Ôn thi đại học 2013 : Chuyên đề phương trình, hệ phương trình

[hthtb22]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

[FONT=&quot]Các bạn thấy đấy chỉ còn chưa đầy một năm nữa thì kì thi Đại Học 2013 sẽ bắt đầu. Với mong muốn giúp các bạn đạt được kết quả tốt nhất trong kì thi sắp tới, mình xin mạn phép lập Topic này để [FONT=&quot]chúng ta cùng nhau ôn tập chuẩn bị những kiến thức cơ bản. Chúng ta đều thấy rằng một [/FONT][/FONT]bài toán khó tới đâu cũng chỉ xuất phát từ những cái hết sức cơ bản. Vì vậy, để học tốt thì cần nắm vững những điều cơ bản nhất.
Topic được lập ra trên tinh thần giao lưu học hỏi, mình mong rằng các bạn tham gia thảo luận nên tôn trọng mục đích của Topic, không ra những bài mang tính thách đố mà chỉ xoay quanh vấn đề thi Đại Học thôi nhé. Để có được những bài toán đẹp về mặt hình thức mình hy vọng các bạn tuân thủ chặt chẽ một số quy định sau:

• Sử dụng đúng từ ngữ, ngữ pháp Tiếng Việt như đã quy định ở Nội Quy Diễn Đàn.
• Đánh số thứ tự cho bài toán.
  
• Khi giải bài nhớ trích dẫn lại đề bài để mọi người cùng theo dõi.
• Chỉ giải lại các bài trước đó khi bạn có lời giải khác, đừng để trùng lặp câu trả lời nhé. (Nhớ trích dẫn lại câu trả lời trước để có thể tổng hợp lại các cách giải).
  
• Để Topic không bị tồn đọng mình mong rằng các bài tập sau khi được đăng lên đều nhận được lời giải, vì thế khi bài toán nào đăng lên 3 ngày nếu như không có ai giải, thì mình hy vọng chủ nhân bài toán sẽ đăng lời giải bài toán đó.
• Mọi bài giải phải đi đến đáp số cuối cùng để chắc chắn rằng hướng đi đó là chính xác nhé và nếu có kết luận thì quá tốt.
  
• Cuối cùng với mục đích có được bài toán đẹp mắt về mặt hình thức các bạn phải dùng LaTex nhé,xem tại đây và đẹp nhất khi dùng Fonts Times New Roman, Sizes 4.

Chuyên đề: Phương trình; hệ phương trình
​

Câu 1:$\left\{\begin{matrix} x^3+2xy^2+12y=0 \\ 8y^2+x^2=12 \end{matrix}\right.$

Câu 2: $\left\{\begin{matrix}2x^3+x^2+y^2=y(x+1)^2 \\ x(y+1)=2 \end{matrix}\right.$

Câu 3:$\left\{\begin{matrix}\sqrt[3]{10x-y}+\sqrt{3x-y}=3\\ 2x+y+\sqrt{3x-y}=5 \end{matrix}\right.$

Câu 4: $\left\{\begin{matrix} 3y^2+1+2y(x+1)=4y\sqrt{x^2+2y+1}\\ y(y-x)=3-3y \end{matrix}\right.$

Câu 5: $\left\{\begin{matrix} x^2+y^2+\frac{2xy}{x+y}=1\\ \sqrt{x+y}=x^2-y \end{matrix}\right.$

 

[hthtb22]

Giải các phương trình sau

$$\text{Câu 6}:3x^2+6x-3=\sqrt{\frac{x+7}{3}}\\\text{Câu 7:} x^2-3x+9=9\sqrt[3]{x-2}\\\text{Câu 8:}\sqrt{1+\sqrt{1-x^2}}=x(2+\sqrt{1-x^2})\\$$

Giải các bất phương trình sau

$$\text{Câu 9:}(2x^2-7x)\sqrt{2x^2-11x+14} \ge 0\\\text{Câu 10:} \sqrt{x^2+a^2} \le x+\frac{2a^2}{\sqrt{x^2+a^2}}$$

 

[vy000]

Không thi đh có được vào không?
Chém câu dễ nhất
Câu 6:

Đk:$x \ge 7$

$3x^2+6x-3=\sqrt{\dfrac{x+7}3}$

$\Leftrightarrow 3(x+1)^2-6=\sqrt{\dfrac{x+7}3}$

Đặt $\begin{cases} \sqrt{\dfrac{x+7}3}=a \ge 0\\ x+1=b\end{cases}$

$\Rightarrow \begin{cases}3b^2-6=a\\3a^2-6=b\end{cases}$

$\Rightarrow 3(b-a)(b+a)+b-a=0$

$\Leftrightarrow (b-a)(3a+3b+1)=0$

....

