Toán [Toán 7] Ôn tập hình học cuối năm

[duc_2605]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

:khi (177): ÔN TẬP HÌNH HỌC HỌC KÌ II
I. Mục đích: Nhìn chung thì học hình 7 kì II khó hơn hình kì I. Và số thì cũng chỉ có đơn thức với đa thức. hiểu định nghĩa là được. Nên mình lập topic này để chúng ta ôn tập hình.
II. Lượng bài tập: 4 - 5 bài trên 2 tuần (hơi ít nhưng mình không cho bài nào thuộc loại dễ) . bài tập có thể có những bài chứng minh định lý mới. 1 tuần mà không có ai giải thì mình sẽ post đáp án. Các bạn hãy ủng hộ nhiệt tình, giải bài cũng được mà post đề cũng được.
III. Quy định: Lời giải phải đầy đủ. Không gõ Latex sẽ bị xóa bài.
Spam sẽ bị phạt thẻ. lần 1 thẻ vàng. Lần 2 thẻ đỏ. Không đơn giản là xóa bài.
p.s: Dù topic này để ôn tập, không có phần thưởng nhưng mong các bạn ủng hộ. Vì có được kiến thức cũng đã là phần thưởng rồi.
Nói ngắn gọn vậy thôi! Vào bài tập luôn nha!
1. (Bắt đầu với 1 bài cần vẽ hình phụ) $\triangle{ABC}$. D thuộc tia đối AB sao cho: AD = AB. E thuộc cạnh AC sao cho $AE = \dfrac{1}{3}AC$. BE cắt CD tại M.
CMR: a) M là trung điểm của CD
b) AM bằng một nửa BC
2. $\triangle{ABC}$. Trung tuyến BM. lấy G,K thuộc tia BM sao cho $BG = \dfrac{2}{3}BM$. GB = GK. N là trung điểm của KC, GN cắt CM tại O. CMR:
a) O là trọng tâm của tam giác GKC
b) $OG = \dfrac{1}{3}BC$
3. Chứng minh định lý: Trong hai tam giác có hai cặp cạnh tương ứng bằng nhau. Hai cạnh còn lại cạnh nào dài hơn thì góc đối diện với nó lớn hơn và chứng minh cả điều ngược lại.
Tạm thời ba bài thôi. Khi nào làm được bài 3 rồi thì mình mới post bài 4 vì chúng liên quan tới nhau.

 

[riverflowsinyou1]

Giải

Chứng minh định lý: Trong hai tam giác có hai cặp cạnh tương ứng bằng nhau. Hai cạnh còn lại cạnh nào dài hơn thì góc đối diện với nó lớn hơn và chứng minh cả điều ngược lại.
Giả sử 2 tam giác đó là ABC và DEF
Và AB=DE;AC=EF . Và $\hat{A}$>$\hat{E}$
Dựng trong tam giác ABC tam giác ADC sao cho tam giác ADC bằng tam giác DEF :
Kẻ phân giác $\widehat{BAD}$ cắt BC tại P.
Tam giác BPA=tam giác DPA (c-g-c) \Rightarrow PD=BP
Áp dụng bất đẳng thức tam giác ta có:
PD+PC>DC
Hay BP+PC=BC>DC mà DC=DF \Rightarrow BC>DF
Ngược lại bây giờ giả sử BC>DC
Xét nếu $\hat{A}$=$\hat{DAC}$ \Rightarrow BC=DC loại
Xét $\hat{DAC}$>$\hat{A}$ \Rightarrow DC>BC (loại)
\Rightarrow $\hat{A}$>$\hat{DAC}$=$\hat{E}$


Cảm ơn bạn, bài của bạn đúng rồi nhé!
Mình sẽ có bài 6 khó đấy! Chuẩn bị nha!

