Tính tích phân sau
[TEX]\int_{0}^{\pi}\frac{x.sinx}{sin^2x+9}dx[/TEX]
Lời giải
Đặt [TEX]t=\pi-x \rightarrow sin x=sin t,x=\pi-t,dt=-dx[/TEX]
Ta có
[TEX]\int_{0}^{\pi}\frac{x.sinx}{sin^2x+9}dx[/TEX]
[TEX]=-\int_{\pi}^{0}\frac{(\pi-t).sint}{sin^2t+9}dt[/TEX]
[TEX]=\pi \int_{0}^{\pi}\frac{sint}{sin^2t+9}dt-\int_{0}^{\pi}\frac{t.sint}{sin^2t+9}dt[/TEX]
[TEX]=\pi \int_{0}^{\pi}\frac{sint}{sin^2t+9}dt-\int_{0}^{\pi}\frac{x.sinx}{sin^2x+9}dx[/TEX]
[TEX]\rightarrow \int_{0}^{\pi}\frac{x.sinx}{sin^2x+9}dx=\frac{\pi}{2}.\int_{0}^{\pi}\frac{sint}{sin^2t+9}dt[/TEX]
Đến đây thì đơn giản hơn rồi
[TEX]\frac{\pi}{2}.\int_{0}^{\pi}\frac{sint}{sin^2t+9}dt[/TEX]
[TEX]=-\frac{\pi}{2}.\int_{0}^{\pi}\frac{d(cost)}{10-cos^2 t}[/TEX]
[TEX]=\frac{\pi}{2}.\int_{0}^{\pi}\frac{d(cost)}{cos^2 t -10}[/TEX]
[TEX]=\frac{\pi}{2}.\int_{0}^{\pi}\frac{d(cost)}{(cos t+\sqrt{10})(cos t -\sqrt{10})[/TEX]
[TEX]=\frac{\pi}{2}.\frac{1}{2\sqrt{10}}.ln(|\frac{cos t-\sqrt{10}}{cos t+\sqrt{10}} |)|_{0}^{\pi}[/TEX]
_________________________________________________________
Từ cách giải này ta suy ra bổ đề sau
[TEX]\int_{0}^{\pi} x.f(sinx)dx=\frac{\pi}{2}\int_{0}^{\pi}f(sinx)dx[/TEX]
7h rồi, xem đá bóng nào .Việt Nam vô địch
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn