Toán 8 Chia hết

[Tungtom]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho [tex]a_{1},a_{2},...,a_{n}\epsilon Z.[/tex]. Chứng minh rằng nếu: [tex]\sum_{i=1}^{n}a_{1}\vdots 30[/tex] thì [tex]\sum_{i=1}^{n}a_{i}^5\vdots 30[/tex].
Cảm ơn rât nhiều

 

[Lành Cao Phong]

Ta có: [TEX]φ(30)=30.(1-\frac{1}{2}).(1-\frac{1}{3}).(1-\frac{1}{5})=2[/TEX]
Áp dụng định lí Euler, ta có: [TEX]a_{1}^2\equiv 1[/TEX] (mod 30)
[TEX]\Leftrightarrow a_{1}^4\equiv 1[/TEX] (mod 30)
[TEX]\Leftrightarrow a_{1}^5\equiv a_{1}[/TEX] (mod 30)
Chứng minh tương tự với các số còn lại.
[TEX]\Rightarrow a_{1}^5+a_{2}^5+...+a_{n}^5\equiv a_{1}+a_{2}+...+a_{n}\equiv 0[/TEX] (mod 30)
Vậy [TEX]a_{1}^5+a_{2}^5+...+a_{n}^5[/TEX] chia hết cho 30 khi [TEX]a_{1}+a_{2}+...+a_{n}[/TEX] chia hết cho 30.

 

[Tungtom]

Ta có: [TEX]φ(30)=30.(1-\frac{1}{2}).(1-\frac{1}{3}).(1-\frac{1}{5})=2[/TEX]
Áp dụng định lí Euler, ta có: [TEX]a_{1}^2\equiv 1[/TEX] (mod 30)
[TEX]\Leftrightarrow a_{1}^4\equiv 1[/TEX] (mod 30)
[TEX]\Leftrightarrow a_{1}^5\equiv a_{1}[/TEX] (mod 30)
Chứng minh tương tự với các số còn lại.
[TEX]\Rightarrow a_{1}^5+a_{2}^5+...+a_{n}^5\equiv a_{1}+a_{2}+...+a_{n}\equiv 0[/TEX] (mod 30)
Vậy [TEX]a_{1}^5+a_{2}^5+...+a_{n}^5[/TEX] chia hết cho 30 khi [TEX]a_{1}+a_{2}+...+a_{n}[/TEX] chia hết cho 30.

Anh ơi lớp 8 học định lí euler chưa thế? Mà cái biểu tượng [tex]\varphi[/tex] này có nghĩa là gì?

 

[7 1 2 5]

Dễ chứng minh được [tex]x^5-x\vdots 30[/tex] với mọi x nguyên.
[tex]\Rightarrow \sum_{i=1}^{n}a_i^5-\sum_{i=1}^{n}a_i\vdots 30[/tex]
Mà [tex]\sum_{i=1}^{n}a_i\vdots 30\Rightarrow \sum_{i=1}^{n}a_i^5\vdots 30[/tex]

 

[shorlochomevn@gmail.com]

Cho [tex]a_{1},a_{2},...,a_{n}\epsilon Z.[/tex]. Chứng minh rằng nếu: [tex]\sum_{i=1}^{n}a_{1}\vdots 30[/tex] thì [tex]\sum_{i=1}^{n}a_{i}^5\vdots 30[/tex].
Cảm ơn rât nhiều

-Xét x^5-x = x.(x^4-1)=x.(x^2-1).(x^2+1)= (x-1).x.(x+1).(x^2-4+5)=(x-2).(x-1).x.(x+1).(x+2)+5.(x-1).x.(x+1)
(x-1).x.(x+1) là tích 3 số nguyên liên tiếp => chia hết cho 3!=6 => 5.... chia hết...
lại có: (x-2).(x-1).x.(x+1).(x+2) là tích 5 số nguyên liên tiếp => chia hết cho 5! => chia hết 30...
CMTT cộng các vế có: kết hợp giả thiết có đpcm

 

[Lành Cao Phong]

Dễ chứng minh được [tex]x^5-x\vdots 30[/tex] với mọi x nguyên.
[tex]\Rightarrow \sum_{i=1}^{n}a_i^5-\sum_{i=1}^{n}a_i\vdots 30[/tex]
Mà [tex]\sum_{i=1}^{n}a_i\vdots 30\Rightarrow \sum_{i=1}^{n}a_i^5\vdots 30[/tex]

Anh ơi lớp 8 học định lí euler chưa thế? Mà cái biểu tượng [tex]\varphi[/tex] này có nghĩa là gì?

Đúng thật, bài này đơn giản vậy mà mình cứ phức tạp hóa lên nhỉ :v Làm theo cách của Mộc Nhãn vừa nhanh lại dễ hiểu

 

[7 1 2 5]

Đúng thật, bài này đơn giản vậy mà mình cứ phức tạp hóa lên nhỉ :v

Bài này xuất phát từ 1 bài tập đơn giản thôi