 

[riverflowsinyou1]

Giải

Câu 1:
a)AE=AC:3 \Rightarrow E là trọng tâm tam giác BDC
\Rightarrow BM là trung tuyển của tam giác ABC \Rightarrow M là trung điểm của D và C.
b) Ta có kẻ Cx//BD và trên tia Cx lấy I sao cho AD=CI
Xét tam giác DMA và tam giác CIM (g-c-g) \Rightarrow CI=AD=AB
Xét tam giác ACB và CAI (c-g-c) \Rightarrow AI=AM.2=BC
\Rightarrow AM=$\frac{BC}{2}$

 

[duc_2605]

Câu 1:
a)AE=AC:3 \Rightarrow E là trọng tâm tam giác BDC
\Rightarrow BM là trung tuyển của tam giác ABC \Rightarrow M là trung điểm của D và C.
b) Ta có kẻ Cx//BD và trên tia Cx lấy I sao cho AD=CI
Xét tam giác DMA và tam giác CIM (g-c-g) \Rightarrow CI=AD=AB
Xét tam giác ACB và CAI (c-g-c) \Rightarrow AI=AM.2=BC
\Rightarrow AM=$\frac{BC}{2}$

Câu b có thể lấy trên tia đối MA điểm K sao cho MA = MK cũng được
Nhưng phải chứng minh thêm AB // KC nên dài hơn 1 chút

 

[duc_2605]

Chứng minh định lý: Trong hai tam giác có hai cặp cạnh tương ứng bằng nhau. Hai cạnh còn lại cạnh nào dài hơn thì góc đối diện với nó lớn hơn và chứng minh cả điều ngược lại.
Giả sử 2 tam giác đó là ABC và DEF
Và AB=DE;AC=EF . Và $\hat{A}$>$\hat{E}$
Dựng trong tam giác ABC tam giác ADC sao cho tam giác ADC bằng tam giác DEF :
Kẻ phân giác $\widehat{BAD}$ cắt BC tại P.
Tam giác BPA=tam giác DPA (c-g-c) \Rightarrow PD=BP
Áp dụng bất đẳng thức tam giác ta có:
PD+PC>DC
Hay BP+PC=BC>DC mà DC=DF \Rightarrow BC>DF
Ngược lại bây giờ giả sử BC>DC
Xét nếu $\hat{A}$=$\hat{DAC}$ \Rightarrow BC=DC loại
Xét $\hat{DAC}$>$\hat{A}$ \Rightarrow DC>BC (loại)
\Rightarrow $\hat{A}$>$\hat{DAC}$=$\hat{E}$


Bài của bạn đúng rồi nhé!

Kể từ giờ thì nếu mọi người giải hêt các bài thì mình sẽ post thêm. Còn nếu để hết 1 tuần chưa có ai giải thì mình sẽ post đáp án.
Bài 4. Chứng minh rằng: Trong 1 tam giác. Trung tuyến ứng với cạnh lớn hơn thì nhỏ hơn và ngược lại.
(Dùng định lí ở bài 3)

 

[duc_2605]

Kể từ giờ thì nếu mọi người giải hêt các bài thì mình sẽ post thêm. Còn nếu để hết 1 tuần chưa có ai giải thì mình sẽ post đáp án.
Bài 4. Chứng minh rằng: Trong 1 tam giác. Trung tuyến ứng với cạnh lớn hơn thì nhỏ hơn và ngược lại.
(Dùng định lí ở bài 3)

Để lâu quá chưa thấy bạn nào làm bài 4 cả nên mình làm nha!
a) Gỉả Sử $\Delta{ABC}$ có AM, BN, CP là các trung tuyến
Đầu tiên, Ta sẽ chứng minh nếu AB < AC thì CP > BN
$\Delta{ABC}$ và $\Delta{AMC}$ có:
AM : chung
MB = MC (Do AM là trung tuyến)
AB < AC (gt) \Rightarrow $\widehat{AMB} < \widehat{AMC}$
$\Delta{GMB}$ và $\Delta{GMC}$ có:
GM : chung
MB = MC (trung tuyến AM)
$\widehat{GMB} < \widehat{GMC}$ \Rightarrow GB < GC
Hay $\dfrac{2}{3}BN < \dfrac{2}{3}CP$ \Rightarrow BN < CP
b) (Phương pháp phản chứng) Ta sẽ chứng minh nếu BN < CP thì AB < AC
Giả sử AB \geq AC
Nếu AB = AC \Rightarrow $\Delta{ABC}$ cân tại A
\Rightarrow BN = CP (2 đường trung tuyến bằng nhau)
trái gt (BN < CP)
nếu AB > AC, thep cm phần a, ta có:
CP < BN (trái gt)
Điều ta giả thiết AB \geq AC là sai. Vậy AB < AC
Mọi người làm bài 2 nha! Bài 2 không khó mà! AI làm đúng sẽ được thanks.