 

[sky_fly_s2]

[/LIST]

Chuyên đề: Phương trình; hệ phương trình
​

Câu 1:$\left\{\begin{matrix} x^3+2xy^2+12y=0 \\ 8y^2+x^2=12 \end{matrix}\right.$

$\left\{\begin{matrix} x^3+2xy^2+(8y^2+x^2)y=0 \\ 8y^2+x^2=12 \end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x^3+2xy^2+x^2y+8y^3=0 \\ 8y^2+x^2=12 \end{matrix}\right.$
với $y=0$ không phải ngiệm
với y#0
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \frac{x^3}{y^3}+2\frac{x}{y}+\frac{x^2}{y^2}+8=0 \\ 8y^2+x^2=12 \end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \frac{x}{y}=-2 \\ 8y^2+x^2=12 \end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=-2y \\ 8y^2+4y^2=12 \end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} y=1 \\ x=-2 \end{matrix}\right.$ hoặc $ \left\{\begin{matrix} y=-1 \\ x=2 \end{matrix}\right.$

 

[sky_fly_s2]

[/LIST]

Chuyên đề: Phương trình; hệ phương trình
​

Câu 2: $\left\{\begin{matrix}2x^3+x^2+y^2=y(x+1)^2 \\ x(y+1)=2 \end{matrix}\right.$

câu2.
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}2x^3+x^2+y^2=x^2y+2xy+y \\ x(y+1)=2 \end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}(x^2-y)(2x-y+1)=0 \\ x(y+1)=2 \end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x^2-y=0 \\ x(y+1)=2 \end{matrix}\right.$hoặc $\left\{\begin{matrix}2x-y+1=0 \\ x(y+1)=2 \end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x^2-y=0 \\ x^3+x-2=0 \end{matrix}\right.$hoặc $\left\{\begin{matrix}2x+2=y+1 \\ x^2+x-1=0 \end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=1 \\ y=1 \end{matrix}\right.$hoặc $\left\{\begin{matrix}x=\frac{1+\sqrt{5}}{2} \\ y=(\frac{1+\sqrt{5}}{2})^2 \end{matrix}\right.$hoặc $\left\{\begin{matrix}x=\frac{1-\sqrt{5}}{2} \\ y=(\frac{1-\sqrt{5}}{2})^2 \end{matrix}\right.$

 

[sky_fly_s2]

[/LIST]

Chuyên đề: Phương trình; hệ phương trình
​

Câu 3:[/U][/COLOR]$\left\{\begin{matrix}\sqrt[3]{10x-y}+\sqrt{3x-y}=3\\ 2x+y+\sqrt{3x-y}=5 \end{matrix}\right.$

Đặt $\left\{\begin{matrix}\sqrt[3]{10x-y}=a\\ \sqrt{3x-y}=b \end{matrix}\right.$
bằng phương pháp cân bằng hệ số ta có:
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}a+b=3\\ \frac{5a^3}{7}-\frac{12b^2}{7}+b=5 \end{matrix}\right.$
....................
thông cảm nhé!lười giải tiếp

 

[sky_fly_s2]

Chuyên đề: Phương trình; hệ phương trình
​

Câu 4:$\left\{\begin{matrix} 3y^2+1+2y(x+1)=4y\sqrt{x^2+2y+1}\\ y(y-x)=3-3y \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 3y^2+1+2xy+2y-4y\sqrt{x^2+2y+1}=0\\ y(y-x)=3-3y \end{matrix}\right.$(đk:$x^2+2y+1 \geq 0$)
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 4y^2-4y\sqrt{x^2+2y+1}+x^2+2y+1-y^2+2xy-x^2\\ y(y-x)=3-3y \end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} (2y-\sqrt{x^2+2y+1})^2-(y-x)^2=0\\ y(y-x)=3-3y \end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 2y-\sqrt{x^2+2y+1}-y+x=0\\ y^2+2xy-2y-2=0 \end{matrix}\right.$ hoặc $\left\{\begin{matrix} 2y-\sqrt{x^2+2y+1}+y-x=0\\ y^2+2xy-2y-2=0 \end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \sqrt{x^2+2y+1}=x+y\\ y^2+2xy-2y-2=0 \end{matrix}\right.$ hoặc $\left\{\begin{matrix} \sqrt{x^2+2y+1}=x-3y\\ y^2+2xy-2y-2=0 \end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} y^2+2xy-2y-1=0\\ y^2+2xy-2y-2=0 \end{matrix}\right.$(vô ngiệm) hoặc $\left\{\begin{matrix} 9y^2-6xy-2y-1=0\\ y^2+2xy-2y-2=0 \end{matrix}\right.$($3y-x \geq 0$)
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 12y^2-8y-7=0\\ y^2+2xy-2y-2=0 \end{matrix}\right.$($3y-x \geq 0$)
tìm ngiệm rồi thử với 2 điều kiện!!!

