Toán [Toán 9] bất đẳng thức(2)

[bboy114crew]

8-| Lời giải Không hề tự nhiên !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
Có phương hướng suy nghĩ nào tự nhiên hơn ko !?

PP tiếp tuyến đó em à!
.................................

 

[shayneward_1997]

Các bác bá đạo quá! Bọn em còn chưa đả động gì đến phần đồ thị hàm số nữa cơ

 

[bosjeunhan]

Lâu lâu ko ngó vô đây ). Đi xuống quá =((
Từ gt [TEX]ab+bc+ca=3[/TEX] ta suy ra được:
[TEX]+)a(b+c)=3-bc\Rightarrow a^2(b+c)=3a-abc[/TEX]
[TEX]+)3=ab+bc+ca\geq 3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}\Rightarrow abc\leq 1[/TEX]
Vậy:
[TEX]\frac{1}{1+a^2(b+c)}=\frac{1}{1+3a-abc}\leq \frac{1}{3a}[/TEX]
Xây dựng các BĐT tương tự ta có:
[TEX]VT\leq \frac{1}{3a}+\frac{1}{3b}+\frac{1}{3c}=\frac{ab+bc+ca}{3abc}=\frac{1}{abc}=VP<Q.E.D>[/TEX]
Dấu bằng xảy ra khi [TEX]a=b=c=1[/TEX]

Đúng nhưng có thể rút gọn lại như sau:
Ta có [TEX]abc \leq 1[/TEX] nên [TEX]\frac{1}{1+c^2(a+b)} \leq \frac{1}{abc+c^2a+c^2b} = \frac{1}{3c}[/TEX] chứ ko cần đoạn trước.

Cho a,b,c >0 CMR

[TEX]\frac{a}{\sqrt[]{a^2+b^2}}+\frac{b}{\sqrt[]{b^2+c^2}}+\frac{c}{\sqrt[]{c^2+a^2}} \leq \frac{3.\sqrt[]{2}}{2}[/TEX]

2/Cho a;b;c dương.Cmr:
[tex]\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}+\frac{b}{\sqrt{b^2+c^2}}+\frac{c}{\sqrt{c^2+a^2}} \leq \frac{3}{\sqrt{2}}[/tex]

(Đề thi đề nghị vô địch toán Trung Quốc (hay là China TST gì đó)

Bạn nên nhìn kĩ xem, bài mình viết đã có ai viết chưa, để pic khỏi trùng

Nỏ có việc chi làm chế ra cái bđt, nói chung là hs rất cơ bản.
Cho a,b,c >0.CMR:
[TEX]\sum_{abc} \frac{1}{\frac{1}{a}+\frac{b}{a^2}+\frac{b^2}{a^3}} \geq \sqrt[3]{abc} [/TEX]

 

[minhtuyb]

Cho a,b,c >0.CMR:
[TEX]\sum \frac{1}{\frac{1}{a}+\frac{b}{a^2}+\frac{b^2}{a^3}} \geq \sqrt[3]{abc} [/TEX]

VT không có c, VP có c thì làm bằng niềm đau à )
Bài bài ni làm như thế nào rứa

 

[chipkayny]

bđt lớp 9 nè

cho [tex]x>y[/tex] và [tex]xy=1[/tex] CMR: [tex]\frac{x^2 + y^2}{x - y} \geq 2\sqrt{2}[/tex]
@Chú ý học cách gõ latex

 

[bat.nap.quan.tai.hon.em.lan.cuoi]

VT không có c, VP có c thì làm bằng niềm đau à )
Bài bài ni làm như thế nào rứa

nản vãi

đi khám mắt đi =))

Cho a,b,c >0.CMR:
[TEX]\sum \frac{1}{\frac{1}{a}+\frac{b}{a^2}+\frac{b^2}{a^3}} \geq \sqrt[3]{abc} [/TEX][/QUOTE]


[TEX]\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}\geq\frac{2a-b}{3} [/TEX]

rồi cauchy

 

[minhtuyb]

nản vãi

đi khám mắt đi =))

