Toán 9 Tìm giá trị min của biểu thức

[Lemon candy]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Bài 1 cho a,b là các số thực thỏa mãn [tex]a-\sqrt{a-1}=\sqrt{b+5}-b[/tex] Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A=a+b
Bài 2: cho a ,b là các số dương thỏa mãn a.b = 1 .Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức D = [tex]( a+ b + 1)( a^2 +b^2)+\frac{4}{a+b}[/tex]

 

[7 1 2 5]

2.Ta có:[tex]D=(a+b+1)(a^2+b^2)+\frac{4}{a+b}\geq (a+b+1).2ab+\frac{4}{a+b}=2(a+b+1)+\frac{4}{a+b}=a+b+\frac{4}{a+b}+a+b+2\geq 2\sqrt{(a+b).\frac{4}{a+b}}+2\sqrt{ab}+2=4+2+2=8[/tex]
Dấu "=" xảy ra khi a = b = 1

 

[Lemon candy]

2.Ta có:[tex]D=(a+b+1)(a^2+b^2)+\frac{4}{a+b}\geq (a+b+1).2ab+\frac{4}{a+b}=2(a+b+1)+\frac{4}{a+b}=a+b+\frac{4}{a+b}+a+b+2\geq 2\sqrt{(a+b).\frac{4}{a+b}}+2\sqrt{ab}+2=4+2+2=8[/tex]
Dấu "=" xảy ra khi a = b = 1

Sao lại từ (a^2+b^2) thành 2ab vậy

 

[7 1 2 5]

Sao lại từ (a^2+b^2) thành 2ab vậy

BĐT Cô-si mà:[tex]a^2+b^2\geq 2\sqrt{a^2.b^2}=2ab[/tex]

 

[Lemon candy]

BĐT Cô-si mà:[tex]a^2+b^2\geq 2\sqrt{a^2.b^2}=2ab[/tex]

Bạn làm giúp tớ bài 1 luôn được không , bài 1 tớ đã thử chuyển vế và dùng cauchy nhưng nó không ra

 

[7 1 2 5]

Bài 1:Ta có:
[tex]a-\sqrt{a-1}=\sqrt{b+5}-b\Leftrightarrow a+b=\sqrt{b+5}+\sqrt{a-1}=\frac{1}{2}(\sqrt{4.(b+5)}+\sqrt{4(a-1)})\leq \frac{1}{2}(\frac{b+5+4}{2}+\frac{a-1+4}{2})=\frac{1}{2}(\frac{b+9}{2}+\frac{a+3}{2})=\frac{1}{2}(\frac{a+b}{2}+6)=\frac{a+b}{4}+3\Rightarrow \frac{3}{4}(a+b)\leq 3\Rightarrow a+b\leq 4[/tex]
Dấu "=" xảy ra khi [tex]\left\{\begin{matrix} a-\sqrt{a-1}=\sqrt{b+5}-b\\ b+5=4\\ a-1=4 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a=5\\ b=-1 \end{matrix}\right.[/tex]

 

[Lemon candy]

Bài 1:Ta có:
[tex]a-\sqrt{a-1}=\sqrt{b+5}-b\Leftrightarrow a+b=\sqrt{b+5}+\sqrt{a-1}=\frac{1}{2}(\sqrt{4.(b+5)}+\sqrt{4(a-1)})\leq \frac{1}{2}(\frac{b+5+4}{2}+\frac{a-1+4}{2})=\frac{1}{2}(\frac{b+9}{2}+\frac{a+3}{2})=\frac{1}{2}(\frac{a+b}{2}+6)=\frac{a+b}{4}+3\Rightarrow \frac{3}{4}(a+b)\leq 3\Rightarrow a+b\leq 4[/tex]
Dấu "=" xảy ra khi [tex]\left\{\begin{matrix} a-\sqrt{a-1}=\sqrt{b+5}-b\\ b+5=4\\ a-1=4 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a=5\\ b=-1 \end{matrix}\right.[/tex]

Cái dấu nhỏ hơn hoặc = đầu tiên là bạn dùng BĐT gì vậy ?

 

[mbappe2k5]

Cái dấu nhỏ hơn hoặc = đầu tiên là bạn dùng BĐT gì vậy ?

Bạn ý dùng Cauchy theo chiều ngược thôi mà.

 

[Lemon candy]

Bài 1:Ta có:
[tex]a-\sqrt{a-1}=\sqrt{b+5}-b\Leftrightarrow a+b=\sqrt{b+5}+\sqrt{a-1}=\frac{1}{2}(\sqrt{4.(b+5)}+\sqrt{4(a-1)})\leq \frac{1}{2}(\frac{b+5+4}{2}+\frac{a-1+4}{2})=\frac{1}{2}(\frac{b+9}{2}+\frac{a+3}{2})=\frac{1}{2}(\frac{a+b}{2}+6)=\frac{a+b}{4}+3\Rightarrow \frac{3}{4}(a+b)\leq 3\Rightarrow a+b\leq 4[/tex]
Dấu "=" xảy ra khi [tex]\left\{\begin{matrix} a-\sqrt{a-1}=\sqrt{b+5}-b\\ b+5=4\\ a-1=4 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a=5\\ b=-1 \end{matrix}\right.[/tex]

Cái đoạn 3/4 (a+b) <= 3 bạn dùng Cauchy kiểu z vậy ?

