Người ta làm sai đấy bạn, và mình không đánh giá cao người làm bài đó (vừa làm sai, vừa chuẩn hóa không hợp lý). Không phải bất cứ tài liệu trên mạng nào cũng chuẩn chỉ đâu.
Bài đó nếu chuẩn hóa x+y+z=3 chia trường hợp thì làm như sau:
Không mất tính tổng quát, giả sử [tex]x=max\left \{ x;y;z \right \}[/tex]
- Nếu [tex]x\geq \frac{21}{8}\Rightarrow \frac{x^2}{2x^2-6x+9}\geq \frac{49}{50}>\frac{3}{5}[/tex] bất đẳng thức hiển nhiên đúng (và để hoàn toàn chặt chẽ thì biện luận thêm 1 câu [tex]f(x)=\frac{x^2}{2x^2-6x+9}[/tex] đồng biến khi [tex]\frac{21}{8}\leq x<3[/tex], đừng thắc mắc với mình chứng minh nó đồng biến thế nào, đây là nhược điểm của phương pháp UCT phải chia trường hợp để xét thế này, bạn buộc phải học trước kiến thức đạo hàm của cấp 3 nếu muốn hiểu trọn vẹn, còn ko thì không ai giải thích được hết đâu)
- Nếu [tex]x<\frac{21}{8}[/tex], ta có đánh giá: [tex]\frac{x^2}{2x^2-6x+9}\geq \frac{12x-7}{25}\Leftrightarrow (x-1)^{2}(21-8x)\geq 0[/tex] luôn đúng với mọi [tex]0<x<\frac{21}{8}[/tex]
Hoàn toàn tương tự, ta có: [tex]\frac{y^2}{2y^2-6y+9}\geq \frac{12y-7}{25}[/tex]; [tex]\frac{z^2}{2z^2-6z+9}\geq \frac{12z-7}{25}[/tex]
Cộng vế với vế: [tex]VT\geq \frac{12(x+y+z)-21}{25}= \frac{3}{5}[/tex] (đpcm)
//Bài này nếu biến đổi thêm 1 chút và chuẩn hóa khác đi thì lời giải đơn giản hơn nhiều:
[tex]P\geq \sum \frac{a^2}{a^2+2b^2+2c^2}=\sum \frac{a^2}{2(a^2+b^2+c^2)-a^2}[/tex]
Do bất đẳng thức đã cho là thuần nhất, chuẩn hóa [tex]a^2+b^2+c^2=3[/tex]
[tex]\Rightarrow P\geq \sum \frac{a^2}{6-a^2}[/tex]
Ta có đánh giá [tex]\frac{a^2}{6-a^2}\geq \frac{6a^2-1}{25}\Leftrightarrow (a^2-1)^2\geq 0[/tex] (luôn đúng)
Làm tượng tự với 2 biểu thức còn lại và cộng vế với vế ta có:
[tex]P\geq \frac{6(a^2+b^2+c^2)-3}{25}=\frac{3}{5}[/tex]
Không cần đồng biến nghịch biến, ko cần chia trường hợp gì hết
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
