Toán [Toán 9] bất đẳng thức(2)

[thientai_giangnamhaokiet]

2.Cho a,b,c tm dk:
[tex]\left\{ \frac{1}{1+a}+ \frac{35}{35+2b} \le \ \frac{4c}{4c+57} [/tex]
(Vs a,b,c>0).Tính Min P=abc.

5.[tex]\left\{ \begin{array}{l} x,y,z,t>0 \\ xyzt+1 \end{array} \right. [/tex]
CM:[tex] \frac{1}{x^3(yz+zt+ty)} + \frac{1}{y^3(xt+xz+zt)} + \frac{1}{t^3(xz+xy+yz)} +\frac{1}{z^3(xt+xy+yt)} \ge \ \frac{4}{3}[/tex]

9.Tìm Min,Max của:
P= [tex]\frac{(1+x)^8+16x^4}{(1+x^2)^4}[/tex]

 

[bboy114crew]

5.[tex]\left\{ \begin{array}{l} x,y,z,t>0 \\ xyzt+1 \end{array} \right. [/tex]
CM:[tex] \frac{1}{x^3(yz+zt+ty)} + \frac{1}{y^3(xt+xz+zt)} + \frac{1}{t^3(xz+xy+yz)} +\frac{1}{z^3(xt+xy+yt)} \ge \ \frac{4}{3}[/tex]

Bạn xem ở đây:
http://diendan.hocmai.vn/showthread.php?t=136209

[tex]\left\{ \frac{1}{1+a}+ \frac{35}{35+2b} \le \ \frac{4c}{4c+57} [/tex]
(Vs a,b,c>0).Tính Min P=abc.

Bài này từ [tex]\left\{ \frac{1}{1+a}+ \frac{35}{35+2b} \le \ \frac{4c}{4c+57} [/tex]
suy ra [tex] \frac{1}{1+a}+ \frac{35}{35+2b} + \frac{4c}{4c+57} \geq 2[/tex]
Đây là dạng quen thuộc rồi!

 

[thienvamai]

a,b,c>0 , ab+bc+ac=1. CMR
[TEX](1-a^2)(1-b^2)(1-c^2)\leq abc(a+b)(b+c)(c+a) [/TEx]

 

[thientai_giangnamhaokiet]

2.Cho a,b,c tm dk:
[tex]\left\{ \frac{1}{1+a}+ \frac{35}{35+2b} \le \ \frac{4c}{4c+57} [/tex]
(Vs a,b,c>0).Tính Min P=abc.
9.Tìm Min,Max của:
P= [tex]\frac{(1+x)^8+16x^4}{(1+x^2)^4}[/tex]

Bạn làm giúp mình thêm 2 bài này nữa,mình ko hiểu lắm

Bạn xem ở đây:
http://diendan.hocmai.vn/showthread.php?t=136209

Bài này từ [tex]\left\{ \frac{1}{1+a}+ \frac{35}{35+2b} \le \ \frac{4c}{4c+57} [/tex]
suy ra [tex] \frac{1}{1+a}+ \frac{35}{35+2b} + \frac{4c}{4c+57} \geq 2[/tex]
Đây là dạng quen thuộc rồi!

Cảm ơn bạn,nhưng b sử dụng bdt gì để chứng minh nó [TEX]\ge \[/TEX] 2 vậy?

 

[linhhuyenvuong]

9.tìm min,max của:
P= [tex]\frac{(1+x)^8+16x^4}{(1+x^2)^4}[/tex]

9,[tex]a^4+b^4 \geq \frac{(a+b)^4}{8}[/tex]

[tex]\frac{(1+x)^8+16x^4}{(1+x^2)^4}=\frac{(x^2+1+2x)^4+(-2x)^4}{(1+x^2)^4} \geq \frac{(1+x^2)^4}{8(1+x^2)^4}=\frac{1}{8}[/tex]

''='' \leftrightarrow [tex]x=-2+\sqrt{3}; x=-2-\sqrt{3}[/tex]

:d........................................................................................

