Toán 8 Cho đa thức bậc 2: P(x)=ax^2+bx+c. CMR nếu f(x) có giá trị nguyên khi x lấy giá trị nguyên bất kì th

[Uchiha Sasuri]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho đa thức bậc 2: P(x)=ax^2+bx+c. CMR nếu f(x) có giá trị nguyên khi x lấy giá trị nguyên bất kì thì các số thực 2a, a+b và c đều là các số nguyên và ngược lại.

 

[Quân (Chắc Chắn Thế)]

Lâu rồi chưa làm bài đa thức
Ta có:[tex]f(0)=c[/tex]
[tex]f(1)=a+b+c[/tex]
[tex]f(-1)=a-b+c[/tex]
Theo đề bài vì f(x) nguyên => c nguyên
Ta lấy [tex]f(1)+f(-1)=2(a+c)[/tex]
Theo đề bài vì f(1) và f(-1) nguyên => 2(a+c) nguyên
mà c nguyên hay 2c nguyên => 2a nguyên
Ta có f(1)=a+b+c nguyên
mà c nguyên
=> a+b nguyên

 

[nhatminh1472005]

Cho đa thức bậc 2: P(x)=ax^2+bx+c. CMR nếu f(x) có giá trị nguyên khi x lấy giá trị nguyên bất kì thì các số thực 2a, a+b và c đều là các số nguyên và ngược lại.

Vì [tex]P(x)\in \mathbb{Z}[/tex] với giá trị nguyên bất kỳ của x nên ta lấy 3 giá trị của x là -1; 0; 1.

• Với x = 0 thì [tex]P(x)=P(0)=a.0^2+b.0+c=c[/tex]. Vì [tex]P(0)\in \mathbb{Z}[/tex] nên [tex]c\in \mathbb{Z}[/tex].
• Với x = 1 thì [tex]P(x)=P(1)=a.1^2+b.1+c=a+b+c[/tex]. Vì [tex]P(1)\in \mathbb{Z}[/tex] nên [tex]a+b+c\in \mathbb{Z}[/tex].

Mà [tex]c\in \mathbb{Z}[/tex] [tex]\Rightarrow (a+b+c)-c=a+b\in \mathbb{Z}[/tex].​

• Với x = -1 thì [tex]P(x)=P(-1)=a.(-1)^2+b.(-1)+c=a-b+c[/tex]. Vì [tex]P(-1)\in \mathbb{Z}[/tex] nên [tex]a-b+c\in \mathbb{Z}[/tex].

Mà [tex]c\in \mathbb{Z}[/tex] [tex]\Rightarrow (a-b+c)-c=a-b\in \mathbb{Z}[/tex].
Vì [tex]a+b\in \mathbb{Z} \Rightarrow (a+b)+(a-b)=2a\in \mathbb{Z}[/tex].
​

 

[0984916648]

[tex]P(x)=a^x+bx+c[/tex]
Ta thấy [tex]P(0)=c [tex]P(1)=a+b+c[/tex]
[tex]P(-1)=a-b-c[/tex]
Do [tex]P(x)[/tex] nguyên với mọi [tex]x[/tex] x nguyên nên [tex]P(0)=c[/tex] nguyên
Mặt khác[tex]2(a+c)=P(1)+P(-1)[/tex] thuộc Z[tex]\to 2a[/tex] là số nguyên
P(1) nguyên ,c nguyên nên a+b nguyên
Ta có : [tex]P(x)=2ax^2+2(a+b)x+2c-2ax (1)[/tex]
Nhận thấy VP(1) chẵn với mọi x nguyên và a+b ,2a,c nguyên[tex]\rightarrow[/tex]Đpcm[/tex]