Toán Bất đẳng thức

[Conan Nguyễn]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Chứng minh rằng nếu x,y,z>0 và thỏa mãn :[tex]\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=4[/tex] thì
[tex]\frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{x+2y+z}+\frac{1}{x+y+2z}\leq 1[/tex]

 

[Nguyễn Xuân Hiếu]

Đầu tiên bạn có thể áp dụng bất đẳng thức Cauchy-schawz dạng engel:
$\dfrac{a_1^2}{b_1}+\dfrac{a_2^2}{b_1}+....+\dfrac{a_n^2}{b_n} \geq \dfrac{(a_1+a_2+....+a_n)^2}{b_1+b_2+.....+b_n}$.
Bây giờ mình cần chiều của bất đẳng thức là max nên áp dụng bđt trên ta có:
$\dfrac{1}{2x+y+z}
\\=\dfrac{(1+1+1+1)^2}{x+x+y+z}.\dfrac{1}{16}
\\\leq \dfrac{1}{16}(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z})
\\=\dfrac{1}{16}(\dfrac{2}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z})$.
Làm tương tự với các số hạng còn lại rồi cộng vế theo vế ta sẽ có:
$P \leq \dfrac{1}{16}(\dfrac{4}{x}+\dfrac{4}{y}+\dfrac{4}{z})
\\=\dfrac{1}{16}.16
\\=1(dpcm)$($P$ là biểu thức đề bài)
Dấu '=' khi $x=y=z=\dfrac{3}{4}$

 

[tranhainam1801]

Đầu tiên bạn có thể áp dụng bất đẳng thức Cauchy-schawz dạng engel:
$\dfrac{a_1^2}{b_1}+\dfrac{a_2^2}{b_1}+....+\dfrac{a_n^2}{b_n} \geq \dfrac{(a_1+a_2+....+a_n)^2}{b_1+b_2+.....+b_n}$.
Bây giờ mình cần chiều của bất đẳng thức là max nên áp dụng bđt trên ta có:
$\dfrac{1}{2x+y+z}
\\=\dfrac{(1+1+1+1)^2}{x+x+y+z}.\dfrac{1}{16}
\\\leq \dfrac{1}{16}(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z})
\\=\dfrac{1}{16}(\dfrac{2}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z})$.
Làm tương tự với các số hạng còn lại rồi cộng vế theo vế ta sẽ có:
$P \leq \dfrac{1}{16}(\dfrac{4}{x}+\dfrac{4}{y}+\dfrac{4}{z})
\\=\dfrac{1}{16}.16
\\=1(dpcm)$($P$ là biểu thức đề bài)
Dấu '=' khi $x=y=z=\dfrac{3}{4}$

bất đẳng thức này chứng minh khá dài. Nên áp dụng [TEX]\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\geq\frac{4}{a+b}[/TEX]
[TEX]\frac{1}{2x+y+z}=\frac{1}{4}\frac{4}{(x+y)(x+z)}\leq \frac{1}{4}(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z})[/TEX]
tách thêm lần nữa là ra