Toán [Toán 9] bất đẳng thức(2)

[braga]

$\fbox{8}$. Cho các số thực x,y,z thỏa mãn $x+y+z+xy+yz+zx=6$.
Chứng minh $x^2+y^2+z^2\ge 3$

 

[tuyetroimuahe_9x]

$\fbox{8}$. Cho các số thực x,y,z thỏa mãn $x+y+z+xy+yz+zx=6$.
Chứng minh $x^2+y^2+z^2\ge 3$

Áp dụng bđt $AM-GM$

$x^2 + 1 + y^2 + 1 + z^2 + 1 \ge 2x + 2y + 2z$ (1)

$x^2 + y^2 + y^2 + z^2 + z^2 + x^2 \ge 2xy + 2yx + 2zx$ (2)

Lấy (1) + (2) ta được:

$3(x^2 + y^2 + z^2) + 3 \ge 2(x+y+z+xy+yz+zx)$

\Leftrightarrow $ x^2 + y^2 + z^2 \ge 3$ (đpcm)

@braga: Không phải $AG-MG$ mà là $AM-GM$ nhé bạn!

 

[janbel]

$\fbox{9}$. Cho các số thực $a;b;c>0$ thỏa $a+b+c=1$. Chứng minh rằng:
$$\dfrac{a^2}{b}+\dfrac{b^2}{c}+\dfrac{c^2}{a}\ge 3(a^2+b^2+c^2)$$

 

[tuyetroimuahe_9x]

$\fbox{9}$. Cho các số thực $a;b;c>0$ thỏa $a+b+c=1$. Chứng minh rằng:
$$\dfrac{a^2}{b}+\dfrac{b^2}{c}+\dfrac{c^2}{a}\ge 3(a^2+b^2+c^2)$$

Ta có: $\dfrac{a^2}{b} + 9.a^2b \ge 6a^2$

Tương tự, suy ra:

$\dfrac{a^2}{b}+\dfrac{b^2}{c}+\dfrac{c^2}{a} + 9(a^2b + b^2c + c^2a) \ge 6(a^2 + b^2 + c^2)$ (1)

Lại có:
$(a+b+c)(a^2 + b^2 + c^2) = a^3 + a^2b + a^2c + ab^2 + b^3 + b^2c + ac^2 bc^2 + c^3$
$= (a^3 + a^2b + ab^2) +(b^3 + b^2c + bc^2) + (c^3 + a^2c + ac^2)$
$\ge 3a^2b + 3b^2c + 3c^2a$

\Rightarrow $a^2 + b^2 + c^2 \ge 3(a^2b + b^2c + c^2a)$ (2)

Từ (1) và (2) \Rightarrow đpcm

 

[braga]

$\fbox{10}$. Cho 3 số dương $x,y,z$ thoả mãn $x+y+z=1$. Chứng minh rằng:
$$\sum\sqrt{2x^2+xy+2y^2} \ge \sqrt{5}$$

 

[janbel]

$\fbox{10}$. Cho 3 số dương $x,y,z$ thoả mãn $x+y+z=1$. Chứng minh rằng:
$$\sum\sqrt{2x^2+xy+2y^2} \ge \sqrt{5}$$

Bổ đề: Với mọi $a;b>0$ ta luôn có:
$$\sqrt{2a^2+ab+2b^2}\ge \dfrac{\sqrt{5}(a+b)}{2}$$
Chứng minh:
$$BDT\iff 2a^2+ab+2b^2\ge \dfrac{5(a+b)^2}{4}$$
$$\iff (a-b)^2\ge 0$$
BDT này luôn đúng với mọi $a;b$. Dấu "=" xảy ra khi $a=b$
Áp dụng bổ đề trên ta được:
$$\sum \sqrt{2x^2+xy+2y^2}\ge\sum \dfrac{\sqrt{5}(x+y)}{2}$$
$$\iff \sum \sqrt{2x^2+xy+2y^2}\ge \dfrac{\sqrt{5}}{2}.2\sum x=\sqrt{5}$$
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi $x=y=z=\dfrac{1}{3}$.

 

[janbel]

$\fbox{11}$. Cho các số thực dương $a;b;c$ thỏa mãn $\sum ab=3$. Chứng minh rằng:
$$\sum \dfrac{1}{1+a^2(b+c)}\le \dfrac{1}{abc}$$

 

[lan_phuong_000]

$\fbox{11}$. Cho các số thực dương $a;b;c$ thỏa mãn $\sum ab=3$. Chứng minh rằng:
$$\sum \dfrac{1}{1+a^2(b+c)}\le \dfrac{1}{abc}$$

Ta có:
$3 = ab + bc + ca \ge 3.\sqrt[3]{a^2.b^2.c^2}$ \Leftrightarrow $abc \le 1$

$\dfrac{1}{1 + a^2(b + c)} \le \dfrac{1}{abc + a^2b + a^c} = \dfrac{1}{a(bc + ab + ac)} = \dfrac{1}{3a}$

Tương tự suy ra:

$\dfrac{1}{1 + a^2(b + c)} + \dfrac{1}{1 + b^2(c + a)} + \dfrac{1}{1 + c^2(a + b)} \le \dfrac{1}{3a} + \dfrac{1}{3b} + \dfrac{1}{3c} = \dfrac{1}{abc}$ (đpcm)

 

[hocmaitoanhoc]

