Toán 10 Công thức lượng giác

[Ankion 10]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Tan(A+B)=tan A +tan B/1-tanA.tanB
Giải thích giúp em tại sao ra bước này ạ.Em cảm ơn

 

[Timeless time]

Tan(A+B)=tan A +tan B/1-tanA.tanB
Giải thích giúp em tại sao ra bước này ạ.Em cảm ơn

Đây là công thức cộng góc trong lượng giác, em học thuộc luôn giúp chị nhé, không cần chứng minh : $\tan(A\pm B)=\dfrac{\tan A\pm \tan B}{1\mp \tan A\cdot \tan B}$

 

[Ankion 10]

Đây là công thức cộng góc trong lượng giác, em học thuộc luôn giúp chị nhé, không cần chứng minh : $\tan(A\pm B)=\dfrac{\tan A\pm \tan B}{1\mp \tan A\cdot \tan B}$

Chị có thể chứng minh giúp em đc ko ạ
Tại vì chứng minh giúp e dễ nhớ hơn ấy ạ và mở mang tư duy hơn ạ
E cảm ơn!

 

[iceghost]

Tan(A+B)=tan A +tan B/1-tanA.tanB
Giải thích giúp em tại sao ra bước này ạ.Em cảm ơn

Chị có thể chứng minh giúp em đc ko ạ
Tại vì chứng minh giúp e dễ nhớ hơn ấy ạ và mở mang tư duy hơn ạ
E cảm ơn!

$\tan (A + B) = \dfrac{\sin (A + B)}{\cos (A + B)} = \dfrac{\sin A \cos B + \cos A \sin B}{\cos A \cos B - \sin A \sin B} = \dfrac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B}$

(chia cả tử và mẫu cho $\cos A \cos B$)

Bạn tham khảo cách chứng minh này nhé

 

[Ankion 10]

$\tan (A + B) = \dfrac{\sin (A + B)}{\cos (A + B)} = \dfrac{\sin A \cos B + \cos A \sin B}{\cos A \cos B - \sin A \sin B} = \dfrac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B}$

(chia cả tử và mẫu cho $\cos A \cos B$)

Bạn tham khảo cách chứng minh này nhé

Từ dấu = thứ 2 em chưa hiểu lắm ạ

 

[Alice_www]

Từ dấu = thứ 2 em chưa hiểu lắm ạ

Dấu = thứ 2 là công thức cộng của $\sin (a\pm b)=\sin a\cos b\pm \sin b\cos a$
$\cos (a\pm b)=\cos a\cos b \mp \sin a\sin b$
Còn dấu "=" thứ 3 là chia cả từ và mẫu cho $\cos A \cos B$

 

[Ankion 10]

Dấu = thứ 2 là công thức cộng của $\sin (a\pm b)=\sin a\cos b\pm \sin b\cos a$
$\cos (a\pm b)=\cos a\cos b ^-_+\sin a\sin b$
Còn dấu "=" thứ 3 là chia cả từ và mẫu cho $\cos A \cos B$

Em ko hiểu vì sao từ sin(a+b) lại ra sin a .cosb +cosa.sinb

 

[Alice_www]

Em ko hiểu vì sao từ sin(a+b) lại ra sin a .cosb +cosa.sinb

Xét bài toán Cho tam giác $\Delta ABD$ vuông tại $A$ có
$\widehat{BDA}=a^\circ=\widehat{FCB}$ (do $\Delta CFB\sim \Delta DAB$)
Kẻ $BC\bot BD$ sao cho $DC=1$
Đặt $\widehat{BDC}=b^\circ$
Ta có: $\sin b=\dfrac{CB}{DC}=CB$
$\cos b=\dfrac{DB}{DC}=DB$
$\sin a =\dfrac{AB}{DB}\Rightarrow AB=\sin a\cos b$
$\cos a=\dfrac{CF}{CB}\Rightarrow CF=\sin b\cos a$
Ta có: $\sin (a+b)=\dfrac{CE}{CD}=CE=CF+EF=CF+AB=\sin b\cos a+\sin a\cos b$
Ta được đpcm

Em hỏi mở mang tư duy là chuyện tốt
Nhưng những CLTG này ban đầu tuy khó nhớ nhưng cứ làm bt là sẽ nhớ nhanh thoi
và ghi nhớ sẽ giúp em làm bt nhanh chóng hơn rất nhiều, cũng như là nhìn ra ý tưởng của bài toán tốt hơn
Chúc em học tốt

 

[Ankion 10]

