)^2+(b+y)^2}[/TEX]

Anh nhớ nhầm rồi

vodichhocmai · 28 Tháng một 2009

quang1234554321 said:
Áp dụng bổ đề sau và ta có đpcm

[TEX]\sqrt{a_1^2+b_1^2} + \sqrt{a_2^2+b_2^2} + ...+ \sqrt{a_n^2+b_n^2} \geq \sqrt{(a_1+...+a_n)^2+(b_1+...+b_n)^2} [/TEX]

Đặt [TEX]\left{\vec{x_1}=\(a_1;b_1\)\\\vec{x_2}=\(a_2;b_2\)\\....................\\\vec{x_n}=\(a_n;b_n\)[/TEX]
Lúc đó [TEX]\vec{x_1}+\vec{x_2}+........+\vec{x_n}=\(a_1+a_2+.....a_n;b_1+b_2......+b_n\)[/TEX]
Teo bất đẳng thức [TEX]Vector[/TEX] ta luôn có .
[TEX]\|\vec{x_1}\|+\|\vec{x_2}\|+........+\|\vec{x_n}\|\ge \|\vec{x_1}+\vec{x_2}+........+\vec{x_n}\| [/TEX]
[TEX]\righ \sqrt{a_1^2+b_1^2} + \sqrt{a_2^2+b_2^2} + .....+ \sqrt{a_n^2+b_n^2} \geq \sqrt{(a_1+.....+a_n)^2+(b_1+.....+b_n)^2}\ \(dpcm)[/TEX]

Tìm kiếm

Tìm kiếm

Bất đẳng thức

twilighting

hg201td

mcdat

mcdat

pokco

vodichhocmai

twilighting

andehoc_n

hg201td

vodichhocmai

quang1234554321

quang1234554321

pokco

quang1234554321

pokco

pokco

vodichhocmai

mcdat

mcdat

vodichhocmai