Ta có:
$3 = ab + bc + ca \ge 3.\sqrt[3]{a^2.b^2.c^2}$ \Leftrightarrow $abc \le 1$

$\dfrac{1}{1 + a^2(b + c)} \ge \dfrac{1}{abc + a^2b + a^c} = \dfrac{1}{a(bc + ab + ac)} = \dfrac{1}{3a}$

Tương tự suy ra:

$\dfrac{1}{1 + a^2(b + c)} + \dfrac{1}{1 + b^2(c + a)} + \dfrac{1}{1 + c^2(a + b)} \ge \dfrac{1}{3a} + \dfrac{1}{3b} + \dfrac{1}{3c} = \dfrac{1}{abc}$ (đpcm)

Lời giải của bạn bị ngược dấu rồi nhé ..............................................................

 

[pandahieu]

Chỗ đó đúng rồi mà ... không ngược dấu đâu!

 

[lan_phuong_000]

$\fbox{12}$. Cho các số thực tùy ý $a;b;c$. Chứng minh rằng:
$$a^2 + b^2 + c^2 + \dfrac{9}{a+b+c} \ge 2(ab + bc + ca)$$

 

[braga]

$\fbox{12}$. Cho các số thực tùy ý $a;b;c$. Chứng minh rằng:
$$a^2 + b^2 + c^2 + \dfrac{9}{a+b+c} \ge 2(ab + bc + ca)$$

Với $a=b=c=3 \iff VT\le VP$........................................................................................................................

 

[pe_lun_hp]

Tớ có bài này đưa lên, tiện thể là hỏi luôn vì tớ chưa làm được . Mong các Thớt chụm đầu giúp tớ

Link câu hỏi : http://diendan.hocmai.vn/showthread.php?t=317977


$\fbox{5}.$ Cho $x_1 , x_2 ,.....x_n >0$ , n>3 thỏa mãn điều kiện $x_1.x_2....x_n = 1$

CMR:

$\dfrac{1}{1 + x_1 + x_1x_2} + \dfrac{1}{1 + x_1x_3} + .... + \dfrac{1}{1 + x_n + x_nx_1} > 1$

Còn bài này này

 

[braga]

$\fbox{13}.$ Cho a,b,c là các số thực dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
$$ \dfrac{3a}{b+c}+\dfrac{4b}{c+a}+\dfrac{5c}{a+b} $$

 

[passivedefender]

Bài 13.
Gọi biểu thức đó là [tex]A[/tex] thì
[tex]A=(\frac{3a}{b+c}+3)+(\frac{4b}{c+a}+4)+(\frac{5c}{a+b}+5)-12[/tex]
[tex]=\frac{3(a+b+c)}{b+c}+\frac{4(a+b+c)}{c+a}+\frac{5(a+b+c)}{a+b}-12[/tex]
[tex]\geq \frac{[\sqrt{3(a+b+c)}+\sqrt{4(a+b+c)}+\sqrt{5(a+b+c})]^{2}}{(b+c)+(c+a)+(a+b)}-12[/tex] (Cauchy - Schwarz)
[tex]=\frac{[(\sqrt{3}+\sqrt{4}+\sqrt{5})\sqrt{a+b+c}]^{2}}{2(a+b+c)}-12[/tex]
[tex]=\frac{(2+\sqrt{3}+\sqrt{5})^{2}}{ 2 }-12[/tex]
Tới đây dễ dàng ra

 

[ayen52]

Gửi các anh tài giỏi. Cách viết bài của các anh làm em khó hiểu quá! có lẽ là em mới học nên chưa biết cách viết của các anh. Theo em hiểu thì khi viết dấu xích ma phải có các biến chạy do đó khi đọc xích ma của x mũ 3 và các xích ma khác nữa thì em chẳng hiểu cái gì cả. Mong các anh chỉ giáo cho em biết với. Nhớ là chỉ giáo chứ đừng chỉ gậy nhé. Cám ơn

 

[braga]

$\fbox{14}. \ \text{Chứng minh:} \ \sqrt{a+1}+\sqrt{2a-3}+\sqrt{50-3a}\le 12 \ \ \text{với} \ a\in \left[\dfrac{3}{2};\dfrac{50}{3}\right]$

 

[soicon_boy_9x]

$\fbox{14}. \ \text{Chứng minh:} \ \sqrt{a+1}+\sqrt{2a-3}+\sqrt{50-3a}\le 12 \ \ \text{với} \ a\in \left[\dfrac{3}{2};\dfrac{50}{3}\right]$

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy–Schwarz ta có:

$(\sqrt{a+1}+\sqrt{2a-3}+\sqrt{50-3a})^2 \leq 3(a+1+2a-3+50-3a)=144$

$\leftrightarrow\sqrt{a+1}+\sqrt{2a-3}+\sqrt{50-3a} \leq 12$

Đẳng thức xảy ra $\leftrightarrow $ ...

 

[soicon_boy_9x]

$\fbox{15}. $ Kí hiệu $p_n$ là số nguyên tố thứ $n \ ( \ n \geq 2 \ )$

Chứng minh $\dfrac{1}{n}(p_1+...+p_n) \leq p_n-\dfrac{n^2-n-1}{n}$

 

[truongthon199]

Guess what? I found a site that's giving Steam Wallet card pin codes away for free! http://steamwalletcodes.com