 

[son9701]

a,b,c>0 , ab+bc+ac=1. CMR
[TEX](1-a^2)(1-b^2)(1-c^2)\leq abc(a+b)(b+c)(c+a) [/TEx]

Sử dụng kĩ thuật tách đối xứng:
Ta cm được: $(1-a^2)(1-b^2)$ \leq $(1-ab)^2$ (= biến đổi tg đg)
mà ab+bc+ca=1 nên:

[TEX](1-a^2)(1-b^2) \leq (bc+ca)^2=c^2(a+b)^2[/TEX]
Tg tự:
[TEX](1-b^2)(1-c^2) \leq a^2(b+c)^2[/TEX]
[TEX](1-c^2)(1-a^2) \leq b^2(a+c)^2[/TEX]

Nhân theo vế 3 bđt ta đc đpcm

 

[thientai_giangnamhaokiet]

Thử làm 1 số bài hình học BĐT nhé:
3.Cho tam giác ABC,M,N,P lần lượt trên BC,AC,AB.Gọi S1,S2,S3,S là diện tích S(APN),S(BPM),S(CMN) và S(ABC).Cm:
[TEX] \sqrt{S1}+ \sqrt{S2}+ \sqrt{S3}\le \ \frac{3}{2}\sqrt{S}[/TEX]
4.Cho a,b,c tm: [TEX]ax^2[/TEX]+bx+c=0 (vô nghiệm) và 0<a<b
CMR: [TEX]\frac{a+b+c}{b-a} > 3[/TEX]

 

[bo_ieu_tho]

Bạn làm giúp mình thêm 2 bài này nữa,mình ko hiểu lắm

Cảm ơn bạn,nhưng b sử dụng bdt gì để chứng minh nó [TEX]\ge \[/TEX] 2 vậy?

Lằng nhằng, chứng minh cái đó làm gì, đây là dạng điểm rơi BĐT cauchy mà.
Thử chứng minh theo cách đó xem.

P/s: Thứ lỗi cho em, nhác viết

 

[hthtb22]

 

[thienlong_cuong]

Thú vị vì BĐT có thể đảo vị trí a + b + c và ab + bc + ac ở 2 phân thức

[TEX]BDT \Leftrightarrow 1+ \frac{3}{(a+b+c)abc} \geq \frac{6}{ab + bc + ac}[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow 1 + \frac{3}{xy + yz + zx} \geq \frac{6}{x + y + z}[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow 1 + \frac{9}{t^2} \geq \frac{6}{t}[/TEX]

BĐT trên tương đương vs [TEX] (t - 3)^2 \geq 0[/TEX] ít is true nót phô

 

[linhhuyenvuong]

Cho a,b,c >0.
CMR: $ \dfrac{(a+b+c)^3}{abc}+9(\dfrac{ab+bc+ac}{a^2+b^2+c^2})^2 \ge 36$

 

[haibara4869]

Chứng minh bài này thử coi nha
Cho $a, b > 0$ thoả mãn $a + b = \dfrac{1}{2}$ . CMR:
$\dfrac{1}{a^2 + b^2} + \dfrac{10}{\sqrt{a}} + \dfrac{10}{\sqrt{b}} \ge 48$ .

 

[bo_ieu_tho]

Let $a, \, b, \, c > 0$ . Prove that
\[ \frac {a}{b}+\frac {b}{c}+\frac {c}{a}+\frac {63}{2}\frac {
( ab+bc+ac ) ^2}{ \left( a+b+c \right) ^4}\ge \frac{13}{2} \]

 

[quangltm]

biết x^2 + y^2 + z^2 = 3
CMR : xy/z + xz/y + yz/x >=3

$C_1$: Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với
$x^2y^2 + y^2z^2 +z^2x^2 \ge 3xyz$
Bình phương, áp dụng $(a+b+c)^2 \ge 3(ab+bc+ca)$
$C_2$:
$$(\sum \frac {xy}z)^2 = \sum (\frac {xy}z)^2 +2 (x^2+y^2+z^2)=\sum (\frac {xy}z)^2 + 6$$
Mà $\sum (\frac {xy}z)^2 \overset{AM-GM} \ge x^2+ y^2 + z^2 \implies (\sum \frac {xy}z)^2 \ge 9 \implies Q.E.D$

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:
$x^2y^2 + y^2z^2 +z^2x^2 \ge 3xyz$

cái này cần thêm điều kiện của $x,y,z$ mới khẳng định được

 

[haibara4869]

Cho $a,b \geq 0$ thỏa mãn $a+b=\sqrt{10}$. CMR $(1+a^4)(1+b^4) \leq 101$

 

[bosjeunhan]

Chứng minh bài này thử coi nha
Cho $a, b > 0$ thoả mãn $a + b = \dfrac{1}{2}$ . CMR:
$\dfrac{1}{a^2 + b^2} + \dfrac{10}{\sqrt{a}} + \dfrac{10}{\sqrt{b}} \ge 48$ .

