Toán 7 Xác định vị trí của M để chu vi tam giác MNP nhỏ nhất

[Lê Tự Đông]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho tam giác ABC đều. Lấy M trên BC. Vẽ E đối xứng với M qua AB, F đối xứng với M qua AC. EF cắt AB, AC lần lượt tại N và P. Xác định vị trí của M để chu vi tam giác MNP nhỏ nhất.

 

[lengoctutb]

Cho tam giác ABC đều. Lấy M trên BC. Vẽ E đối xứng với M qua AB, F đối xứng với M qua AC. EF cắt AB, AC lần lượt tại N và P. Xác định vị trí của M để chu vi tam giác MNP nhỏ nhất.

Đặt $AB=BC=CA=a$ $($không đổi$)$ và $BM=x$ $($$0\leq x \leq a$$)$
$ME$ cắt $AB$ tại $H$$,$ $MF$ cắt $AC$ tại $K \Leftrightarrow ME, MF$ lần lượt vuông góc với $AB, AC$ tại $H, F$
Dễ dàng chứng minh được $:$ $NE=EM$$,$ $PM=PF$ và $\Delta AEF$ cân tại $A$ có $\widehat{EAF}=120^{\circ}$$.$ Khi đó$,$ ta có $:$ $P_{MNP}=EF$
$MH=BM.sin60^{\circ}=\frac{x\sqrt{3}}{2}$$,$ $BH=BM.cos60^{\circ}=\frac{x}{2} \Rightarrow HA=AB-BH=a-\frac{x}{2}$
$AE=AF=\sqrt{\frac{3x^{2}}{4}+(a-\frac{x}{2})^{2}}=\sqrt{x^{2}-ax+a^{2}}$
$EF=2AE.cos60^{\circ}=\sqrt{3}\sqrt{x^{2}-ax+a^{2}}=\sqrt{3}\sqrt{(x-\frac{a}{2})^{2}+\frac{3a^{2}}{4}}\geq \frac{3a}{2}$
Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow x=\frac{a}{2} \Leftrightarrow M$ là trung điểm $BC$

 

[Vũ Lan Anh]

Cho tam giác ABC đều. Lấy M trên BC. Vẽ E đối xứng với M qua AB, F đối xứng với M qua AC. EF cắt AB, AC lần lượt tại N và P. Xác định vị trí của M để chu vi tam giác MNP nhỏ nhất.

do E đx với M qua AB=>NE=NM
do F đx với M qua AC=>MP=PF
suy ra Smnp=EF
Smnp nhỏ nhất khi EF nhỏ nhất
từ E,F hạ đường vuông góc xuống BC tại I,K =>EF nhỏ nhất khi EF vuông góc với FK
=>EF//BC=>NP//BC=>ANP=APN=60; AN=AP=>BN=CP(1)
lại có ENB=ANP(đối đỉnh)=BNM ( e đx với M qua AB)
*t/g BMN:B=BNM=60=>t/g BNM đều=>BN=BM
cmtt=>t/g CPM đều=>CM=CP(2)
từ 1 và 2 suy ra BM=MC=1/2BC=>M là tđ BC

View attachment 119484
Đặt $AB=BC=CA=a$ $($không đổi$)$ và $BM=x$ $($$0\leq x \leq a$$)$
$ME$ cắt $AB$ tại $H$$,$ $MF$ cắt $AC$ tại $K \Leftrightarrow ME, MF$ lần lượt vuông góc với $AB, AC$ tại $H, F$
Dễ dàng chứng minh được $:$ $NE=EM$$,$ $PM=PF$ và $\Delta AEF$ cân tại $A$ có $\widehat{EAF}=120^{\circ}$$.$ Khi đó$,$ ta có $:$ $P_{MNP}=EF$
$MH=BM.sin60^{\circ}=\frac{x\sqrt{3}}{2}$$,$ $BH=BM.cos60^{\circ}=\frac{x}{2} \Rightarrow HA=AB-BH=a-\frac{x}{2}$
$AE=AF=\sqrt{\frac{3x^{2}}{4}+(a-\frac{x}{2})^{2}}=\sqrt{x^{2}-ax+a^{2}}$
$EF=2AE.cos60^{\circ}=\sqrt{3}\sqrt{x^{2}-ax+a^{2}}=\sqrt{3}\sqrt{(x-\frac{a}{2})^{2}+\frac{3a^{2}}{4}}\geq \frac{3a}{2}$
Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow x=\frac{a}{2} \Leftrightarrow M$ là trung điểm $BC$

lớp 7 đã học tới sin,cos đâu ạ?

 

[Lê Tự Đông]

do E đx với M qua AB=>NE=NM
do F đx với M qua AC=>MP=PF
suy ra Smnp=EF
Smnp nhỏ nhất khi EF nhỏ nhất
từ E,F hạ đường vuông góc xuống BC tại I,K =>EF nhỏ nhất khi EF vuông góc với FK
=>EF//BC=>NP//BC=>ANP=APN=60; AN=AP=>BN=CP(1)
lại có ENB=ANP(đối đỉnh)=BNM ( e đx với M qua AB)
*t/g BMN:B=BNM=60=>t/g BNM đều=>BN=BM
cmtt=>t/g CPM đều=>CM=CP(2)
từ 1 và 2 suy ra BM=MC=1/2BC=>M là tđ BC

lớp 7 đã học tới sin,cos đâu ạ?

Mình chưa hiểu chỗ EF nhỏ nhất khi EF vuông góc với KF. Bạn có thể chỉ rõ giúp mình không?

 

[lengoctutb]

do E đx với M qua AB=>NE=NM
do F đx với M qua AC=>MP=PF
suy ra Smnp=EF
Smnp nhỏ nhất khi EF nhỏ nhất
từ E,F hạ đường vuông góc xuống BC tại I,K =>EF nhỏ nhất khi EF vuông góc với FK
=>EF//BC=>NP//BC=>ANP=APN=60; AN=AP=>BN=CP(1)
lại có ENB=ANP(đối đỉnh)=BNM ( e đx với M qua AB)
*t/g BMN:B=BNM=60=>t/g BNM đều=>BN=BM
cmtt=>t/g CPM đều=>CM=CP(2)
từ 1 và 2 suy ra BM=MC=1/2BC=>M là tđ BC

lớp 7 đã học tới sin,cos đâu ạ?

Bạn nói mình mới để ý tới lớp $7$

 

[7 1 2 5]

Mình chưa hiểu chỗ EF nhỏ nhất khi EF vuông góc với KF. Bạn có thể chỉ rõ giúp mình không?

Cái này là quan hệ giữa đường xiên và đường vuông góc. Trong các đường kẻ từ 1 điểm tới 1 đường thẳng thì đường vuông góc là đường nhỏ nhất.