Cho a,b,c >0.CMR:
[TEX]\sum \frac{1}{\frac{1}{a}+\frac{b}{a^2}+\frac{b^2}{a^3}} \geq \sqrt[3]{abc} [/TEX]

[TEX]\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}\geq\frac{2a-b}{3} [/TEX]

rồi cauchy[/QUOTE]
Ờ, cũng ra đến đoạn đấy rồi nhưng thấy VP có c thì cauchy kiểu gì pa @-)

 

[bosjeunhan]

[TEX]\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}\geq\frac{2a-b}{3} [/TEX]

rồi cauchy
Ờ, cũng ra đến đoạn đấy rồi nhưng thấy VP có c thì cauchy kiểu gì pa @-)

Viết cho gọn ấy mà, thực ra là tổng xích ma đó có cả c, tức là vế trái có 3 hạng tử

nản vãi

đi khám mắt đi =))

Cho a,b,c >0.CMR:
[TEX]\sum \frac{1}{\frac{1}{a}+\frac{b}{a^2}+\frac{b^2}{a^3}} \geq \sqrt[3]{abc} [/TEX]

[TEX]\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}\geq\frac{2a-b}{3} [/TEX]

rồi cauchy

Bạn cauchy thì cauchy đi, làm ra chứ không nói suông...
Bài này mình làm cách khác chứ cauchy thì mình chưa bit làm theo cách nào cả, bạn chỉ giáo....

 

[bosjeunhan]

cho [tex]x>y[/tex] và [tex]xy=1[/tex] CMR: [tex]\frac{x^2 + y^2}{x - y} \geq 2\sqrt{2}[/tex]
@Chú ý học cách gõ latex

Ta có [TEX][tex]\frac{x^2 + y^2}{x - y} \geq 2\sqrt{2}\Leftrightarrow \frac{(x^2+y^2)^2}{(x-y)^2} \geq 8[/TEX]

Đặt [TEX]x^2+y^2=a[/TEX] BĐT trở thành:
[TEX]\frac{a^2}{a-2} \geq 8[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow (a-4)^2 \geq 0[/TEX] BĐT luôn đúng

 

[minhtuyb]

Viết cho gọn ấy mà, thực ra là tổng xích ma đó có cả c, tức là vế trái có 3 hạng tử




Bạn cauchy thì cauchy đi, làm ra chứ không nói suông...

Bài này mình làm cách khác chứ cauchy thì mình chưa bit làm theo cách nào cả, bạn chỉ giáo....

Khụ khụ già rồi mắt kém không nhìn rõ kí hiệu sum :-"
*C/m BĐT phụ:
[TEX]\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}\geq \frac{2a-b}{3}(1)[/TEX]
Có:
[TEX](1)\Leftrightarrow 3a^3\geq (2a-b)(a^2+ab+b^2)[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow 3a^3\geq 2a^3+a^2b+ab^2-b^3[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow a^3-a^2b-ab^2+b^3\geq 0[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow (a+b)(a-b)^2\geq 0(True\ with\ a,b>0)[/TEX]
*Áp dụng (1):
[TEX]\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}\geq \frac{2a-b}{3}[/TEX]
[TEX]\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}\geq \frac{2b-c}{3}[/TEX]
[TEX]\frac{c^3}{c^2+ca+a^2}\geq \frac{2c-a}{3}[/TEX]
Cộng vế với vế ta có:
[TEX]VT\geq \frac{2a-b+2b-c+2c-a}{3}=\frac{a+b+c}{3}\geq \sqrt[3]{abc}<Q.E.D>[/TEX]
Dấu bằng xảy ra khi [TEX]a=b=c[/TEX]

 

[bosjeunhan]