Xét bài toán Cho tam giác $\Delta ABD$ vuông tại $A$ có
$\widehat{BDA}=a^\circ=\widehat{FCB}$ (do $\Delta CFB\sim \Delta DAB$)
Kẻ $BC\bot BD$ sao cho $DC=1$
Đặt $\widehat{BDC}=b^\circ$
Ta có: $\sin b=\dfrac{CB}{DC}=CB$
$\cos b=\dfrac{DB}{DC}=DB$
$\sin a =\dfrac{AB}{DB}\Rightarrow AB=\sin a\cos b$
$\cos a=\dfrac{CF}{CB}\Rightarrow CF=\sin b\cos a$
Ta có: $\sin (a+b)=\dfrac{CE}{CD}=CE=CF+EF=CF+AB=\sin b\cos a+\sin a\cos b$
Ta được đpcm
View attachment 199232
Em hỏi mở mang tư duy là chuyện tốt
Nhưng những CLTG này ban đầu tuy khó nhớ nhưng cứ làm bt là sẽ nhớ nhanh thoi
và ghi nhớ sẽ giúp em làm bt nhanh chóng hơn rất nhiều, cũng như là nhìn ra ý tưởng của bài toán tốt hơn
Chúc em học tốt

Dạ e cảm ơn ạ

 

[iceghost]

Em ko hiểu vì sao từ sin(a+b) lại ra sin a .cosb +cosa.sinb

Nếu bạn cứ tiếp tục hỏi như thế, đến một lúc nào đó, bạn sẽ đi đến câu hỏi "Vì sao $1 + 1 = 2$?". Cũng được, hỏi đến khi nào bạn cảm thấy chấp nhận được là được mà... Nhưng có khi nào bạn tự hỏi là: tại sao $1 + 1 = 2$ không? Tại sao điều đó lại cảm thấy "hiển nhiên" như vậy, trong khi trong quyển Principia Mathematica của Alfred North Whitehead và Bertrand Russell thì đến trang 379 mới dẫn ra được điều này?

Đôi khi, bạn cần phải có một cái gọi là "điểm dừng". Thực ra chứng minh ở trên đã ngầm giả sử là người đọc hiểu định nghĩa $\sin x = \dfrac{\text{đối}}{\text{huyền}}$ các thứ rồi. Mình đoán đây đang là "điểm dừng" của bạn

sao đi học
cứ khóc hoài
thôi đừng khóc
có kẹo đây!

Nhưng đối với một học sinh lớp $10$, mình nghĩ, bạn nên lấy $\sin (a + b) = \sin a \cos b + \cos a \sin b$ làm một "điểm dừng" thì tốt hơn.

Lý do là ở lớp $10$, các bài toàn chỉ xem $\sin x$ và $\cos x$ là những thành phần "nhỏ nhất", không xem nó như $\dfrac{\text{cạnh}}{\text{cạnh}}$ nữa. Nếu bạn cứ hiểu theo điểm dừng kia thì bạn sẽ rất khó để làm bài đấy.

Hơn nữa, phép chứng minh trên không đem lại được "sự thật ngầm định" gì cả. Bạn có thể đọc hiểu lời giải, nhưng sau đó $\sin (a + b) = \sin a \cos b + \cos a \sin b$ nó cũng chẳng nghe tự nhiên như là $1 + 1 = 2$. Không đáng nhớ gì cả, đúng không?

Thật ra, nếu bạn muốn nhớ thì lên lớp 12, khi được học về số phức - mảnh ghép còn thiếu trong chương trình toán phổ thông, bạn sẽ học được đẳng thức: $$e^{\theta i} = \cos \theta + i \sin \theta$$
Khi đó, nếu thay góc cần tính bằng $a + b$ thì bạn sẽ có được: $$e^{(a + b)i} = \cos(a + b) + i \sin(a + b)$$
Mà $e^{(a + b)i} = e^{ai} \cdot e^{bi}$ nên bạn còn có thể tính được theo cách khác: $$\begin{aligned}
e^{(a + b)i} &= (\cos a + i \sin a)(\cos b + i \sin b) \\
&= \cos a \cos b - \sin a \sin b + i (\sin a \cos b + \cos a \sin b) \end{aligned}$$
Đồng nhất phần thực phần ảo, bạn sẽ có được hai đẳng thức của $\sin(a + b)$ và $\cos(a + b)$. Đây là một phép chứng minh đáng nhớ hơn bởi vì nó nhấn mạnh mối quan hệ giữa phép cộng argument trong phép nhân số phức, nói cách khác, tại sao cộng độ lớn góc lại dẫn đến phép nhân lượng giác.

