Toán 9 Chứng minh bất đẳng thức

[Nữ Thần Tự Do]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho a,b,c dương, chứng minh:
[tex]\frac{a^{3}}{a^{2}+ab+b^{2}}+\frac{b^{3}}{b^{2}+bc+c^{2}}+\frac{c^{3}}{c^{2}+ca+a^{2}}\geq \frac{a+b+c}{3}[/tex]
Mình đã thử áp dụng BĐT Co si nhưng không thành, mong mọi người giúp đỡ

 

[shorlochomevn@gmail.com]

Cho a,b,c dương, chứng minh:
[tex]\frac{a^{3}}{a^{2}+ab+b^{2}}+\frac{b^{3}}{b^{2}+bc+c^{2}}+\frac{c^{3}}{c^{2}+ca+a^{2}}\geq \frac{a+b+c}{3}[/tex]
Mình đã thử áp dụng BĐT Co si nhưng không thành, mong mọi người giúp đỡ

đặt VT=A
xét [tex]B=\frac{b^{3}}{a^{2}+ab+b^{2}}+\frac{c^{3}}{b^{2}+bc+c^{2}}+\frac{a^{3}}{c^{2}+ca+a^{2}}\\\\ => A-B=....=0 => A=B\\\\ => 2A=\frac{(a+b).(a^2-ab+b^2)}{a^2+ab+b^2}+\frac{(b+c).(b^2-bc+c^2)}{b^2+bc+c^2}+\frac{(c+a).(c^2-ca+a^2)}{c^2+ca+a^2}\\\\ +, \frac{a^2-ab+b^2}{a^2+ab+b^2}\geq \frac{1}{3}\\\\ <=> 3a^2-3ab+3b^2-a^2-ab+b^2\geq 0\\\\ <=> 2.(a^2-2ab+b^2)\geq 0\\\\ =>....[/tex]

 

[7 1 2 5]

Dễ chứng minh BĐT phụ:[tex]\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}\geq \frac{2a-b}{3}\Leftrightarrow 3a^3\geq (2a-b)(a^2+ab+b^2)\Leftrightarrow 3a^3-(2a-b)(a^2+ab+b^2)\geq 0\Leftrightarrow (a+b)(a-b)^2\geq 0[/tex].
Áp dụng BĐT trên cho 2 đa thức còn lại ta có:[tex]\frac{a^{3}}{a^{2}+ab+b^{2}}+\frac{b^{3}}{b^{2}+bc+c^{2}}+\frac{c^{3}}{c^{2}+ca+a^{2}}\geq \frac{2a-b}{3}+\frac{2b-c}{3}+\frac{2c-a}{3}=\frac{a+b+c}{3}[/tex](đpcm)
*Bài này mình sử dụng phương pháp U.C.T(hệ số bất định)

 

[Nữ Thần Tự Do]

Dễ chứng minh BĐT phụ:[tex]\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}\geq \frac{2a-b}{3}\Leftrightarrow 3a^3\geq (2a-b)(a^2+ab+b^2)\Leftrightarrow 3a^3-(2a-b)(a^2+ab+b^2)\geq 0\Leftrightarrow (a+b)(a-b)^2\geq 0[/tex].
Áp dụng BĐT trên cho 2 đa thức còn lại ta có:[tex]\frac{a^{3}}{a^{2}+ab+b^{2}}+\frac{b^{3}}{b^{2}+bc+c^{2}}+\frac{c^{3}}{c^{2}+ca+a^{2}}\geq \frac{2a-b}{3}+\frac{2b-c}{3}+\frac{2c-a}{3}=\frac{a+b+c}{3}[/tex](đpcm)
*Bài này mình sử dụng phương pháp U.C.T(hệ số bất định)

làm sao tìm ra được [tex]\frac{2a-b}{3 }[/tex] ạ?

 

[7 1 2 5]

Bạn tham khảo

 

[mbappe2k5]

Cho a,b,c dương, chứng minh:
[tex]\frac{a^{3}}{a^{2}+ab+b^{2}}+\frac{b^{3}}{b^{2}+bc+c^{2}}+\frac{c^{3}}{c^{2}+ca+a^{2}}\geq \frac{a+b+c}{3}[/tex]
Mình đã thử áp dụng BĐT Co si nhưng không thành, mong mọi người giúp đỡ

Có phải bạn định Cauchy ở mẫu nhưng không thành công đúng không?
Để khắc phục thì phải tìm cách làm sao để các phân thức ở vế trái mang dấu trừ, như thế mới Cauchy được.
[tex]\frac{a^{3}}{a^{2}+ab+b^{2}}=a-\frac{a^2b+ab^2}{a^2+ab+b^2}\geq a-\frac{ab(a+b)}{3ab}=a-\frac{a+b}{3}[/tex].
Tương tự xong cộng lại ta có đpcm. Dấu bằng xảy ra khi [TEX]a=b=c[/TEX].

 

[Nữ Thần Tự Do]

Có phải bạn định Cauchy ở mẫu nhưng không thành công đúng không?
Để khắc phục thì phải tìm cách làm sao để các phân thức ở vế trái mang dấu trừ, như thế mới Cauchy được.
[tex]\frac{a^{3}}{a^{2}+ab+b^{2}}=a-\frac{a^2b+ab^2}{a^2+ab+b^2}\geq a-\frac{ab(a+b)}{3ab}=a-\frac{a+b}{3}[/tex].
Tương tự xong cộng lại ta có đpcm. Dấu bằng xảy ra khi [TEX]a=b=c[/TEX].