 

[trinhnhankiet]

Không thi đh có được vào không?
Chém câu dễ nhất
Câu 6:

Đk:$x \ge 7$

$3x^2+6x-3=\sqrt{\dfrac{x+7}3}$

$\Leftrightarrow 3(x+1)^2-6=\sqrt{\dfrac{x+7}3}$

Đặt $\begin{cases} \sqrt{\dfrac{x+7}3}=a \ge 0\\ x+1=b\end{cases}$

$\Rightarrow \begin{cases}3b^2-6=a\\3a^2-6=b\end{cases}$

$\Rightarrow 3(b-a)(b+a)+b-a=0$

$\Leftrightarrow (b-a)(3a+3b+1)=0$

....

có cách này nữa mấy e tham khảo nha
đặt
$\sqrt[2]{(x+7)/3} = y+1$ (đk... )
$\Leftrightarrow 3(x+1)^2 = y+7$
và $3(y+1)^2 = (x+7)$
ta có hệ phương trình đối xứng....

 

[nhox_lan]

[latex]\left\{\begin{matrix} x^2+y^2+\frac{2xy}{x+y}=1} (1 )\\ \sqrt{x+y}=x^2-y (2) \end{matrix}\right.[/latex]

Đk: x + y > 0

(1) \Leftrightarrow [latex](x + y)^2 – 2xy + \dfrac{2xy}{x + y} – 1 = 0 [/latex]

\Leftrightarrow[latex] (x + y)^3 – 2xy(x + y) + 2xy -(x + y) = 0[/latex]

\Leftrightarrow[latex] (x+y)[(x+y)^2- 1]-2xy(x+y-1)=0 [/latex]

\Leftrightarrow[latex] (x + y – 1)[(x+y)(x + y + 1)-2xy] = 0[/latex]

\Leftrightarrow[latex] \left[ {\begin{matrix}x + y = 1(3) \\ x^2+y^2+x+y=0 (4) \end{matrix} } \right.[/latex]

(4) vô nghiệm vì x + y > 0

Thế (3) vào (2) , giải được nghiệm của hệ : (x =1 ; y = 0) và (x = -2 ; y = 3)

 

[hthtb22]

Bài 11:

$$|\sqrt{x^2+2x+5}-\sqrt{x^2-4x+40}|=x^2+5x+\frac{45}{4}$$

Bài 12:

$$2(1-x)\sqrt{x^2+2x-1}=x^2-2x-1$$

Bài 13:

$$\left\{\begin{matrix} xy+x+1=7y\\ x^2y^2+xy+1=13y^2 \end{matrix}\right.$$

Bài 14:

$$\left\{\begin{matrix} x^3-y^3+3y^2-3x=2 \\ x^2+\sqrt{1-x^2}-3\sqrt{2y-y^2}=-2 \end{matrix}\right.$$

Bài 15:

$$\left\{\begin{matrix}(2x^2+y)(x+y)+x(2x+1)=7-2y \\ x(4x+1)=7-3y \end{matrix}\right.$$

 

[truongduong9083]

Bài 11:

$$|\sqrt{x^2+2x+5}-\sqrt{x^2-4x+40}|=x^2+5x+\frac{45}{4}$$

$\bullet$ Đặt $A(x; 0); B(-1; 2); C(2; 6)$
Ta có
$|AB - AC| \leq BC$
$ \Leftrightarrow |\sqrt{(x+1)^2+4} - \sqrt{(x-2)^2+36}| \leq 5$
$\Rightarrow VT \leq 5$
$\bullet$ $VP = x^2+5x+\dfrac{45}{4} = (x+\dfrac{5}{2})^2+5 \geq 5$
Dấu "=" xảy ra khi
$\left\{ \begin{array}{l} \vec{AB} = k\vec{BC} \\ x = -\dfrac{5}{2} \end{array} \right. \Rightarrow x = -\dfrac{5}{2}$