Khụ khụ già rồi mắt kém không nhìn rõ kí hiệu sum :-"
*C/m BĐT phụ:
[TEX]\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}\geq \frac{2a-b}{3}(1)[/TEX]
Có:
[TEX](1)\Leftrightarrow 3a^3\geq (2a-b)(a^2+ab+b^2)[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow 3a^3\geq 2a^3+a^2b+ab^2-b^3[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow a^3-a^2b-ab^2+b^3\geq 0[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow (a+b)(a-b)^2\geq 0(True\ with\ a,b>0)[/TEX]
*Áp dụng (1):
[TEX]\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}\geq \frac{2a-b}{3}[/TEX]
[TEX]\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}\geq \frac{2b-c}{3}[/TEX]
[TEX]\frac{c^3}{c^2+ca+a^2}\geq \frac{2c-a}{3}[/TEX]
Cộng vế với vế ta có:
[TEX]VT\geq \frac{2a-b+2b-c+2c-a}{3}=\frac{a+b+c}{3}\geq \sqrt[3]{abc}<Q.E.D>[/TEX]
Dấu bằng xảy ra khi [TEX]a=b=c[/TEX]

Tại hạ nhìn nhầm đúng là có cauchy nhưng cái BĐT cuối chẳng cần phải đi dài dòng đến thế và cũng ko cần phải chứng minh BĐT phụ đâu

Cho a,b,c>0 và 3abc=ab+bc+ca
CMR
[TEX]\frac{1}{\sqrt[]{a}} + \frac{1}{\sqrt[]{b}} + \frac{1}{\sqrt[]{c}} \geq (\frac{2}{a+b})^2 +(\frac{2}{b+c})^2 + (\frac{2}{c+a})^2[/TEX]

(Sau bao lâu vắng bóng, em xin trở lại vs cái bài này. Em chém cả buổi mới ra, dạo này sa sút quá vì nói chung là không khó. khá đơn giản)


Cho a,b,c >0 CMR

[TEX]\frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a} \geq \sqrt[]{\frac{a^2+1}{b^2+1}} +\sqrt[]{\frac{b^2+1}{c^2+1}} + \sqrt[]{\frac{c^2+1}{a^2+1}} [/TEX]
(Bài ny khá dễ, đi từ cái rất cơ bản)
Một bài nữa này
Cho a,b,c >0 CMR
[TEX]\frac{a}{\sqrt[]{ab+b^2}}+\frac{b}{\sqrt[]{bc+c^2}}+\frac{c}{\sqrt[]{ca+c^2}} \geq \frac{3}{2}[/TEX]
Và
[TEX]\frac{a}{\sqrt[]{a^2+b^2}}+\frac{b}{\sqrt[]{b^2+c^2}}+\frac{c}{\sqrt[]{c^2+a^2}} \leq \frac{3.\sqrt[]{2}}{2}[/TEX]
Hai bài trên khá hay

Cho các số thực dương thỏa mãn a\geqb\geqc>0 CMR
[TEX]\frac{(a-c)^2}{2.(a+c)} \leq a+b+c-3\sqrt[3]{abc} \leq \frac{2.(a-c)^2}{a+c}[/TEX]

Chém đê anh em ơi, mấy hôm ny pic đắt khiếp, còn mấy bài tồn thì mần hết đi chớ để làm chi...

 

[thienlong_cuong]

Hãy để anh "yêu" em thêm lần nữa nè

Cho các số thực dương x ; y ; z thõa mãn [TEX]xyz = 1[/TEX]

Chứng minh

[TEX]\frac{1}{1 + x^2 + y^2} + \frac{1}{1 + y^2 + z^2} + \frac{1}{1 + z^2 + x^2} \leq \frac{1}{1 + x + x^2} + \frac{1}{1 + y + y^2} + \frac{1}{1 + z + z^2}[/TEX]

p/s : BĐT này chế nên nếu sai anh em thông cảm nhá !

