Toán 8 Tìm giá trị lớn nhất

[kido2006]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho các số x, y không âm thay đổi và thoả mãn x+y=1.Tìm giá trị lớn nhất cảu biểu thcứ Q=[tex](4x^2+3y)(4y^2+3x)+25xy[/tex]
Mọi người giúp mình bài này với Thanks

 

[ankhongu]

Cho các số x, y không âm thay đổi và thoả mãn x+y=1.Tìm giá trị lớn nhất cảu biểu thcứ Q=[tex](4x^2+3y)(4y^2+3x)+25xy[/tex]
Mọi người giúp mình bài này với Thanks

Bài mình tự làm, bạn tham khảo :
Max : Cái này dễ
[tex]Q = 12(x^3 + y^3) + 16x^2y^2 + 34xy = 16x^2y^2 + 22xy + 12(x^2 + y^2) \leq 16.\frac{(x + y)^4}{16} + 22\frac{(x + y)^2}{4} + 12.\frac{(x + y)^2}{2} = 1 + \frac{22}{4} + 6 = \frac{25}{2}[/tex]

Bonus cho min nè :
[tex]Q = 16x^2y^2 + 22xy + 12(x^2 + y^2) = 16x^2y^2 - 2xy + 12 = (4xy - \frac{1}{4})^2 + 12 - \frac{1}{16} \geq 12 - \frac{1}{16} = ...[/tex]

Dấu bằng bạn tự tìm nha (Dấu bằng của min xấu cực kì )

 

[ankhongu]

Chỗ biến đổi này đáng lẽ phải là dấu "nhỏ hơn hoặc bằng chứ nhỉ".
Giải thích: Vì x+y=1 và x, y không âm nên [tex]0\leq x,y\leq 1[/tex]
Xét hiệu [tex]x^2-x^3=x^2(1-x)[/tex]
Vì [tex]x\leq 1\Rightarrow 1-x\geq 0\Rightarrow x^2-x^3\geq 0\Rightarrow x^3\leq x^2[/tex]
Tương tự thì [tex]y^3\leq y^2\Rightarrow 12(x^3+y^3)\leq 12(x^2+y^2)[/tex]

Mình chỉ áp dụng hằng đẳng thức thôi mà bạn, đâu có cao siêu đến mức đó

 

[7 1 2 5]

Mình chỉ áp dụng hằng đẳng thức thôi mà bạn, đâu có cao siêu đến mức đó

Ủa hàng đẳng thức nào vậy bạn? Bạn chỉ rõ cho mình xem được không...

 

[ankhongu]

Ủa hàng đẳng thức nào vậy bạn? Bạn chỉ rõ cho mình xem được không...

[tex]16x^2y^2 + 34xy + 12(x + y)(x^2 - xy + y^3) = 16x^2y^2 + 22xy + 12(x^2 + y^2)[/tex]

 

[kido2006]

[tex]16x^2y^2 + 34xy + 12(x + y)(x^2 - xy + y^3) = 16x^2y^2 + 22xy + 12(x^2 + y^2)[/tex]

tại sao lại như thế này ạ?? anh giải thích rõ hơn hộ em được không ạ ???

 

[Lê.T.Hà]

Chỗ nào có [tex]x+y[/tex] bạn thay nó bằng 1 rồi rút gọn là ra thôi mà

 

[kido2006]

Bài mình tự làm, bạn tham khảo :
Max : Cái này dễ
[tex]Q = 12(x^3 + y^3) + 16x^2y^2 + 34xy = 16x^2y^2 + 22xy + 12(x^2 + y^2) \leq 16.\frac{(x + y)^4}{16} + 22\frac{(x + y)^2}{4} + 12.\frac{(x + y)^2}{2} = 1 + \frac{22}{4} + 6 = \frac{25}{2}[/tex]

Bonus cho min nè :
[tex]Q = 16x^2y^2 + 22xy + 12(x^2 + y^2) = 16x^2y^2 - 2xy + 12 = (4xy - \frac{1}{4})^2 + 12 - \frac{1}{16} \geq 12 - \frac{1}{16} = ...[/tex]

Dấu bằng bạn tự tìm nha (Dấu bằng của min xấu cực kì )

Cái chỗ [tex]\leq[/tex] là bất đẳng thức cosi và bđt j thế ạ???

 

[ankhongu]

Cái chỗ [tex]\leq[/tex] là bất đẳng thức cosi và bđt j thế ạ???

BĐT côsi và bunhia nha (Nới là bunhia nhưng chỉ là dạng (a + b)^2 <= 2(a^2 + b^2) thôi, chứng minh dễ mà)

 

[Lê.T.Hà]

Đoạn này có vấn đề nè bạn, bị ngược dấu

 

[mbappe2k5]

Làm lại phần max (phải quy về [TEX]xy[/TEX] hết thì mới làm được):
[tex]Q=(4x^2+3y)(4y^2+3x)+25xy=16x^2y^2+34xy+12(x^3+y^3)=16x^2y^2+34xy+12[(x+y)^3-3xy(x+y)]=16x^2y^2+34xy+12[1-3xy]=16x^2y^2-2xy+12=\frac{1}{2}(4xy-1)(8xy+1)+\frac{25}{2}\leq \frac{25}{2}[/tex]
(vì [tex]0\leq xy\leq \frac{(x+y)^2}{4}=\frac{1}{4} \Rightarrow 4xy-1\leq 0,8xy+1\geq 0[/tex]).