 

[truongduong9083]

Bài 13:

$$\left\{\begin{matrix} xy+x+1=7y\\ x^2y^2+xy+1=13y^2 \end{matrix}\right.$$

$\bullet$ Với y = 0 hệ phương trình vô nghiệm
$\bullet$ Với $y \neq 0$ chia hai vế phương trình (1) cho y, hai vế phương trình (2) cho $y^2$ ta được
$\left\{ \begin{array}{l} x+\dfrac{1}{y}+ \dfrac{x}{y} = 7\\ (x+\dfrac{1}{y})^2- \dfrac{x}{y} = 13 \end{array} \right.$
Giải hệ này ta được
$\left\{ \begin{array}{l} x+\dfrac{1}{y} = - 5 \\ x = 12y \end{array} \right.$ (I)
Hoặc
$\left\{ \begin{array}{l} x+\dfrac{1}{y} = 4 \\ x = 3y \end{array} \right.$ (II)
Giải hệ (I) vô nghiệm; hệ (II) có nghiệm $(x; y) = (3; 1)$ hoặc $(1; \dfrac{1}{3})$

 

[truongduong9083]

Bài 14:

$$\left\{\begin{matrix} x^3-y^3+3y^2-3x=2 \\ x^2+\sqrt{1-x^2}-3\sqrt{2y-y^2}=-2 \end{matrix}\right.$$

$\bullet$ Đk: $|x| \leq 1; 0 \leq y \leq 2$
$\bullet$ Phương trình (1) viết lại thành
$$x^3-3x = (y-1)^3-3(y-1) (*)$$
Xét hàm số đặc trưng cho hai vế phương trình (*) $f(t) = t^3- 3t$ với $|t| \leq 1$
Do hàm số y = f(t) là hàm số nghịch biến với mọi $|t| \leq 1$ nên suy ra $x = y - 1$
$\bullet$ Thay $y = x+1$ vào phương trình (2) ta được
$$x^2 + 2\sqrt{1-x^2} - 3 = 0$$
$$\Leftrightarrow (1 - x^2) + 2\sqrt{1-x^2} - 3 = 0$$
$$\Rightarrow \sqrt{1 - x^2} = 1$$
$$\Leftrightarrow x = 0$$
Vậy hệ có nghiệm duy nhất (x; y) = (0; 1)

 

[hthtb22]

Cách này ngắn hơn nhá
$x^2-3x+9=9\sqrt[3]{x-2}$
Vì $x^2-3x+9 >0$\Rightarrow $x-2 >0$ \Rightarrow$x>2$
Áp dụng bđt Cô- si 9 số ta có:
$x^2-3x+9=(x-2)^2+(x-2)+1+1+1+1+1+1+1 \ge 9\sqrt[9]{(x-2)^3}=9\sqrt[3]{x-2}$
Dấu = xảy ra \Leftrightarrow $x=3$

 

[l94]

Bài 12:

$$2(1-x)\sqrt{x^2+2x-1}=x^2-2x-1$$

Điều kiện $$ x \ge \sqrt{2}-1$$
Hoặc $$ x \le -\sqrt{2}-1$$
$$ \Longleftrightarrow 2(1-x)\sqrt{x^2+2x-1}=(x^2+2x-1)+4(1-x)-4$$
$$\Longleftrightarrow (2-\sqrt{x^2+2x-1})(\sqrt{x^2+2x-1}+2x)=0$$
$$\Longleftrightarrow x=-1+\sqrt{6}$$
$$x=-1-\sqrt{6}$$
Điều kiện $$ x \in (\propto ; -\sqrt{2}-1)$$
$$\Longleftrightarrow x^2+2x-1=4x^2 (VN)$$
Kết luận $$x=-1+\sqrt{6}$$
$$x=-1-\sqrt{6}$$

 

[hthtb22]

15 câu đầu tiên còn các câu sau:
Câu 8: $\sqrt{1+\sqrt{1-x^2}}=x(2+\sqrt{1-x^2})$

