Topic dành cho những bạn nào 94 năm nay thi đại học!!!!!! Ver.2

[duynhan1]

3. $$\begin{cases} 2x^2-y^2+(y^2+6)\sqrt{3x^2-1}=12x & (1) \\ \sqrt{x+y} =\sqrt{x-y}+\sqrt{4x-y^2}& (2) \end{cases}$$

Cách khác để xử lý phương trình (2) :-?
Điều kiện: $\begin{cases} 3x^2-1 \ge 0 \\ x \ge y \\ x \ge -y \\ 4x-y^2 \ge 0 \end{cases} \quad (*)$
Từ phương trình (2) ta suy ra: $$\begin{aligned} & - 2 \sqrt{x^2-y^2} = 2x-y^2 \\ \Rightarrow & (y^2-2x)^2 = 4 (x^2-y^2) \\ \Leftrightarrow & y^4 - 4xy^2 + 4y^2 = 0 \\ \Leftrightarrow & \left[ \begin{array}{l} y = 0 \\ y^2 -4x + 4 = 0 \end{array} \right. \end{aligned} $$

 

[hn3]

Sáng nay thi ....ngồi mò mãi nghiệm câu lượng giác đã chán lắm rồi , vậy mà câu hệ lại còn ..trêu ngươi thêm nữa ......( (



Câu V: Cho 3 số thực dương [TEX]$x,y,z$[/TEX] thoả mãn [TEX]$x+3y+5z\leq3$[/TEX] .Chứng minh rằng :

[TEX]$3xy\sqrt{625z^4+4}+5xz\sqrt{81y^4+4}+15yz\sqrt{x^4+4}\geq 45\sqrt{5}xyz$[/TEX]

---------HẾT -------------
​

Thí sinh không được sử dụng tài liệu ,( đề đúng ) AlizeeDuong không giải thích gì thêm !!

[TEX]P=3xy\sqrt{625z^4+4}+5xz\sqrt{81y^4+4}+15yz\sqrt{x^4+4}[/TEX]

[TEX]P=\sqrt{5625x^2y^2z^4+36x^2y^2}+\sqrt{2025x^2z^2y^4+100x^2z^2}+\sqrt{225y^2z^2x^4+900y^2z^2}[/TEX]

[TEX]P \geq \sqrt{(75xyz^2+45xzy^2+15yzx^2)^2+(6xy+10zx+30yz)^2}[/TEX]

[TEX]<=> P \geq \sqrt{[15xyz(x+3y+5z)]^2+(6xy+30yz+10zx)^2}[/TEX]

Mà [TEX]6xy+30yz+10zx=xyz(\frac{6}{z}+\frac{10}{y}+\frac{30}{x})=30xyz(\frac{1}{x}+\frac{1}{3y}+\frac{1}{5z})[/TEX]

Vậy , [TEX]<=> P \geq \sqrt{[15xyz(x+3y+5z)]^2+[30xyz(\frac{1}{x}+\frac{1}{3y}+\frac{1}{5z})]^2[/TEX]

[TEX]==> P \geq \sqrt{2.15.30.3.(xyz)^2}[/TEX]

[TEX]<=> P \geq 30\sqrt{3}xyz[/TEX]

Sao mình không sử dụng đến [TEX]x+3y+5z \leq 3[/TEX] và đáp số khác đề bài nhỉ ? :khi (64): :khi (41):

 

[lovesix4ever]

tìm điều kiện m để pt có nghiệm thực

CMR vs mọi m, pt luôn có nghiệm duy nhất

 

[duynhan1]

[TEX]<=> P \geq 30\sqrt{3}xyz[/TEX]

Sao mình không sử dụng đến [TEX]x+3y+5z \leq 3[/TEX] và đáp số khác đề bài nhỉ ? :khi (64): :khi (41):

Đó là vì đến đây BĐT đã bị ngược dấu, $30 \sqrt{3} < 40 \sqrt{5}$

 

[duynhan1]

