Cái của bạn có vấn đề rồi.
[tex]x[/tex] và [tex]y[/tex] đều là số thực, nên bạn không thể dùng bất đẳng thức AM-GM để nói rằng:
[tex]-6xy \geq -\frac{3(x+y)^2}{2}[/tex]
Thay vào đó có thể dùng bất đẳng thức [tex]2xy \leq (x+y)^2[/tex] để chỉ ra rằng:
[tex]P=(x+y)^3-6xy-3(x+y)+6\geq (x+y)^3-3(x+y)^2-3(x+y)+2[/tex]
Câu này phải dùng đạo ham mới tìm được min
Ta thấy [tex]P \geq \frac{1}{2}(2t^3-3t^2-6t+12)[/tex] với [tex]0 \leq t=x+y \leq 8[/tex]
Mà cái hàm này thì min đạt tại [tex]t=\frac{1+\sqrt{5}}{2}[/tex] nên chắc dùng đạo hàm.
Hình như bạn cũng nhận ra lỗi trong cái bất đẳng thức mà bạn Châu làm, và thực ra bài này có thể giải được mà không cần dùng đạo hàm
Câu này e học lớp 9 chuyên thầy cho trong chuyền đề dồn biến @@. Cách biến đổi của chị Châu e thấy trên mạng r, nhưng sau đó người ta dùng hàm, còn e chả biết làm thế nào @@
Vậy thì em làm theo cách này nhé:
Đặt [tex]x+y=2u[/tex] và [tex]xy=v[/tex]
Từ điều kiện của bài toán ta ra được:
[tex](x+y)^2-8(x+y) \leq 0[/tex] hay [tex]0 \leq u \leq 4[/tex]
Vì [tex](x-y)^2 \geq 0[/tex] nên [tex](x+y)^2 \geq 4xy[/tex] hay [tex]\frac{(x+y)^2}{4} \geq xy[/tex] hay [tex]u^2 \geq v[/tex].
Ta có:
[tex]P = x^3 + y^3 +3(xy-1)(x+y-2)[/tex]
[tex]= (x + y)^3 - 3xy(x+y) +3(xy-1)(x+y-2)[/tex]
[tex]= 8u^3 - 6uv + 3(v-1)(2u-2)[/tex]
[tex]= 8u^3-6v-6u+6 \geq 8u^3-6u^2-6u+6[/tex]
[tex]= \left(2u-\frac{1}{2}\right)^3-\frac{3}{2}u+\frac{1}{8}-6u+6[/tex]
[tex]= \left(2u-\frac{1}{2}\right)^3-\frac{15}{4}\left(2u-\frac{1}{2}\right)+\frac{17}{4}[/tex]
[tex]= \left(2u-\frac{1}{2}\right)^3+2\cdot\frac{\sqrt{125}}{8}-\frac{15}{4}\left(2u-\frac{1}{2}\right)+\frac{17}{4}-\frac{5\sqrt5}{4} \geq 3\sqrt[3]{\left(2u-\frac{1}{2}\right)^3\cdot\left(\frac{\sqrt{125}}{8}\right)^2}-\frac{15}{4}\left(2u-\frac{1}{2}\right)+\frac{17}{4}-\frac{5\sqrt5}{4}=\frac{17-5\sqrt5}{4}[/tex] (Bất đẳng thức AM-GM)
Dấu "=" xảy ra khi [tex]x=y[/tex] và [tex]\left(2u-\frac{1}{2}\right)^3 = \frac{\sqrt{125}}{8}[/tex].
Từ đây suy ra [tex]x = y = \frac{1+\sqrt5}{4}[/tex]
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
