Toán 9 Cho a,b >0, a+b=1. Tìm mix,max của $P=\sqrt{a(b+1)}+\sqrt{b(a+1)}$

[Danggviethung]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho a,b >0, a+b=1. Tìm mix,max của [imath]P=\sqrt{a(b+1)}+\sqrt{b(a+1)}[/imath]

 

[Alice_www]

Cho a,b là các số nguyên dương, a+b=1. Tìm max,min P= sqrt[a(b+1)]+sqrt[b(a+1)]

Danggviethung
Ta có: [imath]xy\ge 0\Rightarrow (x+y)^2\ge x^2+y^2[/imath]
[imath]\Rightarrow x+y\ge \sqrt{x^2+y^2}[/imath]
[imath]P=\sqrt{a(b+1)}+\sqrt{b(a+1)}\ge \sqrt{2ab+a+b}=\sqrt{2ab+1}\ge 1[/imath]
Dấu "=" xảy ra khi [imath]\left\{\begin{matrix}a=1\\b=0\end{matrix}\right.[/imath] hoặc [imath]\left\{\begin{matrix}b=1\\a=0\end{matrix}\right.[/imath]
[imath]\sqrt2P=\sqrt{2a(b+1)}+\sqrt{2b(a+1)}\le \dfrac{2a+b+1}{2}+\dfrac{2b+a+1}{2}[/imath]
[imath]\Rightarrow P\le \dfrac{5\sqrt2}{4}[/imath]
Dấu "=" xảy ra khi [imath]a=b=\dfrac12[/imath]
Có gì khúc mắc em hỏi lại nhé
Ngoài ra em xem thêm tại [Lý thuyết] Chuyên đề HSG : Bất đẳng thức

 

[7 1 2 5]

Ta có: [imath]xy\ge 0\Rightarrow (x+y)^2\ge x^2+y^2[/imath]
[imath]\Rightarrow x+y\ge \sqrt{x^2+y^2}[/imath]
[imath]P=\sqrt{a(b+1)}+\sqrt{b(a+1)}\ge \sqrt{2ab+a+b}=\sqrt{2ab+1}\ge 1[/imath]
Dấu "=" xảy ra khi [imath]\left\{\begin{matrix}a=1\\b=0\end{matrix}\right.[/imath] hoặc [imath]\left\{\begin{matrix}b=1\\a=0\end{matrix}\right.[/imath]
[imath]\sqrt2P=\sqrt{2a(b+1)}+\sqrt{2b(a+1)}\le \dfrac{2a+b+1}{2}+\dfrac{2b+a+1}{2}[/imath]
[imath]\Rightarrow P\le \dfrac{5\sqrt2}{4}[/imath]
Dấu "=" xảy ra khi [imath]a=b=\dfrac12[/imath]
Có gì khúc mắc em hỏi lại nhé
Ngoài ra em xem thêm tại [Lý thuyết] Chuyên đề HSG : Bất đẳng thức

Cáp Ngọc Bảo PhươngBài này sai đoạn max rồi chị ạ. Với [imath]a=b=\dfrac{1}{2}[/imath] thì [imath]P=\sqrt{3}[/imath]
Ta có: [imath]\sqrt{3}P=\sqrt{3a(b+1)}+\sqrt{3b(a+1)} \leq \dfrac{3a+b+1}{2}+\dfrac{3b+a+1}{2}=2(a+b)+1=3[/imath]
[imath]\Rightarrow P \leq \sqrt{3}[/imath]
Dấu "=" xảy ra tại [imath]a=b=\dfrac{1}{2}[/imath]

 

[Alice_www]

Bài này sai đoạn max rồi chị ạ. Với [imath]a=b=\dfrac{1}{2}[/imath] thì [imath]P=\sqrt{3}[/imath]
Ta có: [imath]\sqrt{3}P=\sqrt{3a(b+1)}+\sqrt{3b(a+1)} \leq \dfrac{3a+b+1}{2}+\dfrac{3b+a+1}{2}=2(a+b)+1=3[/imath]
[imath]\Rightarrow P \leq \sqrt{3}[/imath]
Dấu "=" xảy ra tại [imath]a=b=\dfrac{1}{2}[/imath]

Mộc Nhãnừa không hiểu sao lúc đó chị nhẩm lộn )))