Câu V: Cho 3 số thực dương $x,y,z$ thoả mãn $x+3y+5z\leq3$ .Chứng minh rằng :
$3xy\sqrt{625z^4+4}+5xz\sqrt{81y^4+4}+15yz\sqrt{x^4+4}\geq 45\sqrt{5}xyz$

Chia 2 vế bất đẳng thức đã cho cho $15\ xyz$ ta có:
$$\begin{aligned} & \sqrt{25z^2 + \frac{4}{25z^2}} + \sqrt{9y^2+\frac{4}{9y^2}} + \sqrt{x^2+\frac{4}{x^2}} \ge 3 \sqrt{5} \\ \Leftrightarrow & \sqrt{ \left(25z^2 + \frac{4}{25z^2} \right) \left(1+4 \right)} + \sqrt{ \left(9y^2+\frac{4}{9y^2} \right) \left(1+4 \right)} + \sqrt{ \left(x^2+\frac{4}{x^2} \right) \left(1+4 \right)} \ge 15 \end{aligned}$$
Mặt khác, theo BĐT $Cauchy-Schwarz$ ta có:
$$ \begin{cases} \left(25z^2+ \frac{4}{25 z^2} \right)\left(1+4\right) \ge \left(5z+ \frac{4}{5z}\right)^2 \\ \left(9y^2+\frac{4}{9y^2}\right)\left(1+4\right) \ge \left(3y+\frac{4}{3y}\right)^2 \\ \left(x^2+ \frac{4}{x^2}\right)\left(1+4\right) \ge \left(x+ \frac{4}{x}\right)^2 \end{cases} $$ Do đó ta chỉ cần chứng minh:
$$x+3y+5z + \frac{4}{x} + \frac{4}{3y} + \frac{4}{5z} \ge 15 $$ Theo BĐT $Cauchy-Schwarz$, ta lại có: $\frac{1}{x} + \frac{1}{3y} + \frac{1}{5z} \ge \frac{9}{x+3y+5z}$. Do đó đặt $t=x+3y+5z \le 3$ thì ta cần chứng minh: $$\begin{aligned} & t + \frac{36}{t} \ge 15 \\ \Leftrightarrow & \left(t-3\right)\left(t-12\right) \ge 0 \text{(luôn đúng do } t \le 3 \text{)} \end{aligned}$$. Bất đẳng thức đươc chứng minh.
Dấu "=" xảy ra chẳng hạn như: $\begin{cases} x=1 \\ y = \frac13 \\ z=\frac15 \end{cases}$

P/s: Thực ra dấu "=" trên là duy nhất nhưng để đỡ trình bày lòng vòng, nêu thẳng ra cũng được :-s

 

[hn3]

Từ Hệ BĐT Cauchy-Schwarz sang Do đó ta chỉ cần chứng minh , thực sự chưa hiểu :-/ :-?? :-SS

Hiểu rồi hì

 

[maxqn]

Thì cái đó trục căn thức thôi mà @_@
-------------------------------------------------

 

[hoanghondo94]

Các tình iu có thể làm được bao nhiêu câu trong số những câu này... Tớ thấy câu nào cũng khó , hay tại IQ tớ có hạn ( (

 

[tbinhpro]

tìm điều kiện m để pt có nghiệm thực

Bài 1:
[TEX]PT\Leftrightarrow (y-1)^2-2\sqrt{1-(y-1)^{2}}+m=0[/TEX]

Đặt [TEX]t=(y-1)^{2} \ (DK: \ 0\leq t \leq 1)[/TEX], Ta có:
PT đã cho có nghiệm khi và chỉ khi PT sau có nghiệm [TEX]t\in [0;1][/TEX]:
[TEX]m=2\sqrt{1-t^2}-t^2[/TEX]

Xét hàm số [TEX]f(t)=2\sqrt{1-t^2}-t^2 \ Voi t\in [0;1][/TEX] có:

[TEX]f'(t)=\frac{-2t}{\sqrt{1-t^2}}-2t<0 \ \forall t\in [0;1][/TEX]

[TEX]\Rightarrow 2\geq f(t)\geq -1[/TEX]

Vậy PT đã cho có nghiệm khi và chỉ khi [TEX]-1\leq m\leq 2[/TEX]

Mình mới kịp làm bài này thôi bạn thông cảm nhé! Tranh thủ 5ph thôi, giờ t đi ăn cơm tí còn đi học nữa! Bye!