$\bullet$ Áp dụng liên tiếp bất đẳng thức $AM-GM$ ta có:
\[\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{4}{\ sqrt{a}}+\frac{4}{\sqrt{a}}+\frac{4}{ \sqrt{b}}+\frac{4}{\sqrt{b}}\geq 5.\sqrt[5]{\frac{4^4}{(a^2+b^2)ab}}\]
\[=5.\sqrt[5]{\frac{2^{11}}{8(a^2+b^2)ab}}= 5.\sqrt[5]{\frac{2^{11}}{4(a^2+b^2)2ab}}\]
\[\geq 5.\sqrt[5]{\frac{2^{11}}{(a+b)^4}}=5.\sqrt[5]{2^{15}}=40\]
$\bullet$ Và mặt khác ta lại có:
\[\frac{2}{\sqrt{a}}+\frac{2}{\sqrt{b}}\geq \frac{4}{\sqrt[4]{ab}}\geq \frac{4\sqrt{2}}{\sqrt{a+b}}\]
\[=4\sqrt{2}.\sqrt{2}=8\]
Cộng 2 bất đẳng thức cùng chiều trên ta có điều phải chứng minh thôi :") $\square$


..

 

[son9701]

Cho $a^2+b^2+c^2 =3$ Tìm GTNN của :

$$ S = \frac{1}{a}+ \frac{1}{b}+\frac{1}{c}+ \frac{3}{2}(a+b+c) $$

Đề thi vào lớp 10 chuyên Vĩnh Phúc ​

 

[cyberman184]

Với a,b,c > 0. CMR :
1. [TEX]\frac{a^3}{a + 2b} + \frac{b^3}{b + 2c} + \frac{c^3}{c + 2a} \geq \frac{1}{3} (\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} +\frac{1}{c^2}) [/TEX]
2.[TEX]\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{4c^2}{a}\geq a+3b[/TEX]
3.[TEX]\frac{1}{a^2 +1}+\frac{1}{b^2 +1}+\frac{1}{c^2 +1} \geq \frac{3}{2}[/TEX]
4.[TEX]\frac{a^3}{a^2 +ab + b^2}+\frac{b^3}{b^2 +bc + c^2}+\frac{c^3}{c^2 +ca + a^2} \geq \frac{a+b+c}{3}[/TEX]

 

[nttthn_97]

2)
$\frac{a^2}{b}+b$[TEX]\geq[/TEX]$2a$

$\frac{b^2}{c}+4c$[TEX]\geq[/TEX]$4b$

$\frac{4c^2}{a}+a$[TEX]\geq[/TEX]$4c$

$VT$[TEX]\geq[/TEX]$2a+4b+4c-b-4c-a=a+3b$

 

[ilovescience]

bài 3 bạn cần kiểm tra lại điều kiện của a,b,c. mình sẽ đưa ra lời giải bài 4.Đặt biểu thức ở vê trái là S.ta có:[TEX]\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}-\frac{b^3}{b^2+ab+a^2}=\frac{(a-b).(a^2+ab+b^2)}{a^2+ab+b^2}=a-b[/TEX]
tương tự: [TEX]\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}-\frac{c^3}{b^2+bc+c^2}=b-c ; \frac{c^3}{c^2+ac+a^2}-\frac{a^3}{a^2+ac+c^2}=c-a[/TEX]
từ đó suy ra: S[TEX]-(\frac{b^3}{b^2+ab+a^2}+\frac{c^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{a^3}{a^2+ac+c^2})=a-b+b-c+c-a=0[/TEX]
\Rightarrow 2S=S+[TEX]\frac{b^3}{b^2+ab+a^2}+\frac{c^3}{b^2+bc+c^2}+ \frac{a^3}{a^2+ac+c^2}[/TEX]
ta có:[TEX]\frac{a^3}{b^2+ab+a^2}+\frac{b^3}{b^2+ab+a^2}=(a+b).\frac{a^2+b^2-ab}{b^2+ab+a^2}[/TEX]
ta thấy : [TEX]a^2+b^2 \geq 2ab\geq0 \Rightarrow \frac{2ab}{a^2+ab+b^2}\leq \frac{2ab}{3ab}=\frac{2}{3}[/TEX]
suy ra:[TEX]1- \frac{2ab}{a^2+ab+b^2}\geq 1-\frac{2}{3}=\frac{1}{3}[/TEX]
dó đó:[TEX]\frac{a^3}{b^2+ab+a^2}+\frac{b^3}{b^2+ab+a^2}\geq \frac{a+b}{3}[/TEX]. tương tự , ta có:..... \Rightarrow [TEX]2S\geq \frac{a+b+b+c+a+c}{3}[/TEX]
suy ra: [TEX]S\geq\frac{a+b+c}{3}[/TEX](Đpcm)