Toán 9 CM khó

[iiarareum]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho a,b,c là các số thực khác 0 thỏa mãn [tex](a+b)(b+c)(c+a)=8abc[/tex]
CMR [tex]\frac{a}{a+c}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{a+c} = \frac{3}{4} + \frac{ab}{(a+b)(b+c)}+\frac{bc}{(b+c)(c+a)}+\frac{ca}{(c+a)(a+b)}[/tex]

......................................Mọi người giúp mình với, mình cần rất gấp ạ.

 

[N.T.Dũng]

Cho a,b,c là các số thực khác 0 thỏa mãn [tex](a+b)(b+c)(c+a)=8abc[/tex]
CMR [tex]\frac{a}{a+c}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{a+c} = \frac{3}{4} + \frac{ab}{(a+b)(b+c)}+\frac{bc}{(b+c)(c+a)}+\frac{ca}{(c+a)(a+b)}[/tex]

......................................Mọi người giúp mình với, mình cần rất gấp ạ.

Ta có [tex]8abc=(a+b)(b+c)(c+a)=abc+b^2c+ac^2+bc^2+a^2b+ab^2+a^2c+abc[/tex]
<=>[tex]b^2c+ac^2+bc^2+a^2b+ab^2+a^2c=6abc[/tex]
Mặt khác
Xét [tex]\frac{a}{a+c}-\frac{ab}{(a+b)(b+c)}+\frac{b}{b+c}-\frac{bc}{(b+c)(c+a)}+\frac{c}{c+a}-\frac{ca}{(c+a)(a+b)}[/tex]
=[tex]\frac{ac}{(a+b)(b+c)}+\frac{ba}{(b+c)(c+a)}+\frac{cb}{(c+a)(a+b)}[/tex]=[tex]\frac{a^2c+ac^2+a^2b+ab^2+b^2c+bc^2}{(a+b)(b+c)(c+a)}=\frac{6abc}{8abc}=\frac{3}{4}[/tex]
nên
[tex]\frac{a}{a+c}-\frac{ab}{(a+b)(b+c)}+\frac{b}{b+c}-\frac{bc}{(b+c)(c+a)}+\frac{c}{c+a}-\frac{ca}{(c+a)(a+b)}=\frac{3}{4}[/tex]
=>[tex]\frac{a}{a+c}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}=\frac{3}{4}+\frac{ab}{(a+b)(b+c)}+\frac{bc}{(b+c)(c+a)}+\frac{ca}{(c+a)(a+b)}[/tex]

 

[ankhongu]

Cho a,b,c là các số thực khác 0 thỏa mãn [tex](a+b)(b+c)(c+a)=8abc[/tex]
CMR [tex]\frac{a}{a+c}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{a+c} = \frac{3}{4} + \frac{ab}{(a+b)(b+c)}+\frac{bc}{(b+c)(c+a)}+\frac{ca}{(c+a)(a+b)}[/tex]

......................................Mọi người giúp mình với, mình cần rất gấp ạ.

Cách 2 nhanh hơn nè
Qua BĐT côsi ta có :
[tex](a + b)(b + c)(c + a) \geq 8abc \Rightarrow a = b = c[/tex]
Thay vào ĐPCM, ta có : [tex]VT = \frac{3}{2} = \frac{6}{4} = VP[/tex] (Luôn đúng)
KL ...