Toán 8 Tìm nghiệm tự nhiên

[02-07-2019.]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Tìm nghiệm tự nhiên của phương trình: [tex]\frac{xy}{3z}+\frac{yz}{3x}+\frac{zx}{3y}=1[/tex]
Em cảm ơn ạ!

 

[TranPhuong27]

Không mất tính tổng quát, giải sử [tex]x\geq y \geq z > 0[/tex] [tex]\Rightarrow xy\geq z^2[/tex]
[tex]\frac{xy}{3z}+\frac{yz}{3x}+\frac{zx}{3y}=3 \Leftrightarrow \frac{xy}{z}+\frac{yz}{x}+\frac{zx}{y}=3[/tex]
Ta có: [tex]3=\frac{xy}{z}+\frac{yz}{x}+\frac{zx}{y} \geq \frac{z^2}{z}+z(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}) \geq z+2z=3z[/tex]
[tex]\Leftrightarrow z \leq 1 \Leftrightarrow z=1[/tex]
Khi đó: [tex]3=xy+\frac{y}{z}+\frac{x}{y} \geq y^2+2 \Leftrightarrow y^2 \leq 1 \Leftrightarrow y=1[/tex]
[tex]\Rightarrow x+\frac{1}{x}+x=3 \Leftrightarrow 2x^2-3x+1=0 \Leftrightarrow (x-1)(2x-1)=0 \Leftrightarrow x=1[/tex]
Vậy tập nghiệm tự nhiên của pt là [TEX](x;y;z)=(1;1;1)[/TEX]

 

[02-07-2019.]

Không mất tính tổng quát, giải sử [tex]x\geq y \geq z > 0[/tex] [tex]\Rightarrow xy\geq z^2[/tex]
[tex]\frac{xy}{3z}+\frac{yz}{3x}+\frac{zx}{3y}=3 \Leftrightarrow \frac{xy}{z}+\frac{yz}{x}+\frac{zx}{y}=3[/tex]
Ta có: [tex]3=\frac{xy}{z}+\frac{yz}{x}+\frac{zx}{y} \geq \frac{z^2}{z}+z(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}) \geq z+2z=3z[/tex]
[tex]\Leftrightarrow z \leq 1 \Leftrightarrow z=1[/tex]
Khi đó: [tex]3=xy+\frac{y}{z}+\frac{x}{y} \geq y^2+2 \Leftrightarrow y^2 \leq 1 \Leftrightarrow y=1[/tex]
[tex]\Rightarrow x+\frac{1}{x}+x=3 \Leftrightarrow 2x^2-3x+1=0 \Leftrightarrow (x-1)(2x-1)=0 \Leftrightarrow x=1[/tex]
Vậy tập nghiệm tự nhiên của pt là [TEX](x;y;z)=(1;1;1)[/TEX]

Em cảm ơn ạ.
Em có cách khác sau khi tìm được z ngắn hơn xíu ạ.
[tex]3=xy+\frac{y}{x}+\frac{x}{y}\geq xy+2\rightarrow xy\leq 1 \rightarrow xy=1\rightarrow \left\{\begin{matrix} x=1\\ y=1 \end{matrix}\right.[/tex] ( xy =1 do [tex]x\geq y\geq z\geq 1[/tex] )

 

[iiarareum]

Tìm nghiệm tự nhiên của phương trình: [tex]\frac{xy}{3z}+\frac{yz}{3x}+\frac{zx}{3y}=1[/tex]
Em cảm ơn ạ!

[tex]\frac{xy}{z}+\frac{yz}{x}\geq 2y[/tex] [tex]=> 2(\frac{xy}{z}+\frac{yz}{x}+\frac{zx}{y})\geq 2(x+y+z) => x+y+z\leq 3[/tex] (1)
Mà x,y,z tự nhiên, ĐK [tex]x,y,z\neq 0[/tex] [tex]=> x\geq 1, y\geq 1, z\geq 1 => x+y+z\geq 3[/tex] (2)
Từ (1) và (2) => phương trình có nghiệm duy nhất [tex]x=y=z=1[/tex]