Nếu số phức được dạy từ lớp 10 thì mọi thứ đã đơn giản hơn rồi Nhưng hiện tại, đối với học sinh lớp 10, việc chấp nhận $\sin(a + b) = \sin a \cos b + \cos a \sin b$ là một điều phải làm (chính sách giáo khoa Đại số 10 trang 149 cũng phải chấp nhận điều đó). Đẳng thức này cũng không đến nỗi khó nhớ, nếu bạn chấp nhận được $1 + 1 = 2$ hay $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$, tại sao không thử chấp nhận điều này?

 

[Ankion 10]

Nếu bạn cứ tiếp tục hỏi như thế, đến một lúc nào đó, bạn sẽ đi đến câu hỏi "Vì sao $1 + 1 = 2$?". Cũng được, hỏi đến khi nào bạn cảm thấy chấp nhận được là được mà... Nhưng có khi nào bạn tự hỏi là: tại sao $1 + 1 = 2$ không? Tại sao điều đó lại cảm thấy "hiển nhiên" như vậy, trong khi trong quyển Principia Mathematica của Alfred North Whitehead và Bertrand Russell thì đến trang 379 mới dẫn ra được điều này?

Đôi khi, bạn cần phải có một cái gọi là "điểm dừng". Thực ra chứng minh ở trên đã ngầm giả sử là người đọc hiểu định nghĩa $\sin x = \dfrac{\text{đối}}{\text{huyền}}$ các thứ rồi. Mình đoán đây đang là "điểm dừng" của bạn


Nhưng đối với một học sinh lớp $10$, mình nghĩ, bạn nên lấy $\sin (a + b) = \sin a \cos b + \cos a \sin b$ làm một "điểm dừng" thì tốt hơn.

Lý do là ở lớp $10$, các bài toàn chỉ xem $\sin x$ và $\cos x$ là những thành phần "nhỏ nhất", không xem nó như $\dfrac{\text{cạnh}}{\text{cạnh}}$ nữa. Nếu bạn cứ hiểu theo điểm dừng kia thì bạn sẽ rất khó để làm bài đấy.

Hơn nữa, phép chứng minh trên không đem lại được "sự thật ngầm định" gì cả. Bạn có thể đọc hiểu lời giải, nhưng sau đó $\sin (a + b) = \sin a \cos b + \cos a \sin b$ nó cũng chẳng nghe tự nhiên như là $1 + 1 = 2$. Không đáng nhớ gì cả, đúng không?

Thật ra, nếu bạn muốn nhớ thì lên lớp 12, khi được học về số phức - mảnh ghép còn thiếu trong chương trình toán phổ thông, bạn sẽ học được đẳng thức: $$e^{\theta i} = \cos \theta + i \sin \theta$$
Khi đó, nếu thay góc cần tính bằng $a + b$ thì bạn sẽ có được: $$e^{(a + b)i} = \cos(a + b) + i \sin(a + b)$$
Mà $e^{(a + b)i} = e^{ai} \cdot e^{bi}$ nên bạn còn có thể tính được theo cách khác: $$\begin{aligned}
e^{(a + b)i} &= (\cos a + i \sin a)(\cos b + i \sin b) \\
&= \cos a \cos b - \sin a \sin b + i (\sin a \cos b + \cos a \sin b) \end{aligned}$$
Đồng nhất phần thực phần ảo, bạn sẽ có được hai đẳng thức của $\sin(a + b)$ và $\cos(a + b)$. Đây là một phép chứng minh đáng nhớ hơn bởi vì nó nhấn mạnh mối quan hệ giữa phép cộng argument trong phép nhân số phức, nói cách khác, tại sao cộng độ lớn góc lại dẫn đến phép nhân lượng giác.

Nếu số phức được dạy từ lớp 10 thì mọi thứ đã đơn giản hơn rồi Nhưng hiện tại, đối với học sinh lớp 10, việc chấp nhận $\sin(a + b) = \sin a \cos b + \cos a \sin b$ là một điều phải làm (chính sách giáo khoa Đại số 10 trang 149 cũng phải chấp nhận điều đó). Đẳng thức này cũng không đến nỗi khó nhớ, nếu bạn chấp nhận được $1 + 1 = 2$ hay $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$, tại sao không thử chấp nhận điều này?

Em cảm ơn vì ad đã tư vấn ạ.Ban đầu em cũng nghĩ đó là "điểm dừng" nhưng sự tò mò của em đã lôi cuốn em vào con đường chứng minh.Nhờ ad mà em đã có thể hiểu được mình nên dừng khi nào và em rất cảm ơn vì sự giúp đỡ này!