Câu 9: $(2x^2-7x)\sqrt{2x^2-11x+14} \ge 0$

Câu 10: $\sqrt{x^2+a^2} \le x+\frac{2a^2}{\sqrt{x^2+a^2}}$

Câu 15:
$\left\{\begin{matrix}(2x^2+y)(x+y)+x(2x+1)=7-2y \\ x(4x+1)=7-3y \end{matrix}\right.$

Mình khuyến khích các bạn post bài nhá

Bài 16:
$\sqrt[3] {x^2-1}+x=\sqrt{x^3-2}$

 

[truongduong9083]

15 câu đầu tiên còn các câu sau:
Câu 15:
$\left\{\begin{matrix}(2x^2+y)(x+y)+x(2x+1)=7-2y \\ x(4x+1)=7-3y \end{matrix}\right.$

Nhân hai phương trình ra lấy (1) - (2) ta được:
$$2x^3+2x^2y+xy+y^2-2x^2-y = 0$$
$$\Leftrightarrow 2x^2(x+y-1)+y(x+y-1) = 0$$
$$\Leftrightarrow (x+y-1)(2x^2+y) = 0$$
$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} y= 1 - x \\ y = -2x^2 \end{array} \right.$$
$\bullet$ Với $y = 1- x$ thay vào phương trình (2) ta được
$$x(4x+1) = 7 - 3(1-x)$$
$$\Leftrightarrow 2x^2 - x - 2 = 0$$
$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \dfrac{1-\sqrt{17}}{4} \\ x= \dfrac{1+\sqrt{17}}{4} \end{array} \right.$$
$\bullet$ Với $y = -2x^2$ Phương trình (2) trở thành
$$2x^2-x+7= 0 (L)$$
Vậy hệ phương trình có hai nghiệm $(x; y) = (\dfrac{3+\sqrt{17}}{4}; \dfrac{1-\sqrt{17}}{4})$ và $(\dfrac{1+\sqrt{17}}{4}; \dfrac{3-\sqrt{17}}{4})$

 

[kysybongma]

15 câu đầu tiên còn các câu sau:
Câu 8: $\sqrt{1+\sqrt{1-x^2}}=x(2+\sqrt{1-x^2}) (1)$

.ĐK : $x \in[-1;1]$ . Đặt $x=cos2t$

$(1)\Leftrightarrow \sqrt{1+sin2t}=cos2t(2+sin2t)$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 1=(cosx-sinx)(3-2sinxcosx) = 1 \\ sinx+cosx =0 (VN) \end{array} \right.$

$\Leftrightarrow 1=(cosx-sinx)(3-2sinxcosx)$

Tiếp tục đặt : $cosx-sinx=a$

$\Leftrightarrow 1=a(3-a^2)$

$\Leftrightarrow a^3-3a+1=0 $(2)

Đến đây ta chứng minh pt có nghiệm trên đoạn $[0;2]$
Đặt $a=2cosb$
$(2)\Leftrightarrow 2cos3a=-1$
Giải cái này tìm nghiệm ban đầu.

 

[hthtb22]

Mình giải câu 10 nhé ~:>

Đặt $x=|a|tan t$; $t \in (\frac{-\pi}{2};\frac{\pi}{2})$. Khi đó bất phương trình có dạng:

$$\frac{|a|}{cos t} \le |a|tan t+\frac{2a^2.cos t}{|a|}$$
\Leftrightarrow $$1\le sin t+2cos^2t$$
\Leftrightarrow $$2sin^2 t-sin t-1 \le 0$$
\Leftrightarrow $$\frac{-1}{2} \le sin t \le 1$$
\Leftrightarrow $$tan t \ge \frac{-1}{\sqrt{3}}$$
\Rightarrow $$x \ge \frac{-|a|}{\sqrt{3}}$$

 

[hthtb22]

Câu 9:

Tiếp(các câu khối B;D;T)

Bài 17: Giải hệ:
$$\left\{\begin{matrix} x^2y+y=2\\ x^2(1+y^2)=3-\frac{1}{x^2} \end{matrix}\right.$$
Bài 18: Giải hệ
$$\left\{\begin{matrix}x^3y-x^2+xy+1=0 \\ x^4-x^3y+x^2y^2=1 \end{matrix}\right.$$
Bài 19: Tìm m để hệ phương trình có nghiệm
$$\left\{\begin{matrix} \sqrt{x+1}+\sqrt{y-1}=m\\ x+y=2m+1 \end{matrix}\right.$$