Toán 8 Căn

[Cheems]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Mong mn giúp đỡ ! Đây là nhưng bài em ko làm đc , còn lại em làm đc rồi ạ !

 

[kido2006]

CMR : căn 3 + căn 5 là số vô tỉ
Mong mn giúp nhanh ạ !

Giả sử [tex]\sqrt{3}+\sqrt{5}[/tex] là số hữu tỉ có dạng [tex]\sqrt{3}+\sqrt{5}=\frac{a}{b}[/tex]
(a,b nguyên tố cung nhau)
[tex]\Rightarrow 3+5+2\sqrt{15}=\frac{a^2}{b^2}\Rightarrow 2\sqrt{15}=\frac{a^2}{b^2}-8[/tex]
Vô lí do VT là số vô tỉ , VP là số hữu tỉ
[tex]\Rightarrow[/tex] Giả sử sai hay [tex]\sqrt{3}+\sqrt{5}[/tex] là số vô tỉ

 

[Duy Quang Vũ 2007]

Giả sử [tex]a=\sqrt{3}+\sqrt{5}\in \mathbb{Q}[/tex]
Ta có: [tex]a=\sqrt{3}+\sqrt{5}[/tex]
[tex]\Rightarrow a^{2}=3+2\sqrt{15}+5[/tex]
[tex]\Rightarrow a^{2}-8=2\sqrt{15}[/tex]
vô lý do [tex]a^{2}-8\in \mathbb{Q};2\sqrt{15}\in \mathbb{I}[/tex]
Do đó biểu thức đã cho phải là số vô tỉ

 

[Darkness Evolution]

CMR : căn 3 + căn 5 là số vô tỉ
Mong mn giúp nhanh ạ !

Bình lên ta có $8+2\sqrt{15}$
Bây giờ là chứng minh $\sqrt{15}$ là số vô tỉ
Giả sử $\sqrt{15}$ là số hữu tỉ
Khi đó, $\sqrt{15} = \frac{a}{b}(a;b \in \mathbb{N^*}, (a,b)=1)$
$\Rightarrow 15 =\frac{a^2}{b^2}$
$\Rightarrow 15b^2 =a^2 \vdots 3$
$\Rightarrow a \vdots 3$
$\Rightarrow a = 3a_1 (a_1 \in \mathbb{N^*})$
$\Rightarrow 15b^2 =a^2=9a{_1}^2$
$\Leftrightarrow 5b^2=3a{_1}^2 \vdots 3 $
$\Rightarrow b\vdots 3 \Rightarrow (a,b)=3$(Vô lí)
Do đó, điều giả sử là sai, $\sqrt{15}$ là số vô tỉ
$\Rightarrow (\sqrt{3}+\sqrt{5})^2= 8+2\sqrt{15}$ là số vô tỉ
$\Rightarrow \sqrt{3}+\sqrt{5}$ là số vô tỉ

 

[Nguyễn Đăng Bình]

Mong mn giúp đỡ ! Đây là nhưng bài em ko làm đc , còn lại em làm đc rồi ạ !

2)
G/s [TEX]\sqrt[3]{3-2\sqrt{2}}+\sqrt[3]{3+2\sqrt{2}}[/TEX] là số hữu tỉ, có:
[tex]\sqrt[3]{3-2\sqrt{2}}+\sqrt[3]{3+2\sqrt{2}}=\frac{a}{b}[/tex] (1)
[tex]\Leftrightarrow 4\sqrt{2}+3.(\sqrt[3]{3-2\sqrt{2}}+\sqrt[3]{3+2\sqrt{2}})=\frac{a^3}{b^3}[/tex]
[tex]\Leftrightarrow 4\sqrt{2}+3.\frac{a}{b}=\frac{a^3}{b^3}[/tex]
[tex]\Leftrightarrow \frac{a^3}{b^3}-3.\frac{a}{b}=4\sqrt{2}[/tex]
VT hữu tỉ, VP vô tỉ -> Vô lý
-> VT (1) là vô tỉ

 

[Cheems]

2)
G/s [TEX]\sqrt[3]{3-2\sqrt{2}}+\sqrt[3]{3+2\sqrt{2}}[/TEX] là số hữu tỉ, có:
[tex]\sqrt[3]{3-2\sqrt{2}}+\sqrt[3]{3+2\sqrt{2}}=\frac{a}{b}[/tex] (1)
[tex]\Leftrightarrow 4\sqrt{2}+3.(\sqrt[3]{3-2\sqrt{2}}+\sqrt[3]{3+2\sqrt{2}})=\frac{a^3}{b^3}[/tex]
[tex]\Leftrightarrow 4\sqrt{2}+3.\frac{a}{b}=\frac{a^3}{b^3}[/tex]
[tex]\Leftrightarrow \frac{a^3}{b^3}-3.\frac{a}{b}=4\sqrt{2}[/tex]
VT hữu tỉ, VP vô tỉ -> Vô lý
-> VT (1) là vô tỉ

4 can 2 ở đâu ra vậy ạ ? Anh trình bày chi tiết một chút đc ko ạ ?

 

[Duy Quang Vũ 2007]

Cụ thể là như thế này:
Đặt: [tex]a=\sqrt[3]{3-2\sqrt{2}}+\sqrt[3]{3+2\sqrt{2}}[/tex]
[tex]\Rightarrow a^{3}=(\sqrt[3]{3-2\sqrt{2}}+\sqrt[3]{3+2\sqrt{2}})^{3}[/tex]
[tex]\Rightarrow a^{3}=3-2\sqrt{2}+3+2\sqrt{2}+3\sqrt[3]{3-2\sqrt{2}}\sqrt[3]{3+2\sqrt{2}}(\sqrt[3]{3-2\sqrt{2}}+\sqrt[3]{3+2\sqrt{2}})[/tex]
[tex]\Rightarrow a^{3}=6+3a\\ \Rightarrow a^{3}-3a-6=0[/tex]
Đến đây bấm máy tính ta thấy phương trình trên có duy nhất một nghiệm vô tỷ.
Do đó a là số vô tỷ, hay biểu thức đã cho là số vô tỷ.
(Phương trình cuối không biết chỉ ra nghiệm vô tỷ nên bấm tạm máy tính).