Dùng bất đẳng thức Bunhiacopski chứng minh giùm mình mấy bài toán này với!!!?

K

kjngstars

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Câu hỏi mở của bạn

Xem câu khác »
Dùng bất đẳng thức Bunhiacopski chứng minh giùm mình mấy bài toán này với!!!?

1. Cho x + y+ z =1, cmr: (1 +cănx)/(y+z) + (1+căn y)/(z+x) + (1+căn z)/(x+y) >= (9+ 3căn3)/2.

2.cho a,b,c,p,q > 0 cmr: a/(pb+qc) + b/(pc+qa) + c/(pa + qb) >= 3/(q+p).

Cảm ơn các bạn rất nhiều! Ai làm gấp giúp mình với nhé!
 
K

kjngstars

bạn ơi, bạn làm chi tiết hơn giúp mình nhé, bạn biến đổi tắc quá mình khổng hiểu sao ra được : VT >= (a+b+c)^2/((p+q)(ab+bc+ca)), bạn giúp mình luôn bài 1 với nhé!
 
Last edited by a moderator:
T

th1104

kjngstars said:
bạn ơi, bạn làm chi tiết hơn giúp mình nhé, bạn biến đổi tắc quá mình khổng hiểu sao ra được : VT >= (a+b+c)^2/((p+q)(ab+bc+ca)), bạn giúp mình luôn bài 1 với nhé!
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...
thế này nhé

Vì $(a+b+c)^2$ \geq $3(ab+bc+ca)$

Dễ dàng CM được như sau:

$(a-b)^2 + (b-c)^2 +(c-a)^2$ \geq 0

\Leftrightarrow $2 a^2 + 2b^2 +2c^2$ \geq $2ab +2bc +2ca$

\Leftrightarrow $a^2 +b^2 +c^2$ \geq $bc +ca+ab$

\Leftrightarrow đpcm
 
N

noinhobinhyen

gợi ý câu 1

câu 1.

ở số hạng thứ nhất thay

$y+z=1-x=(1-\sqrt[]{x})(1+\sqrt[]{x})$

2 cái sau cũng vậy ...

Rút gọn luôn ở tử nữa , cuối cùng ra 1 cái vô cùng quen thuộc.
 
K

kjngstars

bạn ơi cái này thì mình biết nhưng ý mình là làm sao để ra được VT>= (a+b+c)^2/((p+q)(ab+bc+ca)), bạn chỉ lại giúp nhé.
 
T

th1104

kjngstars said:
bạn ơi cái này thì mình biết nhưng ý mình là làm sao để ra được VT>= (a+b+c)^2/((p+q)(ab+bc+ca)), bạn chỉ lại giúp nhé.
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...
à

xin lỗi k hiểu ý câu hỏi.

$\dfrac{a}{pb +qc} + \dfrac{b}{pc +qa} + \dfrac{c}{pa +qb}$

= $\dfrac{a^2}{p.ab + q.ac} + \dfrac{b^2}{pbc +qab}+ \dfrac{c^2}{pac +qbc}$

\geq $\dfrac{(a+b +c)^2}{(p+q)(ab+bc+ca)}$

Áp dụng bất đẳng thức Schwarz, gọi nôm na nó là "bất đẳng thức cộng mẫu số"

Dễ dàng dùng Bunhia để chứng minh

Bạn vào đây xem bđt schwarz nhá
 
K

kjngstars

Cảm ơn bạn, mình chưa học tới bất đẳng thức này hèn gì nghĩ mãi mà không hiểu, bạn làm được câu 1 giúp mình luôn nhé.
 
B

bosjeunhan

Giả sử $x \ge y \ge z$, ta có $\dfrac{1}{y+z} \ge \dfrac{1}{z+x} \ge \dfrac{1}{x+y}$

Theo BĐT Chebyshev, ta có:

$$\sum \dfrac{1+\sqrt{x}}{y+z} = \sum (\dfrac{1}{y+z} + \dfrac{\sqrt{x}}{y+z} \ge \dfrac{9}{2} + \sum \dfrac{\sqrt{x}}{y+z}$$

Đặt $x=a^2$; $y=b^2$ và $z=c^2$

Ta có: $a^2+b^2+c^2=1$

Bây giờ, ta cần chứng minh $\sum \dfrac{a}{b^2+c^2} \ge \frac{3.\sqrt{3}}{2}$

Theo AM_GM, ta có: $2=2a^2 + b^2+c^2 + b^2+c^2 \ge 3\sqrt[3]{2a^2.(b^2+c^2)^2}$

Vậy BĐT được chứng minh!

P\s: Có thể hỏi lại nếu chưa rõ chỗ nào :)
 
B

bosjeunhan

^^

Giả sử $x \ge y \ge z$, ta có $\dfrac{1}{y+z} \ge \dfrac{1}{z+x} \ge \dfrac{1}{x+y}$

Theo BĐT Chebyshev, ta có:

$$\sum \dfrac{1+\sqrt{x}}{y+z} = \sum (\dfrac{1}{y+z} + \dfrac{\sqrt{x}}{y+z} \ge \dfrac{9}{2} + \sum \dfrac{\sqrt{x}}{y+z}$$

Đặt $x=a^2$; $y=b^2$ và $z=c^2$

Ta có: $a^2+b^2+c^2=1$

Bây giờ, ta cần chứng minh $\sum \dfrac{a}{b^2+c^2} \ge \frac{3.\sqrt{3}}{2}$

Theo AM_GM, ta có: $2=2a^2 + b^2+c^2 + b^2+c^2 \ge 3\sqrt[3]{2a^2.(b^2+c^2)^2}$

Vậy BĐT được chứng minh!

P\s: Có thể hỏi lại nếu chưa rõ chỗ nào :)
 
B

bo_ieu_tho


Theo BĐT C_S, ta có:

$$\sum \dfrac{1+\sqrt{x}}{y+z} = \sum (\dfrac{1}{y+z} + \dfrac{\sqrt{x}}{y+z}) \ge \dfrac{9}{2} + \sum \dfrac{\sqrt{x}}{y+z}$$

Đặt $x=a^2$; $y=b^2$ và $z=c^2$

Ta có: $a^2+b^2+c^2=1$

Bây giờ, ta cần chứng minh $\sum \dfrac{a}{b^2+c^2} \ge \frac{3.\sqrt{3}}{2}$

Theo AM_GM, ta có: $2=2a^2 + b^2+c^2 + b^2+c^2 \ge 3\sqrt[3]{2a^2.(b^2+c^2)^2}$

Vậy BĐT được chứng minh!

P\s: Có thể hỏi lại nếu chưa rõ chỗ nào :)
 
Last edited by a moderator:
You must log in or register to reply here.
Top Bottom