 

[duc_2605]

Up trước bài 6 cho chị nhuquynhdat nha!
Bài 6, Cho tam giác ABC, BM và CN là các trung tuyến.
CMR: $BM^2 + CN^2 > \dfrac{9}{8}BC^2$

 

[riverflowsinyou1]

Xử bài 6 cho bác
Gọi G là giao điểm của trung tuyển BM và CN.
=> G là trọng tâm . Có
BG:BM=CG:CN=2:3 => BM.$\frac{2}{3}$=BG;CG=CN.$\frac{2}{3}$
Vận dụng bất đẳng thức: cho a;b;c>0 nếu a+b>c => $a^2$+$b^2$>$c^2$
Ap dung bat dang thuc tam giac ta co:
BG+CG>BC
$BM.\dfrac{2}{3}$+$\dfrac{2}{3}4.CN > BC $
$BM^2$+$CN^2$>$\dfrac{9}{8}$.$BC^2$


Bài làm đúng nhưng làm tắt quá!

 

[duc_2605]

Đổi topic

Mình xem vài đề thi học sinh giỏi thấy cho thi nhiều vào kiến thức học kì I lớp 7 với lớp 6. Nên mình post những bài mình giải được rồi nhé!

Câu 1: Cho S = abc + bca + cab (có gạch ngang trên đầu)
Chứng minh rằng S không phải là số chính phương.
Câu 2: Cho 9 đường thẳng trong đó không có 2 đường thẳng nào song song. CMR ít nhất cũng có 2 đường thẳng mà góc nhọn giữa chúng không nhỏ hơn $20^0$
(Không khó làm nhưng khó lập luận )

 

[duc_2605]

Mọi người giải bài đi chứ! Sao không ai giải vậy, Mình làm 2 câu này để up câu mới nha!
Câu 1: Cho S = abc + bca + cab (có gạch ngang trên đầu)
Chứng minh rằng S không phải là số chính phương.
S = a00 + b0 + c + c00+a0+b+b00+c+a
= 111(a+b+c) = 3.37(a+b+c)
Xét thấy nếu S là số chính phương thì S phải chia hết cho 37^2 (vì 37 là SNT)
ĐIều đó không thể xảy ra vì 0 < a + b + c \leq 27 (Do a > 0 và a ; b ; c < 10)
Do vậy S không phải là số chính phương.

 

[duc_2605]

Câu 2: Cho 9 đường thẳng trong đó không có 2 đường thẳng nào song song. CMR ít nhất cũng có 2 đường thẳng mà góc nhọn giữa chúng không nhỏ hơn 200
9 đường thẳng này đôi 1 cắt nhau. Giả sử tại 1 điểm O kẻ 9 đường thẳng d1,d2,..., d9 lần lượt song song với các đường thẳng. Các góc tạo bởi 2 trong 9 đường thẳng đó là các góc tạo bởi 2 trong 9 đường thẳng kẻ thêm.
Tại điểm O có 18 góc nhọn được tạo bởi 2 đường thẳng liên tiếp trong số 9 đường thẳng.
Tổng 18 góc đó = 360*
Giả sử tất cả các góc đều < 20* thì mâu thuẫn vs nx ở trên.
Vậy phải tồn tại ít nhất 1 góc \geq 20*

Bài mới:
$\dfrac{x+2}{327} + \dfrac{x+3}{326} + \dfrac{x+4}{325} + \dfrac{x+5}{324} + \dfrac{x+349}{5}$
p.s: Cố lên mọi người. Giải sớm nha. Tks


bằng bao nhiêu vậy..............

 

[pro3182001]

Câu 2: Cho 9 đường thẳng trong đó không có 2 đường thẳng nào song song. CMR ít nhất cũng có 2 đường thẳng mà góc nhọn giữa chúng không nhỏ hơn 200
9 đường thẳng này đôi 1 cắt nhau. Giả sử tại 1 điểm O kẻ 9 đường thẳng d1,d2,..., d9 lần lượt song song với các đường thẳng. Các góc tạo bởi 2 trong 9 đường thẳng đó là các góc tạo bởi 2 trong 9 đường thẳng kẻ thêm.
Tại điểm O có 18 góc nhọn được tạo bởi 2 đường thẳng liên tiếp trong số 9 đường thẳng.
Tổng 18 góc đó = 360*
Giả sử tất cả các góc đều < 20* thì mâu thuẫn vs nx ở trên.
Vậy phải tồn tại ít nhất 1 góc \geq 20*

