Phương trình hàm

[congchuaanhsang]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Tìm tất cả các hàm liên tục f: R ---> R thỏa mãn đồng thời

1, f là đơn ánh

2, f(2x-f(x))=x

3, Tồn tại $x_0$ sao cho $f(x_0)=x_0$

 

[trantan0166]

Lâu rồi không làm không biết đúng không b-(
Rõ ràng nếu thỏa mãn $2$ thì hàm đơn ánh
\[\begin{array}{l}
f(2x - f(x)) = x\\
2x - f(x) = t\\
\to x = \frac{{t + f(x)}}{2}\\
\to f(t) = \frac{{t + f(x)}}{2}\\
t = 0\\
\to f(0) = \frac{{f(x)}}{2}
\end{array}\]
Đoạn sau em có thể dùng tính đơn điệu và bị chặn

 

[congchuaanhsang]

Lâu rồi không làm không biết đúng không b-(
Rõ ràng nếu thỏa mãn $2$ thì hàm đơn ánh
\[\begin{array}{l}
f(2x - f(x)) = x\\
2x - f(x) = t\\
\to x = \frac{{t + f(x)}}{2}\\
\to f(t) = \frac{{t + f(x)}}{2}\\
t = 0\\
\to f(0) = \frac{{f(x)}}{2}
\end{array}\]
Đoạn sau em có thể dùng tính đơn điệu và bị chặn

Em có thắc mắc một chút ạ

$t$ có điều kiện thuộc R không ạ? Nếu có thì lời giải đã ngộ nhận f là hàm bậc nhất

Nếu $t$ không có điều kiện gì thì không thể cho $t=0$ vì nếu $f(x)$ khác $2x$ thì $t$ không nhận giá trị 0

 

[viethoang1999]

#82 http://diendantoanhoc.net/forum/index.php?/topic/130124-topic-ôn-luyện-vmo-2015/page-5