Toán 9 Các bài toán liên hệ giữa hai hàm số y = ax + b, y =ax^2

[Lê Trang 123]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Đề bài: Cho Parabol (P): y = [tex]\frac{1}{2}x^{2}[/tex] và đường thẳng d: y = kx + 2. Chứng minh rằng với mọi k đường thẳng d cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B và tam giác OAB vuông tại O.
Tôi đã chứng minh được với mọi k đường thẳng d cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B nhưng chưa chứng minh được tam giác OAB vuông tại O. Các bạn hãy chứng minh giúp tôi với tôi đang cần gấp!
Đây là phần tôi đã làm được:
Ta có phương trình hoành độ giao điểm của d và (P):
[tex]\Leftrightarrow[/tex] [tex]\frac{1}{2}x^{2}[/tex] = kx +2
[tex]\Leftrightarrow[/tex] [tex]\frac{1}{2}x^{2}[/tex] - kx -2 = 0
[tex]\Leftrightarrow[/tex] [tex]x^{2}[/tex] - 2kx - 4 = 0
[tex]\Delta = 4*k^2 + 4 \geq 4 > 0[/tex] với mọi [tex]k\epsilon R[/tex]
[tex]\rightarrow phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi k \epsilon R[/tex]
vậy d luôn cắt (P) tại hai điểm A, B phân biệt.
Phần còn lại tôi chưa làm được mong các bạn giải giúp sớm có đáp án . Cảm ơn rất nhiều

 

[Sơn Nguyên 05]

Đề bài: Cho Parabol (P): y = [tex]\frac{1}{2}x^{2}[/tex] và đường thẳng d: y = kx + 2. Chứng minh rằng với mọi k đường thẳng d cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B và tam giác OAB vuông tại O.
Tôi đã chứng minh được với mọi k đường thẳng d cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B nhưng chưa chứng minh được tam giác OAB vuông tại O. Các bạn hãy chứng minh giúp tôi với tôi đang cần gấp!
Đây là phần tôi đã làm được:
Ta có phương trình hoành độ giao điểm của d và (P):
[tex]\Leftrightarrow[/tex] [tex]\frac{1}{2}x^{2}[/tex] = kx +2
[tex]\Leftrightarrow[/tex] [tex]\frac{1}{2}x^{2}[/tex] - kx -2 = 0
[tex]\Leftrightarrow[/tex] [tex]x^{2}[/tex] - 2kx - 4 = 0
[tex]\Delta = 4*k^2 + 4 \geq 4 > 0[/tex] với mọi [tex]k\epsilon R[/tex]
[tex]\rightarrow phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi k \epsilon R[/tex]
vậy d luôn cắt (P) tại hai điểm A, B phân biệt.
Phần còn lại tôi chưa làm được mong các bạn giải giúp sớm có đáp án . Cảm ơn rất nhiều

Bạn xác định được toạ độ hai giao điểm của P và d là A và B (theo k)
Viết phương trình đường thẳng OA và OB. Chứng minh hai đường này vuông góc với nhau với chú ý: Hai đường thẳng y = ax + b và y = a’x + b’ vuông góc với nhau khi a.a’ = - 1.

 

[Lê Trang 123]

Bạn xác định được toạ độ hai giao điểm của P và d là A và B (theo k)
Viết phương trình đường thẳng OA và OB. Chứng minh hai đường này vuông góc với nhau với chú ý: Hai đường thẳng y = ax + b và y = a’x + b’ vuông góc với nhau khi a.a’ = - 1.

bạn có thể giải chi tiết hơn được không?

 

[Ngoc Anhs]

bạn có thể giải chi tiết hơn được không?

