[toán 9]Đề thi học sinh giỏi tinh Nghệ An năm 2011-2012

[linhhuyenvuong]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1,(5,0)
a,Cho a và b là các số tự nhiên thoả mãn điều kiện: [TEX]a^2+b^2 \vdots 7[/TEX]
Chứng minh a và b đều chia hết cho 7.
b,[TEX]A=n^{2012}+n^{2011}+1[/TEX]
Tìm tất cả các số tự nhiên n để A nguyên tố.
2,(4,5)
a, GPT:
[TEX]\frac{4}{x}+\sqrt{x-\frac{1}{x}}=x+\sqrt{2x-\frac{5}{x}}[/TEX]

b,Cho x,y,z là các số thực khác 0 thoả mãn: xy+yz+xz=0
Tinh: [TEX]M=\frac{yz}{x^2}+\frac{xz}{y^2}+\frac{xy}{z^2}[/TEX]
3,(4,5)
a,Cho các số thực x,y,z thoả mãn điều kiện: x+y+z+xy+yz+xz=6
CMR:[TEX]x^2+y^2+z^2 \geq3[/TEX]
b, Cho a,b,c là các số dương thoả mãn: a+b+c=3
Min:[TEX]P=\frac{a^3}{a^2+b^2}+\frac{b^3}{b^2+c^2}+\frac{c^3}{c^2+a^2}[/TEX]
4, (6.0)
Cho (O;R) và 1 dây BC cố định ko qua O. Từ 1 điểm bất kì trên tia đối của tia BC.Vẽ tiếp tuyến AM,AN với (O;R) ;(M nằm trên cung nhỏ BC). Gọi I là trung điểm dây BC, đường thẳng MI cắt (O) tại P.
a, CM: NP//BC
b, MN giao OI tại K. Xác định A trên tia đối tia BC để tam giác ONK có diện tích lớn nhất.
p/s: đại ko khó.
huhuhuhu.
Hình lại vẽ A trên tia BC rồi! TOI

 

[minhtuyb]

Thi xong rồi hả Linh, làm bài tốt không :x. Tầm được mấy điểm nhỉ :x:

Bài 1:
a. Lập bảng xét modulo có nhận xét: Số chính phương chia 7 có số dư là 0;1;2 hoặc 4:
[tex]a^2\equiv 0;1;2;4(mod7)[/tex]
[tex]b^2\equiv 0;1;2;4(mod7)[/tex]
*Với [tex]a,b\vdots 7[/tex], ta có ĐPCM
*Với [tex]a,b\not\vdots 7[/tex], ta có:
[tex]a^2\equiv 1;2;4(mod7)[/tex]
[tex]b^2\equiv 1;2;4(mod7)[/tex]
[tex]\Rightarrow a^2+b^2\equiv 2;3;4;5;6;8(mod7)[/tex]. Trái với giả thiết [tex]a^2+b^2\vdots 7[/tex]
Vậy [tex]a,b\vdots 7\Rightarrow a+b\vdots 7[/tex]
b. *Với [tex]n=1\rightarrow A=3(True)[/tex]
*Với [tex]n>1[/tex]:
[tex]A=n^{2012}+n^{2011}+1=(n^{2012}+n^{2011}+n^{2010})-(n^{2010}-1)[/tex]
Có: [tex]n^{2012}+n^{2011}+n^{2010}\vdots n^2+n+1[/tex]
Mặt khác:[tex]n^{2010}-1=n^3^{670}-1\vdots n^3-1\vdots n^2+n+1[/tex]
[tex]\Rightarrow A\vdots (n^2+n+1)[/tex] là số tự nhiên lớn hơn 1 [tex]\Rightarrow A[/tex] là hợp số
Vậy với [tex]n=1[/tex] thì A là số nguyên tố

1,(5,0)
3,(4,5)
a,Cho các số thực x,y,z thoả mãn điều kiện: x+y+z+xy+yz+xz=6
CMR:[TEX]x^2+y^2+z^2 \geq3[/TEX]
b, Cho a,b,c là các số dương thoả mãn: a+b+c=3
Min:[TEX]P=\frac{a^3}{a^2+b^2}+\frac{b^3}{b^2+c^2}+\frac{c^3}{c^2+a^2}[/TEX]

