Tìm min, max.

Thảo luận trong 'Hàm số và phương trình lượng giác' bắt đầu bởi sweet_girl96, 8 Tháng bảy 2012.

Lượt xem: 1,287

  1. sweet_girl96

    sweet_girl96 Guest

    Sở hữu bí kíp ĐỖ ĐẠI HỌC ít nhất 24đ - Đặt chỗ ngay!

    Đọc sách & cùng chia sẻ cảm nhận về sách số 2


    Chào bạn mới. Bạn hãy đăng nhập và hỗ trợ thành viên môn học bạn học tốt. Cộng đồng sẽ hỗ trợ bạn CHÂN THÀNH khi bạn cần trợ giúp. Đừng chỉ nghĩ cho riêng mình. Hãy cho đi để cuộc sống này ý nghĩa hơn bạn nhé. Yêu thương!

    1,Tìm min, max của hàm số sau:
    $y=\sqrt{1+2cosx}+\sqrt{1+2sinx}$
    2, Cho $p,q\geq1$ và $p,q \in \ N$. Tìm max của hàm số:
    $y= sin^{p}x.cos^{q}x$
    Câu 1. Ngày 01/09/2012
     
    Last edited by a moderator: 2 Tháng chín 2012
  2. th1104

    th1104 Guest

    Ta có
    [TEX]1=sin^2x+cos^2x=p.\frac{cos^2x}{p}+q.\frac{sin^2x} {q} \ge (p+q) \sqrt[p+q]{\frac{y^2}{p^p q^q}}[/TEX]
     
  3. th1104

    th1104 Guest

    Điều kiện:
    $\left\{\begin{matrix}1+2sinx \geq 0\\ 1+2cosx \geq 0\end{matrix}\right.$

    $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}sinx \geq \frac{-1}{2}\\ cos x \geq \frac{-1}{2} \end{matrix}\right.$


    $ \Leftrightarrow\frac{-\pi}{6} + k 2 \pi \leq x \leq \frac{2\pi}{3} + k 2 \pi$

    Vì chu kì của sinx và cosx là $2\pi$ nên ta cần xét trên $[-\pi; \pi]$

    Do đó: $\dfrac{-\pi}{6} \leq x \leq \dfrac{2\pi}{3}$

    Ta có :

    $y^2 = 2 + 2(sinx +cosx) + 2 \sqrt{(1+2sinx)(1+2cosx)} $

    = $2 + 2\sqrt{2} sin(x+ \frac{\pi}{4}) + 2 \sqrt{1+ 2 \sqrt{2} sin(x+ \frac{\pi}{4}) + 2sin2x} $

    Ta lại có:

    $\frac{-\pi}{6}\leq x \leq \frac{2\pi}{3} $

    $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}\frac{\pi}{12} \leq x + \frac{\pi}{4} \leq \frac{11\pi}{12}\\ \frac{-\pi}{3} \leq 2x \leq \frac{4\pi}{3} \end{matrix}\right.$

    $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \sqrt{3} - 1 \leq 2\sqrt{2} sin(x+ \frac{\pi}{4}) \leq 2\sqrt{2}\\ \frac{-\sqrt{3}}{2} \leq sin2x \leq 1 \end{matrix}\right.$


    Suy ra:

    $y^2 \leq 2 + 2\sqrt{2} + 2 \sqrt{3+2\sqrt{2}}$ = $2 + 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{(\sqrt{2}+1)^2}$ = $4 +4 \sqrt{2}$


    Do đó$max y = 2 \sqrt{\sqrt{2} +1} \Leftrightarrow x = \frac{\pi}{4}$

    Tương tự ta được. hic hic

    $y^2 \geq \sqrt{3} + 1$

    $\Rightarrow Min y = \sqrt{\sqrt{3} + 1} \Leftrightarrow x = \frac{-\pi}{6}$
     
    Last edited by a moderator: 12 Tháng chín 2012
  4. hthtb22

    hthtb22 Guest

    Câu 2:
    Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho p+q số trong đó p số có dạng $\dfrac{\sin^2 x}{p}$ và q số có dạng $\dfrac{\cos^2 x}{q}$.

    Ta có:
    $$\begin{matrix} \frac{\underbrace{\frac{\sin^2 x}{p}+...+\dfrac{\sin^2 x}{p}}\\ \text{p số} + \underbrace{\frac{\cos^2x}{q}+...+\frac{\cos^2}{q}}\\ \text{q số}}{p+q} \ge \frac{\sin^{2p} x+\cos^{2p} x}{p^pq^q}\end{matrix}.\\$$
    \Rightarrow $(\dfrac{1}{p+q})^{p+q} \ge \frac{\sin ^{2p}x.\cos ^{2q} x}{p^pq^q}$

    \Rightarrow $\cos^p x . \sin^p x \le \sqrt{\frac{p^pq^q}{(p+q)^{p+q}}}$

    Dấu = xảy ra \Leftrightarrow $a=arctg \sqrt{\frac{p}{q}}$
     
Chú ý: Trả lời bài viết tuân thủ NỘI QUY. Xin cảm ơn!

Draft saved Draft deleted

CHIA SẺ TRANG NÀY

-->