Tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn O. Đcao AD, BE và CF cắt tại H. I là trung điểm BC.
a) EF cắt BC tại M và cắt ( O) tại K và T ( K nằm giữa M và T). Chứng minh MD. MI= MK.MT
b) Đường thẳng vuông góc với IH tại I cắt AB, AC, AD lần lượt tại N, S,G . Chứng minh G là trung điểm NS
Câu a
+) CM: [tex]MK.MT =MB.MC[/tex]
+) CM: [tex]MB.MC=ME.MF[/tex]
Do đó: [tex]MK.MT=ME.MF[/tex] (1)
+) CM: [tex]MD.MI=ME.MF[/tex] bằng cách CM : [tex]FDIE[/tex] nội tiếp
- [tex]BFHD;CEHD;BFEC[/tex] nội tiếp
[tex]\rightarrow \left\{\begin{matrix} \widehat{FDH}=\widehat{FBH} & & \\ \widehat{HDE}=\widehat{HCE} & & \\ \widehat{FBE}=\widehat{FCE} & & \end{matrix}\right.[/tex]
[tex]\rightarrow \widehat{FDE}=2.\widehat{FCE}[/tex]
- [tex]BFEC[/tex] nội tiếp đường tròn đường kính [tex]BC[/tex]
[tex]\rightarrow I[/tex] là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác [tex]BFEC[/tex]
[tex]\rightarrow \widehat{FIE}=2.\widehat{FCE}[/tex] (góc ở tâm và góc nội tiếp cùng chắn cung FE)
Do đó : [tex]\rightarrow \widehat{FDE}=\widehat{FIE}[/tex]
[tex]\rightarrow FDIE[/tex] nội tiếp
[tex]\rightarrow MD.MI=MF.ME[/tex] (2)
(1) (2) [tex]\rightarrow MK.MT=MD.MI[/tex]
Câu b :
(P.s: Mình xóa bớt đường đi cho dễ nhìn hơn)
Kẻ đường thẳng vuông góc với [tex]HI[/tex] tại [tex]H[/tex] cắt [tex]AB;AC[/tex] lần lượt tại [tex]X,Y[/tex]
[tex]\rightarrow XY//NS[/tex]
Giả sử H là trung điểm của XY --> Dùng Ta - lét ---> Ta được G là trung điểm NS
Do vậy ta cần chứng minh [tex]H[/tex] là trung điểm của [tex]XY[/tex]
Kẻ đường kính [tex]AQ[/tex] của đường tròn (O)
Dễ dàng CM: [tex]BHCQ[/tex] là hình bình hành [tex]\rightarrow I[/tex] là trung điểm [tex]HQ[/tex]
[tex]\rightarrow I,H,Q[/tex] thẳng hàng
[tex]\rightarrow QH\perp XY[/tex]
CM: [tex]\Delta QXY[/tex] cân tại [tex]Q[/tex]
- [tex]BXHQ[/tex] nội tiếp [tex]\rightarrow \widehat{HXQ}=\widehat{HBQ}[/tex]
- [tex]CYHQ[/tex] nội tiếp [tex]\rightarrow \widehat{HYQ}=\widehat{HCQ}[/tex]
Mà tex]BHCQ[/tex] là hình bình hành [tex]\rightarrow \widehat{HBQ}=\widehat{HCQ} [/tex]
[tex]\rightarrow \widehat{HXQ}=\widehat{HYQ}[/tex]
[tex]\rightarrow \Delta QXY[/tex] cân tại [tex]Q[/tex]; mà [tex] QH\perp XY[/tex]
[tex]\rightarrow H[/tex] là trung điểm của [tex]XY[/tex]
Dùng Ta - lét ---> Ta được [tex]G[/tex] là trung điểm của [tex]NS[/tex]
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