Thấy câu BĐT thì chém ngay cho nó nóng :x
a/ Có các BĐT luôn đúng sau:
[TEX]x^2+1\geq 2x[/TEX]
[TEX]y^2+1\geq 2y[/TEX]
[TEX]z^2+1\geq 2z[/TEX]
[tex]x^2+y^2\geq 2xy[/tex]
[tex]y^2+z^2\geq 2yz[/tex]
[tex]z^2+x^2\geq 2zx[/tex]
Cộng vế với vế ta có ĐPCM, dấu bằng xảy ra khi [TEX]x=y=z=1[/TEX]
b/ Bài Cauchy ngược khá hay :
[TEX]\frac{a^3}{a^2+b^2}=\frac{(a^3+ab^2)-ab^2}{a^2+b^2}=a-\frac{ab^2}{a^2+b^2}\geq a-\frac{ab^2}{2ab}=a-\frac{b}{2}[/TEX]
Xây dựng các BĐT tương tự, cộng lại ta có:
[TEX]VT\geq a+b+c-\frac{b}{2}-\frac{c}{2}-\frac{a}{2}=\frac{3}{2}[/TEX]
Dấu bằng xảy ra khi [TEX]a=b=c=1[/TEX]
Vậy [tex]min\sum \frac{a^3}{a^2+b^2}=\frac{3}{2}[/tex] khi [TEX]a=b=c=1[/TEX]

 

[vitconcatinh_foreverloveyou]

[TEX]2.a, DK \left[\begin{x \geq \sqrt{\frac{5}{2}}\\{x \leq - sqrt{\frac{5}{2}}[/TEX]

đặt [TEX]\sqrt{x - \frac{1}{x}} = a [/TEX]

[TEX]\sqrt{2x - \frac{5}{x}} = b[/TEX]

[TEX]pt \Leftrightarrow a = b^2 - a^2 + b \Leftrightarrow (b-a)(b+a+1) = 0 \Leftrightarrow .......[/TEX]

 

[happytomorrowww]

he mình vừa được thầy giáo cho làm đề này mấy hôm trước. hóa ra là cùa tỉnh Nghệ An. Cũng không khó nhai lắm nhỉ Bạn làm hết ko ? Còn bài nào ?

 

[son9701]

Ôi,t ngu quá
Bạn nào chém hộ câu b hình đi,nản k muốn giải nữa

 

[linhhuyenvuong]

Ôi,t ngu quá
Bạn nào chém hộ câu b hình đi,nản k muốn giải nữa

Cũng không quá khó khi c/m K cố định(đc 1,5 điểm)
Gọi H là giao điểm MN vs OA

\Rightarrow[TEX]\large\Delta AIO ~\large\Delta KHO(g.g)[/TEX]
\Rightarrow[TEX]\frac{OI}{OH}=\frac{AO}{OK}[/TEX]
\Rightarrow[TEX]OK=\frac{OH.OA}{OI}=\frac{R^2}{OI}[/TEX]
\RightarrowK cố định
Goi D là giao NP vs OI
\RightarrowND vuong vs OK
\Rightarrow[TEX]S_{NOK}=\frac{1}{2}.ND.OK[/TEX]
\Rightarrow[TEX]S_{NOK} max \Leftrightarrow ND max\Leftrightarrow ND=R[/TEX]
....

 

[bosjeunhan]

[TEX]2.a, DK \left[\begin{x \geq \sqrt{\frac{5}{2}}\\{x \leq - sqrt{\frac{5}{2}}[/TEX]

đặt [TEX]\sqrt{x - \frac{1}{x}} = a [/TEX]

[TEX]\sqrt{2x - \frac{5}{x}} = b[/TEX]

[TEX]pt \Leftrightarrow a = b^2 - a^2 + b \Leftrightarrow (b-a)(b+a+1) = 0 \Leftrightarrow .......[/TEX]

Câu 2 ny thấy ai cũng bảo đặt là nhanh nhất ( bạn bè, thầy cô ai cũng nói vậy)
Nhưng đặt thì còn phải bình lên nữa
Tại sao ko đánh giá với 3 dòng(trừ phần đk)
x>4
x<4
Và x=4 => x=2

 

[rinnegan_97]

chém tạm

câu 2, phần b:

[TEX]xy+yz+xz=0\Leftrightarrow \frac{1}{x}+ \frac{1}{y}+ \frac{1}{z}=0[/TEX]

và ta cần tính:

[TEX]xyz( \frac{1}{x^3}+ \frac{1}{y^3}+ \frac{1}{z^3})=xyz. \frac{3}{xyz}=3 , do \frac{1}{x}+ \frac{1}{y}+ \frac{1}{z}=0[/TEX]