 

[hoa_giot_tuyet]

Bài này có chưa nhỉ ? :-ss

Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn a+b+c=1
TÌm max [tex]P = a + \sqrt{ab} + \sqrt[3]{abc}[/tex]

Sao mik ngu BĐT thế k bik :|

 

[bosjeunhan]

Bài này có chưa nhỉ ? :-ss

Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn a+b+c=1
TÌm max [tex]P = a + \sqrt{ab} + \sqrt[3]{abc}[/tex]

Sao mik ngu BĐT thế k bik :|

Đùng BĐT cauchy, điểm rơi một tí thôi mà.
Ta có [TEX]\sqrt[]{ab} = \sqrt[]{\frac{a}{2}.2b} \leq \frac{a}{4} + b[/TEX]
[TEX]\sqrt[3]{abc} = \sqrt[3]{\frac{a}{4}.y.4c} \leq \frac{a}{12} + \frac{b}{3} + \frac{4c}{3}[/TEX]

Cộng cả ba vế lại ta có MAX [TEX]P=\frac{4}{3}[/TEX]
Dấu "=" có khi và chỉ khi [TEX]\frac{a}{4} = b = 4c[/TEX] (tự tính tiếp nhá)

 

[smilelove_chuotxinh]

Hãy để anh "yêu" em thêm lần nữa nè

Cho các số thực dương x ; y ; z thõa mãn [TEX]xyz = 1[/TEX]

Chứng minh

[TEX]\frac{1}{1 + x^2 + y^2} + \frac{1}{1 + y^2 + z^2} + \frac{1}{1 + z^2 + x^2} \leq \frac{1}{1 + x + x^2} + \frac{1}{1 + y + y^2} + \frac{1}{1 + z + z^2}[/TEX]

p/s : BĐT này chế nên nếu sai anh em thông cảm nhá !

Thi thố mà toàn lôi bài tồn đọng ở đây nhỉ ="='. Thôi cố gắng phát huy nhé ), chém tồn đọng hết đi còn post bài mới:

Cấy nhịp cầu bắc qua sông lam (cho hấn chất) chính là con số 1

Rứa thì không nói cũng biết là cần phải chứng minh:
[TEX]\frac{1}{1 + x^2 + y^2} + \frac{1}{1 + y^2 + z^2} + \frac{1}{1 + z^2 + x^2} \leq 1[/TEX]
Và [TEX] \frac{1}{1 + x + x^2} + \frac{1}{1 + y + y^2} + \frac{1}{1 + z + z^2} \geq 1[/TEX]

Chứng minh cái đầu tiên như sau:
Đặt x^2=n^3;y^2=m^;z=q^3 ---> nmq=1 thì BĐT thức tương đương với
[TEX]\frac{1}{1 + n^3 + m^3} + \frac{1}{1 + m^3 + q^3} + \frac{1}{1 + q^3 + n^3} \leq 1[/TEX]
Đùng [TEX] n^3+m^3 \geq nm.(n+m)[/TEX]. Nó quá quen thuộc rồi nhỉ

Chứng minh cái thứ hai, cũng đặt
[TEX]x=\frac{a}{b}[/TEX]; [TEX]y=\frac{b}{c}[/TEX]; [TEX]z=\frac{c}{a}[/TEX]
BĐT tương đương:

[TEX]\sum_{abc} \frac{b^2}{a^2+ab+b^2} \geq 1 [/TEX]
Cấy ny cũng quá quen rồi cần gì chứng minh ra anh em hầy.

 

[bosjeunhan]

Thi thố mà toàn lôi bài tồn đọng ở đây nhỉ ="='. Thôi cố gắng phát huy nhé ), chém tồn đọng hết đi còn post bài mới:

Anh ơi, bài là do chúng em post nên có quyền được RE lại vào chỗ thi thố chứ ạ, với lại đã ai chém mô.
Mà em viết nhầm nên anh trích cũng nhầm tê:
Là b^2 chứ không phải b
@minhtuyb: Cứ lôi đi, ai biểu gì đâu )

 

[vitconcatinh_foreverloveyou]

[TEX]1. \frac{6c}{a^3 + 2a^2b + 5b^2a} + \frac{6a}{b^3 + 2b^2c + 5bc^2} + \frac{6b}{c^3 + 2c^2a + 5ca^2} + a + b + c \geq 4 (a,b,c >0)[/TEX]

