Toán 9 Chứng minh đồng quy

[Lena1315]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

.....................................

 

[7 1 2 5]

Áp dụng định lí Menelaus cho tam giác ABH có S,M,O thẳng hàng ta có:
[tex]\frac{SB}{SH}.\frac{HO}{OA}.\frac{AM}{MB}=1\Rightarrow \frac{SB}{SH}=\frac{BM}{AM}[/tex]
Tương tự cho tam giác ACH có S,O,N thẳng hàng ta có:
[tex]\frac{SH}{SC}.\frac{CN}{NA}.\frac{AO}{OH}=1 \Rightarrow \frac{SH}{SC}=\frac{AN}{NC}[/tex]
Xét phương tích điểm S đối với (O) ta có: [tex]SH^2=SD.SE[/tex]
Lại có: [tex]AD.AB=AH^2=AE.AC\Rightarrow[/tex] BDEC nội tiếp [tex]\Rightarrow SD.SE=SB.SC \Rightarrow SH^2=SB.SC \Rightarrow \frac{SB}{SH}=\frac{SH}{SC} \Rightarrow \frac{BM}{AM}=\frac{AN}{NC} \Rightarrow \frac{BM}{AB}=\frac{AN}{AC} \Rightarrow \frac{AB}{AC}=\frac{BM}{AN}[/tex]
Vẽ MI // AC. Giả sử I khác H. Ta có:
[tex]\frac{AB}{AC}=\frac{BM}{MI}=\frac{BM}{NA}\Rightarrow AN=MI[/tex]
Mà AN // MI nên AMIN là hình bình hành, suy ra MN đi qua trung điểm K của AI.
Lại có MN đi qua trung điểm O của AH. Mà OI là đường trung bình của AIH nên OI // BC.
Từ đó MN // BC. Mà MN cắt BC tại S nên vô lí. Vậy I trùng H hay AMHN là hình bình hành.
Từ đó bạn dễ suy ra BP và CQ là 2 đường cao của ABC => đpcm

 

[Lena1315]

Áp dụng định lí Menelaus cho tam giác ABH có S,M,O thẳng hàng ta có:
[tex]\frac{SB}{SH}.\frac{HO}{OA}.\frac{AM}{MB}=1\Rightarrow \frac{SB}{SH}=\frac{BM}{AM}[/tex]
Tương tự cho tam giác ACH có S,O,N thẳng hàng ta có:
[tex]\frac{SH}{SC}.\frac{CN}{NA}.\frac{AO}{OH}=1 \Rightarrow \frac{SH}{SC}=\frac{AN}{NC}[/tex]
Xét phương tích điểm S đối với (O) ta có: [tex]SH^2=SD.SE[/tex]
Lại có: [tex]AD.AB=AH^2=AE.AC\Rightarrow[/tex] BDEC nội tiếp [tex]\Rightarrow SD.SE=SB.SC \Rightarrow SH^2=SB.SC \Rightarrow \frac{SB}{SH}=\frac{SH}{SC} \Rightarrow \frac{BM}{AM}=\frac{AN}{NC} \Rightarrow \frac{BM}{AB}=\frac{AN}{AC} \Rightarrow \frac{AB}{AC}=\frac{BM}{AN}[/tex]
Vẽ MI // AC. Giả sử I khác H. Ta có:
[tex]\frac{AB}{AC}=\frac{BM}{MI}=\frac{BM}{NA}\Rightarrow AN=MI[/tex]
Mà AN // MI nên AMIN là hình bình hành, suy ra MN đi qua trung điểm K của AI.
Lại có MN đi qua trung điểm O của AH. Mà OI là đường trung bình của AIH nên OI // BC.
Từ đó MN // BC. Mà MN cắt BC tại S nên vô lí. Vậy I trùng H hay AMHN là hình bình hành.
Từ đó bạn dễ suy ra BP và CQ là 2 đường cao của ABC => đpcm

cách hay quá ạ : ))
Bài này chủ yếu cm AMHN là hbh, mình cũng có 1 cách kẻ thêm k dùng mene vừa nghĩ ra cho bạn nào muốn tham khảo:

Gọi K là điểm đối xứng của H qua S thì SO là đường trung bình tam giác AKH [tex]\rightarrow SO // AK \rightarrow \frac{BM}{MA}=\frac{BS}{SK}=\frac{BS}{SH}[/tex]
Mặt khác: [tex]SH^2=SB.SC \ (=SD.SE) \rightarrow SH^2=SB(SH+HC)[/tex] [tex]\rightarrow SH^2-SH.SB=SB.HC[/tex] [tex]\rightarrow SB.HC=SH.(SH-SB)=SH.BH[/tex][tex]\rightarrow \frac{SB}{SH}=\frac{BH}{HC} \Rightarrow \frac{BM}{MA}=\frac{HB}{HC}[/tex] [tex]\rightarrow MH//AC[/tex]
Tương tự có HN//AB -> AMHN là hbh