ồ, mình không nghĩ đến cái này luôn đó, thật tuyệt vời, cảm ơn bạn nhiều.
mình không áp dụng co si cho toàn mẫu mà chỉ áp dụng cho ab, bc, ca thôi, nhưng kết quả không được gì cả

có bài này mình cũng muốn hỏi mọi người
Với a,b >0 chứng minh: [tex]\left ( \sqrt{a}+\sqrt{b} \right )^{8}\geq 64ab\left ( a +b\right )^{2}[/tex]
bài này mình thử nhiều cách rồi nhưng vẫn chưa làm được, mong mọi người giúp nha

cho hình bình hành ABCD có AB=8cm, AD = 12cm góc ABC nhọn và diện tích tam giác ABC bằng 27cm^2. Tính cos (

,

)

Bạn dùng công thức định lí hàm cos nhé

bạn

Bạn dùng công thức định lí hàm cos nhé

bạn làm được chưa vậy

 

[7 1 2 5]

có bài này mình cũng muốn hỏi mọi người
Với a,b >0 chứng minh: [tex]\left ( \sqrt{a}+\sqrt{b} \right )^{8}\geq 64ab\left ( a +b\right )^{2}[/tex]
bài này mình thử nhiều cách rồi nhưng vẫn chưa làm được, mong mọi người giúp nha

[tex](\sqrt{a}+\sqrt{b})^8=(a+b+2\sqrt{ab})^4\geq [2\sqrt{(a+b).2\sqrt{ab}}]^4=64(a+b)^2.ab(đpcm)[/tex]

 

[Tungtom]

Cho a,b,c dương, chứng minh:
[tex]\frac{a^{3}}{a^{2}+ab+b^{2}}+\frac{b^{3}}{b^{2}+bc+c^{2}}+\frac{c^{3}}{c^{2}+ca+a^{2}}\geq \frac{a+b+c}{3}[/tex]
Mình đã thử áp dụng BĐT Co si nhưng không thành, mong mọi người giúp đỡ

Liệu mình làm thế này có sai không ạ?
Ta có: [tex]\frac{a^{3}}{a^{2}+ab+b^{2}}=\frac{a^{3}.\frac{1}{a}}{a+b+\frac{b^{2}}{a}}=\frac{a^{2}}{a+b+\frac{b^{2}}{a}}[/tex]
Tương tự: [tex]\frac{b^{3}}{b^{2}+bc+c^{2}}=\frac{b^{2}}{b+c+\frac{c^{2}}{b}};\frac{c^{3}}{c^{2}+ca+a^{2}}=\frac{c^{2}}{c+a+\frac{c^{2}}{a}}[/tex]
Cộng theo tưng̀ vế: VT= [tex] \frac{a^{2}}{a+b+\frac{b^{2}}{a}}+\frac{b^{2}}{b+c+\frac{c^{2}}{b}}+\frac{c^{2}}{c+a+\frac{c^{2}}{a}} [/tex][tex]\geq \frac{\left ( a+b+c \right )^{2}}{2\left ( a+b+c \right )+\frac{abc\left ( a+b+c \right )}{abc}}=\frac{a+b+c}{3}[/tex]

 

[Nữ Thần Tự Do]

Cộng theo tưng̀ vế: VT= [tex] \frac{a^{2}}{a+b+\frac{b^{2}}{a}}+\frac{b^{2}}{b+c+\frac{c^{2}}{b}}+\frac{c^{2}}{c+a+\frac{c^{2}}{a}} [/tex][tex]\geq \frac{\left ( a+b+c \right )^{2}}{2\left ( a+b+c \right )+\frac{abc\left ( a+b+c \right )}{abc}}=\frac{a+b+c}{3}[/tex][/QUOTE]
đoạn này bạn lý giải giúp mình được không, mình không hiểu lắm

 

[mbappe2k5]

Liệu mình làm thế này có sai không ạ?
Ta có: [tex]\frac{a^{3}}{a^{2}+ab+b^{2}}=\frac{a^{3}.\frac{1}{a}}{a+b+\frac{b^{2}}{a}}=\frac{a^{2}}{a+b+\frac{b^{2}}{a}}[/tex]
Tương tự: [tex]\frac{b^{3}}{b^{2}+bc+c^{2}}=\frac{b^{2}}{b+c+\frac{c^{2}}{b}};\frac{c^{3}}{c^{2}+ca+a^{2}}=\frac{c^{2}}{c+a+\frac{c^{2}}{a}}[/tex]
Cộng theo tưng̀ vế: VT= [tex] \frac{a^{2}}{a+b+\frac{b^{2}}{a}}+\frac{b^{2}}{b+c+\frac{c^{2}}{b}}+\frac{c^{2}}{c+a+\frac{c^{2}}{a}} [/tex][tex]\geq \frac{\left ( a+b+c \right )^{2}}{2\left ( a+b+c \right )+\frac{abc\left ( a+b+c \right )}{abc}}=\frac{a+b+c}{3}[/tex]

Mình thấy sai sai ở chỗ [tex]\frac{b^2}{a}+\frac{c^2}{b}+\frac{a^2}{c}=\frac{abc(a+b+c)}{abc}[/tex], chỗ đấy bạn quy đồng sai nhé.