 

[ankhongu]

Cái đoạn 3/4 (a+b) <= 3 bạn dùng Cauchy kiểu z vậy ?

Đoạn đó là chuyển vế mà bạn ? [tex]a + b \leq \frac{a + b}{4} + 3[/tex]

 

[Lemon candy]

Đoạn đó là chuyển vế mà bạn ? [tex]a + b \leq \frac{a + b}{4} + 3[/tex]

Á , do mình tưởng bạn ấy lấy a+b/4 +3 dùng cauchy , không ngờ bạn ấy lấy a+b ban đầu . Cảm ơn bạn nha

 

[ankhongu]

Bài 1 cho a,b là các số thực thỏa mãn [tex]a-\sqrt{a-1}=\sqrt{b+5}-b[/tex] Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A=a+b
Bài 2: cho a ,b là các số dương thỏa mãn a.b = 1 .Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức D = [tex]( a+ b + 1)( a^2 +b^2)+\frac{4}{a+b}[/tex]

Mình bổ sung cho cách 2 nha
2.
[tex]D = (a + b + 1)(a^2 + b^2) = (a + b + 1)[(a + b)^2 - 2][/tex]
Đặt [tex]x = a + b (x \geq 2)[/tex]
Ta có :
[tex]D = (x + 1)(x^2 - 2) + \frac{4}{x} = x^3 + x^2 -2x - 2 + \frac{4}{x} = (x - 2)^2 + x^3 + 2x + \frac{4}{x} - 6 = (x - 2)^2 + x^3 + x + x + \frac{4}{x} - 6 \geq 0 + 2^3 + 2 + 2\sqrt{x.\frac{4}{x}} - 6 = 8[/tex]
- Dấu "=" <-> x = 2, ab = 1, a = b --> a = b = 1

Phức tạp hơn nên tốt nhất là bạn làm cách 1 của Mộc Nhãn nha ^^

1.
ĐKXĐ :[tex]\left\{\begin{matrix}a \geq 1 \\ b \geq -5 \end{matrix}\right.[/tex]
GT <-> [tex]a + b = \sqrt{a - 1} + \sqrt{b + 5}[/tex]
ĐK : [tex]a + b \geq 0[/tex]
Ta có : [tex](a + b)^2 = (\sqrt{a - 1} + \sqrt{b + 5})^2 \leq 2(a + b + 4) = 2(a + b) + 8[/tex]
<-> [tex](a + b)^2 - 2(a + b) - 8 \leq 0\Leftrightarrow (a + b - 4)(a + b + 2) \leq 0[/tex]
mà [tex]a + b + 2 > 0[/tex]
--> [tex]D = a + b \leq 4[/tex]
- Dấu "=" <-> [tex]\left\{\begin{matrix}a = 5 \\ b = -1 \end{matrix}\right.[/tex]

 

[Lemon candy]

Mình bổ sung cho cách 2 nha
2.
[tex]D = (a + b + 1)(a^2 + b^2) = (a + b + 1)[(a + b)^2 - 2][/tex]
Đặt [tex]x = a + b (x \geq 2)[/tex]
Ta có :
[tex]D = (x + 1)(x^2 - 2) + \frac{4}{x} = x^3 + x^2 -2x - 2 + \frac{4}{x} = (x - 2)^2 + x^3 + 2x + \frac{4}{x} - 6 = (x - 2)^2 + x^3 + x + x + \frac{4}{x} - 6 \geq 0 + 2^3 + 2 + 2\sqrt{x.\frac{4}{x}} - 6 = 8[/tex]
- Dấu "=" <-> x = 2, ab = 1, a = b --> a = b = 1

Phức tạp hơn nên tốt nhất là bạn làm cách 1 của Mộc Nhãn nha ^^

1.
ĐKXĐ :[tex]\left\{\begin{matrix}a \geq 1 \\ b \geq -5 \end{matrix}\right.[/tex]
GT <-> [tex]a + b = \sqrt{a - 1} + \sqrt{b + 5}[/tex]
ĐK : [tex]a + b \geq 0[/tex]
Ta có : [tex](a + b)^2 = (\sqrt{a - 1} + \sqrt{b + 5})^2 \leq 2(a + b + 4) = 2(a + b) + 8[/tex]
<-> [tex](a + b)^2 - 2(a + b) - 8 \leq 0\Leftrightarrow (a + b - 4)(a + b + 2) \leq 0[/tex]
mà [tex]a + b + 2 > 0[/tex]
--> [tex]D = a + b \leq 4[/tex]
- Dấu "=" <-> [tex]\left\{\begin{matrix}a = 5 \\ b = -1 \end{matrix}\right.[/tex]

Sao chỗ này x >= 2 vậy ?

 

[mbappe2k5]

Sao chỗ này x >= 2 vậy ?

Vì [tex]x=a+b\geq 2\sqrt{a.b}=2.1=2[/tex] theo BĐT AM-GM thôi.