Giải và bình luận phương trình, hệ phương trình, bất phương trình

[lovelycat_handoi95]

Bài 125: Giải hệ phương trình :

[TEX]\left{\sqrt{x+2y}+\sqrt{x-2y}=2\sqrt{2y} \\ \sqrt{5y+4}+\sqrt[3]{2x+y+2}=5[/TEX]

1 câu trong đề thi thử ĐH ,trường em.

 

[huy266]

Giải hệ phương trình :

[TEX]\left{\sqrt{x+2y}+\sqrt{x-2y}=2\sqrt{2y}(1) \\ \sqrt{5y+4}+\sqrt[3]{2x+y+2}=5(2)[/TEX]

1 câu trong đề thi thử ĐH ,trường em.

ĐK : [tex]x\geq 2y\geq 0[/tex]
Định hướng : Nhìn pt thứ 2 có 2 căn không đồng bậc nên khó để biến đổi. Vậy tập trung xử lý pt 1 rồi thế. Nhìn 1 lúc nữa thì thấy dùng nhân liên hợp là hợp lý hơn cả.
(2)\Leftrightarrow [tex]\sqrt{x+2y}-\frac{3}{2}\sqrt{2y}+\sqrt{x-2y}-\frac{1}{2}\sqrt{2y}=0[/tex]
Dễ thấy [tex]x=y=0[/tex] không phải nghiệm của hệ
[tex]HPT\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} &\frac{x-\frac{5}{2}y}{\sqrt{x+2y}+ \frac{3} {2} \sqrt{2y}}+\frac{x-\frac{5}{2}y}{\sqrt{x-2y}+\frac{1}{2}\sqrt{2y}}=0 \\ & \\ & \sqrt{5y+4}+\sqrt[3]{2x+y+2}=5 \end{matrix}\right.[/tex]
[tex]\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} &(x-\frac{5}{2}y)(\frac{1}{\sqrt{x+2y}+ \frac{3} {2} \sqrt{2y}}+\frac{1}{\sqrt{x-2y}+\frac{1}{2}\sqrt{2y}})=0\\ & \\ & \sqrt{5y+4}+\sqrt[3]{2x+y+2}=5 \end{matrix}\right.[/tex]
[tex]\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} &2x=5y\\ & \\ & g(y)=\sqrt{5y+4}+\sqrt[3]{6y+2}=5 \end{matrix}\right.[/tex]
[tex]g'(y)=\frac{5}{2\sqrt{5y+4}}+\frac{6}{3\sqrt[3]{(6y+2)^{2}}}>0\forall y\geq 0[/tex] và [tex]g(1)=5[/tex]
Vậy pt [tex]g(y)=5[/tex] có duy nhất nhiệm [tex]y=1[/tex] trên [tex][0;+\infty )[/tex]
Vậy hệ có nghiệm duy nhất [tex]\left\{\begin{matrix} &x=\frac{5}{2} \\ &y=1 \end{matrix}\right.[/tex]

 

[meomeo_f94]

Hệ phương trình!

Bài 126: Giải hệ phương trình: $$ \begin{cases} {x^2 + y^2 + xy +1 = 4y} \\ {y (x+y)^2 = 2 x^2 + 7y +2} \end{cases} $$

Đề thi thử của trường mình

 

[duynhan1]

Bài 126: Giải hệ phương trình: $$ \begin{cases} {x^2 + y^2 + xy +1 = 4y} \\ {y (x+y)^2 = 2 x^2 + 7y +2} \end{cases} \quad (1)$$
Đề thi thử của trường mình

