Đáp án chi tiết từng câu
Câu 1:
[tex]a^3+b^2=a^2b^2(ab-3)[/tex]
<=>[TEX](a+b)^3-3ab(a+b)=a^3b^3-3a^2b^2[/TEX]
<=>[TEX](a+b)^3-a^3b^3=3ab(a+b)-3a^2b^2[/TEX]
<=>[TEX](a+b-ab)[(a+b)^2+ab(a+b)+a^2b^2]=3ab(a+b-ab)[/TEX]
<=>[TEX]a+b-ab=0[/TEX] hoặc [TEX](a+b)^2+ab(a+b)+a^2b^2=3ab[/TEX]
Với [TEX]a+b-ab=0[/TEX] thì T=0
Xét [TEX](a+b)^2+ab(a+b)+a^2b^2-3ab=0[/TEX]
<=>[TEX](b^2+b+1)a^2+(b^2-b)a+b^2=0[/TEX]
[tex]\Delta =-3b^2(b+1)^2[/tex]
Nếu b khác 0 hoặc -1 thì pt vô nghiệm
Nếu b=0 thì từ pt có a=0 => T=0
Nếu b=-1 thì từ pt có a=-1 => T=-3
Vậy T=0 hoặc T=-3
Câu 2:
Xét: [TEX]P(c_1)+Q(c_1)=P(c_2)+Q(c_2)[/TEX]
<=>[TEX](m_1+m_2)(c_1+c_2)(c_1-c_2)+(c_1-c_2)(n_1+n_2)=0[/TEX]
<=>[TEX](c_1-c_2)[(m_1+m_2)(c_1+c_2)+n_1+n_2]=0[/TEX]
Do [TEX]c_1 \neq c_2[/TEX] nên pt <=> [TEX](m_1+m_2)(c_1+c_2)+n_1+n_2=0[/TEX]
=> [tex]c_1+c_2=-\frac{n_1+n_2}{m_1+m_2}(1)[/tex]
Tương tự với 2 dữ kiện còn lại, ta cũng có: [tex]b_1+b_2=-\frac{n_1+n_3}{m_1+m_3}(2);a_1+a_2=-\frac{n_2+n_3}{m_2+m_3}(3)[/tex]
Theo Vi-ét:
[tex]c_1+c_2=\frac{-n_3}{m_3}[/tex]
Từ (1) , áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có: [tex]\frac{n_1}{m_1}=\frac{n_2+n_3}{m_2+m_3}=\frac{n_1+n_2+n_3}{m_1+m_2+m_3}[/tex]
Áp dụng tương tự ta có:
[tex]\frac{n_1}{m_1}=\frac{n_2}{m_2}=\frac{n_3}{m_3}=\frac{n_1+n_2+n_3}{m_1+m_2+m_3}[/tex]
=> Ta có điều phải chứng minh
Câu 3 :
1.[TEX]x^2y^2-4x^2y+y^3+4x^2-3y^2+1=0[/TEX]
<=>[TEX]x^2(y^2-4y+4)+y^3-2y^2+1=0[/TEX]
<=>[TEX]x^2(y-2)^2=-y^3+3y^2-1[/TEX]
<=>[TEX]x^2(y-2)^2=-y(y-2)^2-(y-2)^2+3[/TEX]
<=>[TEX](y-2)^2(x^2+y+1)=3[/TEX]
Do x,y nguyên nên [TEX](y-2)^2=1[/TEX] và [TEX]x^2+y+1=3[/TEX]
Vậy pt có các cặp nghiệm nguyên (x;y): (-1;1) , (1;1)
2. Ta có [TEX]a^3+b^3+c^3[/TEX] chia hết cho 2 và 7
+ Giả sử 3 số a,b,c không có số nào chia hết cho 2 thì [TEX]a^3+b^3+c^3=1(mod2)[/TEX] ( vô lí)
Vậy có ít nhất 1 trong 3 số a,b,c chia hết cho 2, hay abc chia hết cho 2.
+ Giả sử 3 số a,b,c không có số nào chia hết cho 7 thì ta có: [TEX]a^3,b^3,c^3= +-1(mod 7)[/TEX] (vô lý)
Suy ra: [tex]a^3+b^3+c^3=\pm 1,\pm 3(mod7)[/tex] ( vô lý)
Vậy có ít nhất 1 trong 3 số nguyên a,b,c chia hết cho 7. Hay a.b.c chia hết cho 7
Vậy ta được điều phải chứng minh
Câu 4:
1.
[tex]\widehat{AEB}=\widehat{AFB}=\widehat{ADB}[/tex] => A,E,F,D,B thuộc đường tròn đường kính AB
Từ đó, kết hợp [tex]\Delta AOB[/tex] cân tại O => [tex]\widehat{CDF}=\widehat{BAF}=90^o-\frac{1}{2}\widehat{ACB}=\widehat{CBE}[/tex]
=> DF//BE
Vậy BDFE là hình thang cân
2. Gọi EF cắt BD tại I . Do BDFE là hình thang cân nên có: [tex]\widehat{IBE}=\widehat{IEB}[/tex] nên tam giác IBE cân tại I
=>IB=IE
Lại có: [tex]\widehat{IEC}=90^o-\widehat{IEB}=90^o-\widehat{IBE}=\widehat{ICE}[/tex] nên tam giác IEC cân tại I => IE=IC
Vậy IB=IC nên I là trung điểm BC
3. Ta có: [tex]\widehat{PBC}=\widehat{PAC}=\widehat{PBE}[/tex] và
[tex]\widehat{PCB}=\widehat{PAB}=\widehat{PEB}[/tex] nên [tex]\Delta PBC\sim \Delta FBE(g-g)[/tex]
Từ đó suy ra: [tex]\frac{BC}{BE}=\frac{PC}{FE}=\frac{ME}{NC}[/tex]
Suy ra: [tex]\Delta NBC\sim \Delta MBE(c-g-c)[/tex]
Do đó: [tex]\frac{BN}{BM}=\frac{BC}{BE}[/tex]
Ngoài ra ta có: [tex]\widehat{NBC}=\widehat{MBE}=>\widehat{NBM}=\widehat{CBE}[/tex]
Vậy [tex]\Delta NBM\sim \Delta CBE(c-g-c)=> \widehat{BMN}=\widehat{BEC}=90^o[/tex]
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
