Toán 11 Tìm tọa độ B,C,D

[Võ Hà My]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn đường kính BD. Gọi H,K lần lượt là hình chiếu của A trên BD và CD. Biết A(4,6), phương trình của HK: 3x-4y-4=0, điểm C thuộc đường thẳng d1: x+y-2=0, điểm B thuộc đường thẳng d2: x-2y-2=0 và điểm K có hoành độ nhỏ hơn 1. Tìm tọa độ các điểm B,C, D
@Tiến Phùng @iceghost @zzh0td0gzz

 

[iceghost]

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn đường kính BD. Gọi H,K lần lượt là hình chiếu của A trên BD và CD. Biết A(4,6), phương trình của HK: 3x-4y-4=0, điểm C thuộc đường thẳng d1: x+y-2=0, điểm B thuộc đường thẳng d2: x-2y-2=0 và điểm K có hoành độ nhỏ hơn 1. Tìm tọa độ các điểm B,C, D
@Tiến Phùng @iceghost @zzh0td0gzz

Một môt hình khá quen thuộc: Đường thẳng Simson Bạn có thể tham khảo thêm để biết các tính chất của nó. Ở đây mình chỉ nêu 1 tính chất: Do $C$ là trực tâm của $\triangle{BCD}$ nên $HK$ chia đôi $AC$.

Chứng minh lại như sau: $HK$ cắt $BC$ tại $I$ thì $\widehat{AKH} = \widehat{ADH} = \widehat{ACI}$ (các tứ giác nội tiếp) nên $AICK$ là tứ giác nội tiếp. Từ đó $\widehat{AIC} = 90^\circ$ hay $AICK$ cũng là hình chữ nhật, vậy $IK$ chia đôi $AC$.

Từ đó, gọi $C(c, 2 - c)$ thì trung điểm của $AC$ thuộc $HK$ hay $3 \cdot \dfrac{4 + c}2 - 4 \cdot \dfrac{2 - c + 6}2 - 4 = 0$ hay $c = 4$ hay $C(4, -2)$

Có $A$, $C$ ta viết được đường tròn đường kính $AC$: $(x - 4)^2 + (y-2)^2 = 64$

Do $I$, $K$ cũng thuộc đường tròn này nên tọa độ chúng là nghiệm của hệ $\begin{cases} (x-4)^2 + (y-2)^2 = 64 \\ 3x - 4y-4 = 0 \end{cases}$

Giải hệ: pt1 $\iff (4y-8)^2 + 9(y-2)^2 = 9 \cdot 64$ (nhân 9 hai vế rồi dùng $3x = 4y + 4$)
$\iff 25(y-2)^2 = 9 \cdot 64$
$\iff 5(y-2) = 24 \vee 5(y-2) = -24$
$\iff y = \dfrac{34}5 \vee y = \dfrac{-14}5$

Do hoành độ của $K$ nhỏ hơn 1 nên $K(-\dfrac{12}5 , -\dfrac{14}5)$ và $I(\dfrac{52}5 , \dfrac{34}5)$

Có $I$, $K$, bạn tự tìm tọa độ $B$ và $D$ nhé Cảm ơn bạn!