Bài 1:
1. với x=9 thỏa điều kiện đã cho
[tex]A=\frac{4(\sqrt{9}+1)}{25-9}=\frac{16}{16}=1[/tex]
2. với điều kiện đã cho, ta có:
[tex]B=\left ( \frac{15-\sqrt{x}}{x-25}+\frac{2}{\sqrt{x}+5} \right )\div \frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-5}=\left ( \frac{15-\sqrt{x}}{x-25}+\frac{2.(\sqrt{x}-5)}{(\sqrt{x}+5)(\sqrt{x}-5)} \right )\div \frac{(\sqrt{x}+1)(\sqrt{x}+5)}{(\sqrt{x}-5)(\sqrt{x}+5)}=\left ( \frac{15-\sqrt{x}}{x-25}+\frac{2(\sqrt{x}-5)}{x-25} \right )\div \frac{x+6\sqrt{x}+5}{x-25}=\frac{\sqrt{x}+5}{x-25}\div \frac{x+6\sqrt{x}+5}{x-25}=\frac{\sqrt{x}+5}{x+6\sqrt{x}+5}=\frac{1}{\sqrt{x}+1}[/tex]
3. ta có: [tex]P=A.B=\frac{4(\sqrt{x}+1)}{25-x}.\frac{1}{\sqrt{x}+1}=\frac{4}{25-x}[/tex]
để P la giá trị nguyên thì [tex](25-x)[/tex] là ước của 4. mặt khác để P đạt giá trị nguyên lớn nhất thì [tex](25-x)[/tex] là ước nhỏ nhất là 1.
vậy [tex]25-x=1<=>x=24[/tex].
vậy x=24 thỏa mãn.
Bài 2:
1. gọi [tex]x,y[/tex] lần lượt là số ngày làm việc của 2 đội để hoàn thành công việc [tex](x,y>0)[/tex]
[tex]\frac{1}{x},\frac{1}{y}[/tex] lần lượt là phần công việc mỗi đội làm trong một ngày.
theo đề bài ta có HPT: [tex]\left\{\begin{matrix} \frac{15}{x}+\frac{15}{y}=1\\ \frac{3}{x}+\frac{5}{y}=\frac{1}{4} \end{matrix}\right. <=>\left\{\begin{matrix} \frac{1}{x}=\frac{1}{24}\\ \frac{1}{y}=\frac{1}{40} \end{matrix}\right. <=>\left\{\begin{matrix} x=24\\ y=40 \end{matrix}\right.[/tex]
vậy đội thứ nhất cần 24 ngày và đội thứ 2 cần 40 ngày.
2. thể tích của bồn nước là:
[tex]V=S.h=0,32.1,75=0,56m^3[/tex]
vậy bồn chứa được [tex]0,56m^3[/tex] nước.
Bài 3:
1. [tex]x^4-7x^2-18=0[/tex]
[tex]<=>x^4-9x^2+2x^2-18=0[/tex]
[tex]<=>x^2(x^2-9)+2(x^2-9)=0[/tex]
[tex]<=>(x^2+2)(x^2-9)=0[/tex]
[tex]<=>x^2=-2\vee x^2=9[/tex]
phương trình [tex]x^2=-2[/tex] vô nghiệm
[tex]x^2=9<=>x=\pm 3[/tex]
2. [tex]d:y=2mx-m^2+1[/tex] và [tex](P):y=x^2[/tex]
a. phương trình hoành độ giao điểm: [tex]x^2-2mx+m^2-1=0 (*)[/tex]
[tex]\Delta '=m^2-(m^2-1)=1> 0[/tex]
do đó d luôn cắt (P) tại 2 điểm phân biệt.
b. gọi [tex]x_1, x_2[/tex] là 2 nghiệm phân biệt của phương trình [tex](*)[/tex] .
theo định lý vi-et: [tex]\left\{\begin{matrix} x_1+x_2=2m\\ x_1x_2=m^2-1 \end{matrix}\right.[/tex]
giả thiết [tex]<=>\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=-\frac{2}{x_1x_2}+1<=>\frac{x_1+x_2}{x_1x_2}=\frac{-2}{x_1x_2}+1<=>\frac{2m}{m^2-1}+\frac{2}{m^2-1}=1<=>\frac{2}{m-1}=1<=>m=3[/tex]
vậy, giá trị thỏa mãn là m=3.
Bài 4:
a. do [tex]\widehat{BFC}=\widehat{BEC}=90^o[/tex] nên [tex]BFEC[/tex] nội tiếp.
b. kẻ đường kính AJ thì [tex]\widehat{ACJ}=90^o[/tex]
khi đó [tex]\widehat{OAC}=90^o-\widehat{AJC}=90^o-\widehat{ABC}=90^o-\widehat{AEF}[/tex] nên [tex]AO$\perp$EF[/tex]
c. H là trực tâm [tex]\Delta ABC[/tex]
suy ra [tex]AH$\perp$BC[/tex]
do đó [tex]\widehat{EAP}=90^o-\widehat{ACB}=90^o-\widehat{AEF}=\widehat{BAI}[/tex]
lại có [tex]\widehat{AEP}=\widehat{ABI}[/tex] nên [tex]\Delta APE\sim \Delta AIB[/tex] (g-g)
suy ra [tex]\frac{AP}{AI}=\frac{AE}{AB}(1)[/tex]
ngoài ra ta còn có [tex]\widehat{EAH}=\widehat{BAJ}[/tex], mà do [tex]\widehat{AEH}=\widehat{ABJ}=90^o[/tex] nên [tex]\Delta AEH\sim\Delta ABJ[/tex] (g-g)
suy ra [tex]\frac{AH}{AJ}=\frac{AE}{AB}(2)[/tex]
từ (1) và (2) suy ra [tex]\frac{AP}{AI}=\frac{AH}{AJ}[/tex] hay [tex]PI//HJ(*)[/tex]
do CJ vuông góc AC và BH vuông AC nên [tex]CJ//BH[/tex]
tương tự [tex]BJ//CH[/tex], suy ra BHCJ là hình bình hành.
do đó K là trung điểm BC, cũng là trung điểm HJ.
vậy từ (*) suy ra [tex]PI//HK[/tex]
Bài 5:
[tex]ab\geq -\frac{(a^2+b^2)}{2}[/tex]
[tex]=>3=a^2+b^2+ab\geq a^2+b^2-\frac{a^2+b^2}{2}=\frac{a^2+b^2}{2}[/tex]
[tex]=>6\geq a^2+b^2[/tex]
đặt [tex]a^2+b^2=x[/tex]
ta có: [tex](a^4+b^4)-ab=(a^2+b^2)^2-2a^2b^2-ab=x^2-2(3-x)^2-(3-x)=-x^2+13x-21=-(x-\frac{13}{2})^2+\frac{85}{4}\leq -(6-\frac{13}{2})^2+\frac{85}{4}=21[/tex]
dấu "=" xảy ra khi [tex]\left\{\begin{matrix} a^2+b^2=6\\ ab=-3 \end{matrix}\right. <=>\left\{\begin{matrix} a=\sqrt{3}\\ b=-\sqrt{3} \end{matrix}\right.[/tex] hoặc [tex]\left\{\begin{matrix} a=-\sqrt{3}\\ b=\sqrt{3} \end{matrix}\right.[/tex]
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