Bài mới:
$\dfrac{x+2}{327} + \dfrac{x+3}{326} + \dfrac{x+4}{325} + \dfrac{x+5}{324} + \dfrac{x+349}{5}$
p.s: Cố lên mọi người. Giải sớm nha. Tks


bằng bao nhiêu vậy..............

cho hỏi cái $\dfrac{x+2}{327} + \dfrac{x+3}{326} + \dfrac{x+4}{325} + \dfrac{x+5}{324} + \dfrac{x+349}{5}$=0 phải ko

 

[thangvegeta1604]

2. $\triangle{ABC}$. Trung tuyến BM. lấy G,K thuộc tia BM sao cho $BG = \dfrac{2}{3}BM$. GB = GK. N là trung điểm của KC, GN cắt CM tại O. CMR:
a) O là trọng tâm của tam giác GKC
b) $OG = \dfrac{1}{3}BC$

a. Vì GB=$\dfrac{2}{3}BM$ nên GM=$\dfrac{1}{3}BM$ (1)
Ta có: GK=GB nên GK=$\dfrac{2}{3}BM$. (2)
Từ (1) và (2)\Rightarrow GK=2GM.
Do đó M là trung điểm GK.
$\large\Delta GKC$ có 2 trung tuyến CM và GN cắt nhau tại O nên O là trọng tâm của $\large\Delta GKC$

 

[duc_2605]

Câu 2: Cho 9 đường thẳng trong đó không có 2 đường thẳng nào song song. CMR ít nhất cũng có 2 đường thẳng mà góc nhọn giữa chúng không nhỏ hơn 200
9 đường thẳng này đôi 1 cắt nhau. Giả sử tại 1 điểm O kẻ 9 đường thẳng d1,d2,..., d9 lần lượt song song với các đường thẳng. Các góc tạo bởi 2 trong 9 đường thẳng đó là các góc tạo bởi 2 trong 9 đường thẳng kẻ thêm.
Tại điểm O có 18 góc nhọn được tạo bởi 2 đường thẳng liên tiếp trong số 9 đường thẳng.
Tổng 18 góc đó = 360*
Giả sử tất cả các góc đều < 20* thì mâu thuẫn vs nx ở trên.
Vậy phải tồn tại ít nhất 1 góc \geq 20*

Bài mới:
$\dfrac{x+2}{327} + \dfrac{x+3}{326} + \dfrac{x+4}{325} + \dfrac{x+5}{324} + \dfrac{x+349}{5}$
p.s: Cố lên mọi người. Giải sớm nha. Tks
bằng bao nhiêu vậy..............

$\dfrac{x+2}{327} + \dfrac{x+3}{326} + \dfrac{x+4}{325} + \dfrac{x+5}{324} + \dfrac{x+349}{5} = 0$
\Rightarrow $\dfrac{x+2}{327}+1 + \dfrac{x+3}{326}+1 + \dfrac{x+4}{325}+1 + \dfrac{x+5}{324}+1 + \dfrac{x+349}{5}-4 = 0$
\Leftrightarrow $\dfrac{x+329}{327} + \dfrac{x+329}{326} + \dfrac{x+329}{325} + \dfrac{x+329}{324} + \dfrac{x+329}{5} = 0$
\Leftrightarrow x + 329 = 0 \Rightarrow x = -329

Bài mới: Cho góc xOy cố định. Trên tia Ox lấy M, Oy lấy N sao cho OM + ON = m không đổi. Chứng minh : Đường trung trực MN đi qua 1 điểm cố định.
p/s: Không được dùng quỹ tích của lớp 9.

 

[thinhrost1]

$\dfrac{x+2}{327} + \dfrac{x+3}{326} + \dfrac{x+4}{325} + \dfrac{x+5}{324} + \dfrac{x+349}{5} = 0$
\Rightarrow $\dfrac{x+2}{327}+1 + \dfrac{x+3}{326}+1 + \dfrac{x+4}{325}+1 + \dfrac{x+5}{324}+1 + \dfrac{x+349}{5}-4 = 0$
\Leftrightarrow $\dfrac{x+329}{327} + \dfrac{x+329}{326} + \dfrac{x+329}{325} + \dfrac{x+329}{324} + \dfrac{x+329}{5} = 0$
\Leftrightarrow x + 329 = 0 \Rightarrow x = -329

Bài mới: Cho góc xOy cố định. Trên tia Ox lấy M, Oy lấy N sao cho OM + ON = m không đổi. Chứng minh : Đường trung trực MN đi qua 1 điểm cố định.
p/s: Không được dùng quỹ tích của lớp 9.

