Toán 9 Hình học phẳng nâng cao

[Hà Thế Bình]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Bài 1:
Cho tam giác ABC biết góc [tex]\widehat{ABC}[/tex]=[tex]45^{\circ}[/tex], góc [tex]\widehat{ACB}= 60^{\circ}[/tex] và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC bằng R (R>0). Tính diện tích tam giác ABC theo R.
Bài 2:
Cho tam giác ABC vuông tại A, AD là phân giác trong của góc [tex]\widehat{A}[/tex] (D nằm trên cạnh BC); BB', CC' cùng vuông góc với AD (B', C' nằm trên tia AD). Chứng minh:
[tex]AD\leq \frac{BB'+CC'}{2}[/tex]

 

[tieutukeke]

Bài 1:
Trước hết ta chứng minh hệ thức hàm sin:
Từ A dựng AH vuông góc BC. Ta có
sinB=AH/AB
sinC=AH/AC
Chia vế cho vế, ta được sinB/sinC=AC/AB=> AC/sinB = AB/sinC
Chứng minh tương tự, ta được AC/sinB=BC/sinA
=>AB/sinC=AC/sinB=BC/sinA (1)

Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp ABC, do ABC có 3 góc nhọn => O nằm bên trong ABC.
Nối A với O cắt đường tròn tại D, ta có góc ADB = góc ACB (hai góc nội tiếp cùng chắn AB)
=>sinADB = sinACB (ACB chính là góc C)
Mà AD là đường kính =>tam giác ABD vuông tại B
=>sinADB = AB/AD = AB/2R
=>sinC=sinADB=AB/2R
=>AB/sinC = 2R (2)

Từ (1) và (2) => AB/sinC=AC/sinB=BC/sinA=2R

=>AB=2RsinC, AC=2RsinB, BC=2RsinA

Trong tam giác vuông AHB: AH = AB.sinB=2RsinC.sinB
=> Diện tích tam giác ABC = (1/2).AH.BC=(1/2).2RsinBsinC.2RsinA = (căn6/2).R^2.sin75

The end.

 

[tieutukeke]

Tiện làm nốt cho bài 2
Không làm mất tính tổng quát, giả sử góc B<=C suy ra AC<=AB và C>=45 độ, B<=45

+/Từ D kẻ lần lượt 2 tia vuông góc AB, AC, giả sử cắt AB, AC tại I, K =>AIDK là hình vuông
=>BD=DI/sinB, CD=DI/cosB, do B<=45 suy ra sinB<=cosB suy ra BD>=CD (1)

+/Dễ dàng nhận thấy CC'A và BB'A đều vuông cân
=>CC'=AC' và BB'=AB'
=>BB'+CC'=AC'+AB'=AD-DC' + AD+DB' (Do góc C lớn hơn hoặc bằng 45=>góc C lớn hơn hoặc bằng C'CA=45 =>C' nằm giữa A và D, tương tự với D và AB')
=>BB'+CC'=2AD+(DB'-DC') (2)

Ta có góc DCC' = DBB' (3) (góc có cạnh tương ứng song song, do BB' và CC" cùng vuông góc AD nên song song)
Mà DC'=CD.sinDCC', DB'=BD.sinDBB' (4)

Từ (1), (3), (4) ta suy ra DB'>=DC' suy ra DB'-DC'>=0 (5)

Từ (2) và (5) suy ra 2AD<=BB'+CC' hay AD<=(BB'+CC')/2

 

[Hà Thế Bình]

Tiện làm nốt cho bài 2
Không làm mất tính tổng quát, giả sử góc B<=C suy ra AC<=AB và C>=45 độ, B<=45

+/Từ D kẻ lần lượt 2 tia vuông góc AB, AC, giả sử cắt AB, AC tại I, K =>AIDK là hình vuông
=>BD=DI/sinB, CD=DI/cosB, do B<=45 suy ra sinB<=cosB suy ra BD>=CD (1)

+/Dễ dàng nhận thấy CC'A và BB'A đều vuông cân
=>CC'=AC' và BB'=AB'
=>BB'+CC'=AC'+AB'=AD-DC' + AD+DB' (Do góc C lớn hơn hoặc bằng 45=>góc C lớn hơn hoặc bằng C'CA=45 =>C' nằm giữa A và D, tương tự với D và AB')
=>BB'+CC'=2AD+(DB'-DC') (2)

Ta có góc DCC' = DBB' (3) (góc có cạnh tương ứng song song, do BB' và CC" cùng vuông góc AD nên song song)
Mà DC'=CD.sinDCC', DB'=BD.sinDBB' (4)

Từ (1), (3), (4) ta suy ra DB'>=DC' suy ra DB'-DC'>=0 (5)

Từ (2) và (5) suy ra 2AD<=BB'+CC' hay AD<=(BB'+CC')/2

Cảm ơn bạn

 

[mỳ gói]

Bài 1:
Cho tam giác ABC biết góc [tex]\widehat{ABC}[/tex]=[tex]45^{\circ}[/tex], góc [tex]\widehat{ACB}= 60^{\circ}[/tex] và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC bằng R (R>0). Tính diện tích tam giác ABC theo R.
Bài 2:
Cho tam giác ABC vuông tại A, AD là phân giác trong của góc [tex]\widehat{A}[/tex] (D nằm trên cạnh BC); BB', CC' cùng vuông góc với AD (B', C' nằm trên tia AD). Chứng minh:
[tex]AD\leq \frac{BB'+CC'}{2}[/tex]

bài 1 phài dài tới vậy sao ????/
làm theo cách của @hdiemht
hay hơn.

Bài 1:
Trước hết ta chứng minh hệ thức hàm sin:
Từ A dựng AH vuông góc BC. Ta có
sinB=AH/AB
sinC=AH/AC
Chia vế cho vế, ta được sinB/sinC=AC/AB=> AC/sinB = AB/sinC
Chứng minh tương tự, ta được AC/sinB=BC/sinA
=>AB/sinC=AC/sinB=BC/sinA (1)

Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp ABC, do ABC có 3 góc nhọn => O nằm bên trong ABC.
Nối A với O cắt đường tròn tại D, ta có góc ADB = góc ACB (hai góc nội tiếp cùng chắn AB)
=>sinADB = sinACB (ACB chính là góc C)
Mà AD là đường kính =>tam giác ABD vuông tại B
=>sinADB = AB/AD = AB/2R
=>sinC=sinADB=AB/2R
=>AB/sinC = 2R (2)

Từ (1) và (2) => AB/sinC=AC/sinB=BC/sinA=2R

=>AB=2RsinC, AC=2RsinB, BC=2RsinA

Trong tam giác vuông AHB: AH = AB.sinB=2RsinC.sinB
=> Diện tích tam giác ABC = (1/2).AH.BC=(1/2).2RsinBsinC.2RsinA = (căn6/2).R^2.sin75

The end.

 

[hdiemht]

bài 1 phài dài tới vậy sao ????/
làm theo cách của @hdiemht
hay hơn.

Có thể làm theo cách này