 

[drthanhnam]

Thằng em mình vừa thi thử ở Trường Đại học hồng Đức về, đề rất trâu. Các bạn làm thử xem thế nào


Công nhận trâu thật )

 

[duynhan1]

Câu II.2: Dựa theo cảm giác ta đặt $1-2y = \sqrt{3x+4}$ lập tức ta có hệ: $$\begin{cases} 4x^2 = 5x + 2y + 3 \\ 4y^2 = 3x+ 4y+3 \end{cases} $$ Trừ vế theo vế ta được: $$4(x^2-y^2) = 2(x-y) $$
P/s: Hôm nay lười, giải chừng ni thôi , chỗ cảm tính đó là do $4x^2 - 5x = (2x-1)^2 -x-1$

 

[hardyboywwe]

1/Trong mặt phẳng Oxy,cho 2 đường thẳng [TEX]d_1 : 3x + y + 5 = 0[/TEX] và [TEX]d_2: 3x + y + 1 = 0[/TEX] và điểm I(1;-2).Viết phương trình đường thẳng đi qua I và cắt [TEX]d_1,d_2[/TEX] lần lượt tại A và B sao cho AB = [TEX]2\sqrt{2}[/TEX]

2/Trong không gian Oxyz cho 2 điểm A(-1;-1;2),B (-2;-2;1) và mặt phẳng (P) có phương trình x + 3y -z + 2 = 0.Viết phương trình mặt phẳng (Q) là mặt phẳng trung trực của đoạn AB,gọi [tex]\large\Delta[/tex] là giao tuyến của (P) và (Q).Tìm điểm M thuộc đoạn [tex]\large\Delta[/tex] sao cho OM nhỏ nhất.

 

[duynhan1]

Câu Tích phân: Để đơn giản ta chia xuống đã, sau khi chia xong ta cần tính tích phân: $$\int_2^5 \frac{e^x(2x-1)}{e^x (x-1) + \sqrt{x-1}} dx $$
Chia tử mẫu cho $\sqrt{x-1}$ và để ý: $\text{d} \left( e^x \sqrt{x-1}+1 \right) = \frac{e^x(2x-1)}{\sqrt{x-1}} \text{dx } $

 

[drthanhnam]

@duynhan1: Cách của bạn rất thông minh, và đó cũng là đáp án mà trường đưa ra. Nhưng mình nghĩ bài phương trình thì cách này là không phù hợp với phần lớn học sinh và cách đó có lẽ chỉ người ra đề và số ít học sinh có thể nghĩ ra được.
Mình xin trình bày cách của mình như sau, cách này khá thông dụng và đã dùng trong nhiều bài.
Ta có:
[tex]4x^2-2x=3x+4-\sqrt{3x+4}\Leftrightarrow 4x^2+2x+1/4=3x+4-\sqrt{3x+4}+1/4\Leftrightarrow (2x+1/2)^2=(\sqrt{3x+4}+1/2)^2[/tex]
Thân!

 

[maxqn]

Sáng qua thầy mới cho làm đề này. Hè. Cũng tương đối chứ k lắt léo lắm. Mọi ng làm thử xem ^^

 

[drthanhnam]

