[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!
ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.
mn giúp e với ạ 
Toán 9 Tìm tất cả các cặp số nguyên x,y
- Thread starter truong2008
- Ngày gửi
- Replies 4
- Views 524
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!
ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.
Do nhận thấy rằng nếu (x, y) là nghiệm của (1) thì (−x, y) cũng là nghiệm của
(1) nên không mất tính tổng quát, giả sử x ≥ 0. Từ giả thiết, ta có:
(x− y)^2.(x+ y)^2 = 1+20y
Từ đó ta có: 1+20y ≥ 0 ⇔ y ≥ −1/20
Mà y là số nguyên nên y ∈ N. Suy ra (x− y)^2.(x+ y)^2 ≥ 1
• Giả sử (x− y)^2 = 1. Suy ra
(x+ y)^2 = 1+20y
⇔ 1+20y = y^2 +2x y+ x^2 ≥ y^2
⇒ 0 ≤ y ≤ 10
Nếu y là số lẻ thì (x+ y)^2 = 1+20y chia 8 dư 5 điều này vô lý do không có
số chính phương nào chia 8 dư 5. Vì vậy, y là số chẵn.
Xét các trường hợp y ∈ {0,2,4,6,8,10}, ta thấy các bộ (x, y) ∈ {(1,0),(5,4),(5,6)}
thỏa mãn (x+ y)^2 = 1+20y và (x− y)^2 = 1.
• Giả sử (x− y)^2 > 1. Do (x− y)^2
là số chính phương nên (x− y)^2 ≥ 4. Suy ra
1+20y ≥ 4(x+ y)^2 ≥ 4y^2 ⇒ 0 ≤ y ≤ 5
Với y ∈(0,4) thì 1 + 20y mới là số chính phương. Cả hai trường hợp này đều không thỏa mãn.
Vậy phương trình (1) có các nghiệm (x, y) ∈ {(1,0),(−1,0),(5,4),(−5,4),(5,6),(−5,6)}
(1) nên không mất tính tổng quát, giả sử x ≥ 0. Từ giả thiết, ta có:
(x− y)^2.(x+ y)^2 = 1+20y
Từ đó ta có: 1+20y ≥ 0 ⇔ y ≥ −1/20
Mà y là số nguyên nên y ∈ N. Suy ra (x− y)^2.(x+ y)^2 ≥ 1
• Giả sử (x− y)^2 = 1. Suy ra
(x+ y)^2 = 1+20y
⇔ 1+20y = y^2 +2x y+ x^2 ≥ y^2
⇒ 0 ≤ y ≤ 10
Nếu y là số lẻ thì (x+ y)^2 = 1+20y chia 8 dư 5 điều này vô lý do không có
số chính phương nào chia 8 dư 5. Vì vậy, y là số chẵn.
Xét các trường hợp y ∈ {0,2,4,6,8,10}, ta thấy các bộ (x, y) ∈ {(1,0),(5,4),(5,6)}
thỏa mãn (x+ y)^2 = 1+20y và (x− y)^2 = 1.
• Giả sử (x− y)^2 > 1. Do (x− y)^2
là số chính phương nên (x− y)^2 ≥ 4. Suy ra
1+20y ≥ 4(x+ y)^2 ≥ 4y^2 ⇒ 0 ≤ y ≤ 5
Với y ∈(0,4) thì 1 + 20y mới là số chính phương. Cả hai trường hợp này đều không thỏa mãn.
Vậy phương trình (1) có các nghiệm (x, y) ∈ {(1,0),(−1,0),(5,4),(−5,4),(5,6),(−5,6)}