Trên Ox lấy A sao cho OA=ON, Oy lấy B sao cho OB=OM, trung trực của MN và AB cắt nhau tại I tới đây dễ dàng CM được I là điểm thuộc tia phân giác của góc $xOy$

 

[duc_2605]

Trên Ox lấy A sao cho OA=ON, Oy lấy B sao cho OB=OM, trung trực của MN và AB cắt nhau tại I tới đây dễ dàng CM được I là điểm thuộc tia phân giác của góc $xOy$

Đề yêu cầu cm: Chứng minh : Đường trung trực MN đi qua 1 điểm cố định.
trên Oy lấy P sao cho NP = OM
Dùng lập luận \Rightarrow OP cố định
P/g Oz của góc xOy cố định. trung trực của OP cố định \Rightarrow giao điểm I của 2 đường này cố định
$\Delta{NIP} = \Delta{MIO}$ (c.g.c) \Rightarrow IN = IM
\Rightarrow I thuộc trung trực MN \Rightarrow đpcm

Bài mới: Cho góc xAy = 60*; p/g Az. Từ B trên Ax vẽ Đường thẳng // Ay cắt Az tại C.
Vẽ BH;CM $\perp$ Ay. BK $\perp$ AC. CMR:
a) KA = KC
b) 2BH = AC
c) KM = MC = KC
(Làm được câu b là ra câu c ngay)

 

[thangvegeta1604]

a. Do BC//Ay nên $\widehat{BCA}=\widehat{CAM}$ (slt)
Mà $\widehat{BAC}=\widehat{CAM}$.
\Rightarrow $\widehat{BCA}=\widehat{BAC}$
\Rightarrow $\large\Delta BAC$ cân tại B.
Mà BK là đường cao ứng với đáy AC nên BK cũng là đường trung tuyến ứng với đáy AC.
\Rightarrow KA=KC.
b. Vì $\large\Delta KAB$ vuông tại K mà $\widehat{KAB}=30^0$ nên $\widehat{KBA}=60^0$
\Rightarrow $\large\Delta AHB=\large\Delta BKA$ (ch-gn)
\Rightarrow BH=AK. Mà AC=2AK nên AC=2BH.

 

[riverflowsinyou1]

Góp bài hình cho các bác của hsg trường em
Cho $\triangle{ABC}$ vuông tại A kẻ AH $\perp$ BC. Biết $HB-HC$=$AC$
a) So sánh $AB$ và $CA$
b) Chứng minh $\frac{BC}{2}$=$AC$

 

[duc_2605]

Góp bài hình cho các bác của hsg trường em
Cho $\triangle{ABC}$ vuông tại A kẻ AH $\perp$ BC. Biết $HB-HC$=$AC$
a) So sánh $AB$ và $CA$
b) Chứng minh $\frac{BC}{2}$=$AC$
c) Lấy $D$ sao cho $AB$ là trung trực của $DH$; $E$ sao cho $AC$ là trung trực của $HE$ tính góc DAE và c/m $A$ là trung điểm của $DE$
Bài này dễ nên các bác cứ thể hiện .

a) Trên HB lấy điểm D sao cho HD = HC
\Rightarrow DB = AC
Tam giác AHD = tam giác AHC (g.c.g) \Rightarrow AD = AC
Lại có AD < AB (Do DH < HB)
\Rightarrow AC < AB

 

[riverflowsinyou1]

Bài mới: Cho góc xAy = 60*; p/g Az. Từ B trên Ax vẽ Đường thẳng // Ay cắt Az tại C.
Vẽ BH;CM ⊥ Ay. BK ⊥ AC. CMR:
a) KA = KC
b) 2BH = AC
c) KM = MC = KC
(Làm được câu b là ra câu c ngay)
c) Ta có $\widehat{ACM}$=$90^o-30^o$=$60^o$
Ở câu b ta có ngay $BH=AK=KC$
Xét $\triangle{HCB}$=$\triangle{HCM}$ (g-c-g) \righttow $BH=CM$
Suy ra $CM=KC$ mà có $\widehat{ACM}$=$60^o$ suy ra $\triangle{KMC}$ đều từ đó được điều phải chứng minh.