@maxqn
1/Bài lượng giác:
[tex]\frac{cosx+1}{cosx}+5cosx=2cos^2x+5\Leftrightarrow 2cos^3x-5cos^2x+4cosx-1=0[/tex]
Dễ giải được 1 nghiệm cosx=1. CHia đa thức để tìm các nghiệm còn lại
^^
2/ Bài tích phân:
[tex](x^2-4)lnx=0\Leftrightarrow \[x=2 \\ x=-2[/tex]
Vậy diện tích cần tìm:
[tex]S=\int_{-2}^{2}(x^2-4)lnxdx[/tex]
Đặt:
[tex]\{lnx=u\Rightarrow du=\frac{dx}{x} \\ (x^2-4)dx=dv\Rightarrow v=\frac{x^3}{3}-4x[/tex]
Vậy ta được:
[tex]S=lnx(\frac{x^3}{3}-4x)-\int_{-2}^{2}(\frac{x^3}{3}-4x)\frac{dx}{x}[/tex]
Coi như xong ^^

 

[drthanhnam]

Câu 5.
Ta có:
[tex]P=(x^2-x+\frac{1}{x})+(z+\frac{9}{z})+(\frac{1}{x}+\frac{4}{y}+\frac{9}{z})[/tex]
Mặt khác:
[tex]\frac{1}{x}+\frac{4}{y}+\frac{9}{z}\geq \frac{(1+2+3)^2}{x+y+z}\geq 6[/tex]
Dấu "=" xảy ra khi x=1; y=2; z=3
[tex]z+\frac{9}{z}\geq 2\sqrt{z.\frac{9}{z}}=6[/tex]
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi z=3
Xét hàm số : [tex]f(x)=x^2-x+\frac{1}{x}[/tex] với [tex]0< x \leq 6[/tex]
Ta có:
[tex]f'(x)=2x-1-\frac{1}{x^2}[/tex]

f'(x)=0 => x=1
Lập bảng biến thiên dễ dàng thấy [tex]f(x)\geq 1\Leftrightarrow x=1[/tex]

Vậy [tex]P\geq 6+6+1=13[/tex]
Dấu "=" xảy ra khi x=1; y=2; z=3

 

[maxqn]

Câu 5 vầy cho nhanh

$$ x + y + z \leq 6 \Rightarrow -x \geq y + z - 6$$

$$P \geq x + \frac{1}{x} + \frac1{x} + 2(z + \frac{9}{z}) + y + \frac{4}y - 6 \geq 13$$

Đẳng thức xảy ra khi $$ \begin{cases} x + y + z \leq 6 \\ x = \frac{1}{x} \\ y = \frac{4}{y} \\ z = \frac{9}{z} \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x = 1 \\ y = 2 \\ z = 3 \end{cases}$$

P.s: hwa k nhìn thấy câu tphân (

 

[binhmaster10a4]

Hehe! Xơi câu hàm số là cái chắc rồi!
Ta có:
[TEX]A(0;m+1)[/TEX]
[TEX]y'=3x^2-mx-(3m+1)\Rightarrow y'(0)=-3m-1[/TEX]
[TEX]\Rightarrow OB=|m+1|.|3m+1|\Rightarrow S_{AOB}=\frac{1}{2}.(m+1)^{2}.|3m+1|=\frac{1}{2}[/TEX]

Đến đây là Okie nhé!

 

[binhmaster10a4]

Câu II2:

[TEX]DK: x>0[/TEX]
[TEX]PT\Leftrightarrow x\sqrt{x}+3^{\log_{2}\sqrt{x}}+5^{log_2x}=x.3^{log_2x}[/TEX]
(Đề nhìn mờ quá, không biết đúng là [TEX]5^{log_2x}[/TEX] không)

Đặt [TEX]t=log_2\sqrt{x}}\Rightarrow \sqrt{x}=2^t[/TEX]

[TEX]PT\Leftrightarrow 2^{3t}+3^t+5^{2t}=2^{2t}.3^{2t}[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow 8^t+3^t+25^t=36^t\Leftrightarrow (\frac{8}{36})^t+(\frac{3}{36})^t+(\frac{5}{36})^t=1[/TEX]

PT trên có nghiệm duy nhất [TEX]t=1\Rightarrow x=2^2=4[/TEX]

Vậy PT đã cho có nghiệm duy nhất [TEX]x=4[/TEX]