Tìm min, max.

[sweet_girl96]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1,Tìm min, max của hàm số sau:
$y=\sqrt{1+2cosx}+\sqrt{1+2sinx}$
2, Cho $p,q\geq1$ và $p,q \in \ N$. Tìm max của hàm số:
$y= sin^{p}x.cos^{q}x$
Câu 1. Ngày 01/09/2012

 

[th1104]

2, Chop,q\geq1và p,q [TEX]\in[/TEX] N. Tìm max của hàm số:
[TEX] y= sin^{p}x.cos^{q}[/TEX]x
Câu 1. Ngày 01/09/2012

Ta có
[TEX]1=sin^2x+cos^2x=p.\frac{cos^2x}{p}+q.\frac{sin^2x} {q} \ge (p+q) \sqrt[p+q]{\frac{y^2}{p^p q^q}}[/TEX]

 

[th1104]

1,Tìm min, max của hàm số sau:
$y=\sqrt{1+2cosx}+\sqrt{1+2sinx}$

Câu 1. Ngày 01/09/2012

Điều kiện:
$\left\{\begin{matrix}1+2sinx \geq 0\\ 1+2cosx \geq 0\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}sinx \geq \frac{-1}{2}\\ cos x \geq \frac{-1}{2} \end{matrix}\right.$


$ \Leftrightarrow\frac{-\pi}{6} + k 2 \pi \leq x \leq \frac{2\pi}{3} + k 2 \pi$

Vì chu kì của sinx và cosx là $2\pi$ nên ta cần xét trên $[-\pi; \pi]$

Do đó: $\dfrac{-\pi}{6} \leq x \leq \dfrac{2\pi}{3}$

Ta có :

$y^2 = 2 + 2(sinx +cosx) + 2 \sqrt{(1+2sinx)(1+2cosx)} $

= $2 + 2\sqrt{2} sin(x+ \frac{\pi}{4}) + 2 \sqrt{1+ 2 \sqrt{2} sin(x+ \frac{\pi}{4}) + 2sin2x} $

Ta lại có:

$\frac{-\pi}{6}\leq x \leq \frac{2\pi}{3} $

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}\frac{\pi}{12} \leq x + \frac{\pi}{4} \leq \frac{11\pi}{12}\\ \frac{-\pi}{3} \leq 2x \leq \frac{4\pi}{3} \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \sqrt{3} - 1 \leq 2\sqrt{2} sin(x+ \frac{\pi}{4}) \leq 2\sqrt{2}\\ \frac{-\sqrt{3}}{2} \leq sin2x \leq 1 \end{matrix}\right.$


Suy ra:

$y^2 \leq 2 + 2\sqrt{2} + 2 \sqrt{3+2\sqrt{2}}$ = $2 + 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{(\sqrt{2}+1)^2}$ = $4 +4 \sqrt{2}$


Do đó$max y = 2 \sqrt{\sqrt{2} +1} \Leftrightarrow x = \frac{\pi}{4}$

Tương tự ta được. hic hic

$y^2 \geq \sqrt{3} + 1$

$\Rightarrow Min y = \sqrt{\sqrt{3} + 1} \Leftrightarrow x = \frac{-\pi}{6}$

 

[hthtb22]

Câu 2:
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho p+q số trong đó p số có dạng $\dfrac{\sin^2 x}{p}$ và q số có dạng $\dfrac{\cos^2 x}{q}$.

Ta có:
$$\begin{matrix} \frac{\underbrace{\frac{\sin^2 x}{p}+...+\dfrac{\sin^2 x}{p}}\\ \text{p số} + \underbrace{\frac{\cos^2x}{q}+...+\frac{\cos^2}{q}}\\ \text{q số}}{p+q} \ge \frac{\sin^{2p} x+\cos^{2p} x}{p^pq^q}\end{matrix}.\\$$
\Rightarrow $(\dfrac{1}{p+q})^{p+q} \ge \frac{\sin ^{2p}x.\cos ^{2q} x}{p^pq^q}$

\Rightarrow $\cos^p x . \sin^p x \le \sqrt{\frac{p^pq^q}{(p+q)^{p+q}}}$

Dấu = xảy ra \Leftrightarrow $a=arctg \sqrt{\frac{p}{q}}$