Nếu bạn chưa học cách viết phương trình đường thẳng thì làm như này:
Gọi giao điểtm là [tex]A\left ( a;\frac{1}{2} a^2\right );B\left ( b;\frac{1}{2} b^2\right )[/tex]
Xét pt: [tex]OA^2+OB^2=AB^2\Leftrightarrow a^2+\frac{1}{4}a^4+b^2+\frac{1}{4}b^4=(a-b)^2+\frac{1}{4}(a^2-b^2)^2\Leftrightarrow 4ab+a^2b^2=0[/tex]
Vì a, b là nghiệm của pt hoành độ giao điểm nên thay Viet vào ta đc: 4.(-4)+4²=0 (luôn đúng)
=> OA²+OB²=AB² là đúng
=> đpcm

 

[Lê Trang 123]

Nếu bạn chưa học cách viết phương trình đường thẳng thì làm như này:
Gọi giao điểtm là [tex]A\left ( a;\frac{1}{2} a^2\right );B\left ( b;\frac{1}{2} b^2\right )[/tex]
Xét pt: [tex]OA^2+OB^2=AB^2\Leftrightarrow a^2+\frac{1}{4}a^2+b°^2+\frac{1}{4}b^2=(a-b)^2+\frac{1}{4}(a^2-b^2)^2\Leftrightarrow 4ab+a^2b^2=0[/tex]
Vì a, b là nghiệm của pt hoành độ giao điểm nên thay Viet vào ta đc: 4.(-4)+4²=0 (luôn đúng)
=> OA²+OB²=AB² là đúng
=> đpcm

bạn có thể làm theo cách của songnguyen05 được không? chi tiết lời giải nhé cảm ơn bài làm của bạn

 

[Ngoc Anhs]

bạn có thể làm theo cách của songnguyen05 được không? chi tiết lời giải nhé cảm ơn bài làm của bạn

Cũng gọi tọa độ A, B như trên
(OA): [tex]y=\frac{1}{2}ax;(OB):y=\frac{1}{2}by[/tex]
Xét a.a'=[tex]\frac{1}{4}[/tex]ab
Thay Viet vào ta đc: a.a'= -1
=> OA_|_OB
=> đpcm

 

[Lê Trang 123]

Nếu bạn chưa học cách viết phương trình đường thẳng thì làm như này:
Gọi giao điểtm là [tex]A\left ( a;\frac{1}{2} a^2\right );B\left ( b;\frac{1}{2} b^2\right )[/tex]
Xét pt: [tex]OA^2+OB^2=AB^2\Leftrightarrow a^2+\frac{1}{4}a^2+b°^2+\frac{1}{4}b^2=(a-b)^2+\frac{1}{4}(a^2-b^2)^2\Leftrightarrow 4ab+a^2b^2=0[/tex]
Vì a, b là nghiệm của pt hoành độ giao điểm nên thay Viet vào ta đc: 4.(-4)+4²=0 (luôn đúng)
=> OA²+OB²=AB² là đúng
=> đpcm

Ở cách đầu tiên bạn có thể làm lại được không? hình như [tex]\frac{1}{4}a^{2}[/tex] phải là [tex]\frac{1}{4}a^{4}[/tex] mới đúng chứ phải không?

 

[Lê Trang 123]

Cũng gọi tọa độ A, B như trên
(OA): [tex]y=\frac{1}{2}ax;(OB):y=\frac{1}{2}by[/tex]
Xét a.a'=[tex]\frac{1}{4}[/tex]ab
Thay Viet vào ta đc: a.a'= -1
=> OA_|_OB
=> đpcm

Tại sao lại biết được (OA): y =[tex]\frac{1}{2}[/tex] ax và (OB):y = [tex]\frac{1}{2}[/tex]by

 

[Ngoc Anhs]

Tại sao lại biết được (OA): y =[tex]\frac{1}{2}[/tex] ax và (OB):y = [tex]\frac{1}{2}[/tex]by

(OA) đi qua O nên có dạng y=mx (m là tham số cần tìm)
Mà (OA) đi qua A=> thay tọa độ A vào sẽ đc pt (OA) như mình viết!