Cho tam giác ABC cân tại A. M và N lần lượt di động trên AB và AC sao cho MN = MB + NC. Phân giác góc BMN cắt BC tại P. Điểm Q thuộc MN thỏa mãn MQ = MB. Chứng minh rằng:
a. PN là phân giác của góc QPC.
b. MP luôn đi qua một điểm cố định.
Cho tam giác ABC cân tại A. M và N lần lượt di động trên AB và AC sao cho MN = MB + NC. Phân giác góc BMN cắt BC tại P. Điểm Q thuộc MN thỏa mãn MQ = MB. Chứng minh rằng:
a. PN là phân giác của góc QPC.
b. MP luôn đi qua một điểm cố định.
a) Cái này thì dễ rồi. $\triangle{PQM} = \triangle{PBM}$ nên $\widehat{PQM} = \widehat{PBM} = \widehat{PCN}$ nên $PCNQ$ nt, mà $NQ = NC$ nên số đo cung $NQ$ bằng số đo cung $NC$ hay $\widehat{NPQ} = \widehat{NPC}$ hay ta có đpcm
b) Phân tích chút: Chẳng hạn cho $M$ tiến gần $B$ thì $N$ phải tiến gần $A$ để thỏa đẳng thức $MN = MB + NC$. khi đó thì phân giác của $\widehat{BMN}$ sẽ gần như là phân giác của góc bẹt, tức là $MP$ sẽ gần như là $BP$ và vuông góc $AB$. Suy ra điểm cố định phải nằm trên đường vuông góc với $AB$ tại $B$
Tương tự: cho $M$ tiến gần $A$ thì $N$ tiến gần $C$, khi đó phân giác góc $BMN$ gần như là phân giác góc $BAC$. Vậy điểm cố định phải nằm trên đường phân giác đỉnh A
Vậy: điểm cố định $D$ là giao của 2 đường trên, mà vị trí của điểm này thường được biết đến với 1 cái tên thân thương hơn: trung điểm cung nhỏ $BC$.
Biết được vị trí rồi thì chắc nhiều đường đi hơn nhỉ?
Gọi $D$ là giao của $MP$ và đường thẳng qua $B$ vuông góc $BA$
Có $\widehat{QDP} = 90^\circ - \widehat{QMP} = \widehat{QNP}$ hay $N, Q, P, D, C$ cùng thuộc một đường tròn, suy ra $\widehat{NCD} = 90^\circ$ và $D$ thuộc đường qua $C$ vuông góc $CA$. Suy ra $D$ cố định
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