[TEX]2.a,b,c>0 ; ab+bc+ca = 1. CM: \bigg( \frac{2a}{1+a^2} \bigg)^2 + \bigg( \frac{2b}{1+b^2}\bigg)^2 + \bigg( \frac{2c}{1+c^2} \bigg)^2 = 2 + 2 . \frac{(1-a^2)(1-b^2)(1-c^2)}{(1+a^2)(1+b^2)(1+c^2)}[/TEX]

 

[agito000]

Bài này thoải mái hơn , 2 cách thôi.
[TEX]Let a,b,c > 0 such that : a+b+c = 1 . Prove that :[/TEX]
[TEX]\sum \frac{a^2}{b} \geq 3\sum a^2[/TEX]

cách 1:a^2/b+b-2a-(a-b)^2=(a-b)^2.(1/b-1)\geq0
b^2/c +c-2b- (b-c)^2=(b-c)^2.(1/c-1)\geq0
c^2/a+a-2c-(c-a)^2=(c-a)^2.(1/a-1)\geq0
\Rightarrowa^2/b+b^2/c+ c^2/a\geq3(a^2+b^2+c^2)
còn cách 2 thì mình chưa ra

 

[hoa_giot_tuyet]

Mấy bợn giải giùm mik mấy bài này vs, mik đang cố để học BĐT đây (

B1. Cho a,b,c > 1 và [tex]\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} = 2[/tex]
Chứng minh [tex]\sqrt{a-1}+\sqrt{b-1}+\sqrt{c-1} \leq \sqrt{a+b+c}[/tex]

B2. Cho a,b,c là các số thực dương t/m
[tex]\frac{1}{a+b+1}+\frac{1}{b+c+1}+\frac{1}{c+a+1} \geq 1[/tex]
C/m [tex]a+b+c \geq ab+bc+ca[/tex]

B3. Cho a,b,c>0 và a+b+c = 3. C/m
[tex]\frac{a^3}{(2a^2+b^2)(2a^2+c^2)}+\frac{b^3}{(2b^2+c^2)(2b^2+a^2)}+\frac{c^3}{2c^2+a^2)(2c^2+b^2)} \leq \frac{1}{3}[/tex]

Tạm thời thế đã tớ còn nhìu bài lắm )

 

[son9701]

Mấy bợn giải giùm mik mấy bài này vs, mik đang cố để học BĐT đây (

B1. Cho a,b,c > 1 và [tex]\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} = 2[/tex]
Chứng minh [tex]\sqrt{a-1}+\sqrt{b-1}+\sqrt{c-1} \leq \sqrt{a+b+c}[/tex]

B2. Cho a,b,c là các số thực dương t/m
[tex]\frac{1}{a+b+1}+\frac{1}{b+c+1}+\frac{1}{c+a+1} \geq 1[/tex]
C/m [tex]a+b+c \geq ab+bc+ca[/tex]

B3. Cho a,b,c>0 và a+b+c = 3. C/m
[tex]\frac{a^3}{(2a^2+b^2)(2a^2+c^2)}+\frac{b^3}{(2b^2+c^2)(2b^2+a^2)}+\frac{c^3}{2c^2+a^2)(2c^2+b^2)} \leq \frac{1}{3}[/tex]

Tạm thời thế đã tớ còn nhìu bài lắm )

Nhìn thấy ngon mỗi bài 2 nên chém tạm ) :

B2: Áp dụng bunhia:

$(a+b+1)(a+b+c^2)$ \geq $(a+b+c)^2$ \Rightarrow $\frac{1}{a+b+1}$ \leq $\frac{a+b+c^2}{(a+b+c)^2} $
CM tg tự đc 2 bất đẳng thức tg tự .Cộng lại ta đc:
1 \leq $\frac{1}{a+b+1}+\frac{1}{b+c+1}+\frac{1}{c+a+1}$ \leq $\frac{2(a+b+c)+a^2+b^2+c^2}{(a+b+c)^2}$
\Leftrightarrow $a+b+c$ \geq $ab+bc+ca$