Cho a,b,c là các số dương thỏa mãn [tex]a^2\geq b^2+c^2-bc[/tex]. Chứng minh rằng [tex]b^3+c^3+3abc\leq 5a^3[/tex]
[tex]a^2\geq b^2+c^2-bc\Rightarrow \left\{\begin{matrix} 2a^3\geq 2ab^2+2ac^2-2abc\\ 4a^2\geq 4b^2+4c^2-4bc=2(b-c)^2+2(b^2+c^2)\geq (b+c)^2 \end{matrix}\right. \Rightarrow \left\{\begin{matrix} 2a^3\geq 2ab^2+2ac^2-2abc\\ 2a\geq (b+c) \end{matrix}\right.[/tex]
Ta có [tex]2ab^2+2ac^2-2abc-b^3-c^3=(b^2-bc+c^2)(2a-b-c)\geq 0[/tex] (do [tex]2a\geq (b+c)[/tex] )
[tex]\Rightarrow 2ab^2+2ac^2-2abc-b^3-c^3\geq 0\Leftrightarrow 2ab^2+2ac^2-2abc\geq b^3+c^3\Leftrightarrow 2a^3\geq b^3+c^3[/tex]
[tex]\Leftrightarrow 5a^3\geq a^3+2b^3+2c^3\geq 3abc+b^3+c^3(đpcm)[/tex]
Dấu = khi [tex]a=b=c[/tex]
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