Định hướng: Dễ thấy nếu thay $x^2+1= 4y - y^2 -xy$ từ (1) vào (2) thì ta được ngay nghiệm $y=0$, dù có không ra thì chắc ít nhất cũng 0,25 rồi )
Bài giải:
$$(1) \Leftrightarrow \begin{cases} x^2 + 1 = y(4-x-y) & (2) \\ y(x+y)^2 = 2y(4-x-y) + 7y& (3) \end{cases} $$
Ta có: $(3) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} y = 0 \\ (x+y)^2 = 2 (4-x-y)+7 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} y = 0 \\ (x+y)^2 +2(x+y) -15=0 \end{array} \right.$
Trường hợp 1: $y=0$, thay vào (2) ta có: $x^2+1=0 \text{(vô nghiệm)}$
Trường hợp 2: $ (x+y)^2 +2(x+y) -15 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x+y = -5 \\ x+y= 3\end{array} \right.$
Với $x+y=-5$, thay vào (2) ta được: $$ x^2 + 1 = 9(-5-x) \text{(vô nghiệm)}$$ Với $x+y=3$, thay vào (2) ta được: $$x^2 + 1 = 3-x \Leftrightarrow x=1 \text{ hoặc } x= -2$$
+ x=1, ta được y=2.
+ x=-2, ta được y=5.
Kết luận: $S= \{ (1;2) ; (-2;5) \}$

 

[160693]

Bài 127
giải hệ
[tex]\left\{ \begin{array}{l} x+\sqrt{x^2+1} = y+\sqrt{y^2-1} \\ x^2 +y^2-xy =1 \end{array} \right.[/tex]

 

[duynhan1]

Bài 127
Giải hệ:
[tex]\left\{ \begin{array}{l} x+\sqrt{x^2+1} = y+\sqrt{y^2-1} & (1)\\ x^2 +y^2-xy =1 & (2) \end{array} \right.[/tex]

Định hướng:
- Xử lý phương trình (1): Ta để ý cách nhân liên hợp sau, nhân liên hợp và kết hợp với phương trình ban đầu để rút ra kết quả.
Bài tập luyện tập: $\begin{cases}
(x+\sqrt{1+x^2})(y+\sqrt{1+y^2})=1 & (1) \\
x^2 + 2y^2 = 3 & (2)
\end{cases}$
- Xử lý phương trình (2): Sau khi đã thu được hệ $\begin{cases} x^2 + y^2 - xy =1 \\ y^2 - x^2 = 1 \end{cases} $. Ta đã biết, với 1 phương trình đồng bậc giữa A và B(tức tổng số mũ của A và B là 1 hằng số k) thì ta có thể tìm được quan hệ giữa A và B, thật vậy nếu chia cả 2 vế phương trình cho $B^k$(với $B \not= 0$) thì ta sẽ thu được phương trình ẩn $\frac{A}{B}$.
Ví dụ 1: Giải hệ phương trình: $$\begin{cases} \sqrt{x+2+y} + \sqrt{4x+y+8} = \sqrt{9x+8y+18} \\ x^2 + y^2 + 9xy +2x + y = 8 \end{cases} $$ thì ta nên xử lý phương trình nào trước, nhìn vào hệ này có lẽ nhiều bạn sẽ xử lý phương trình (2) trước vì dạng này thường lập Delta 1 cái là ra mà

, và khi Delta là số không chính phương nhiều bạn sẽ bỏ cuộc và bảo đề sai

.
Và nếu như ta được trang bị trước kiến thức đồng bậc, thì không khó để nhận ra phương trình (1) chính là phương trình đồng bậc giữa $A=x+2$ và $B=y$ và dễ dàng chia 2 vế cho $\sqrt{y}$ rồi giải 1 phương trình căn thức đơn giản với ẩn là: $t=\frac{x+2}{y}$. Phần còn lại các bạn tự giải tiếp nhé,

.
Ví dụ 2: Giải hệ phương trình: $$\begin{cases} x^3 + 4y = y^3+16x\\1+y^2 = 5(1+x^2) \end{cases} $$ Dựa vào những gì đã được học ở trên, ta muốn tạo ra 1 phương trình đồng bậc, và dễ dàng ta thu được phương trình sau: $$ 4(x^3-y^3) = (y^2-5x^2)(16x-4y) \Leftrightarrow x(4x-7y)(x+3y) = 0 $$
Tóm lại, phương pháp đồng bậc theo mình là PP quan trọng nhất trong giải toán hệ phương trình và kể cả đặt ẩn phụ trong giải phương trình và bất phương trình, khi nào có thời gian mình sẽ đề cập sau.
Bài tập luyện tập: Giải hệ phương trình sau (ĐH-KA2011):
$$\begin{cases} 5x^2y - 4xy^2 + 3y^3 -2(x+y) = 0 \\ xy(x^2+y^2) +2 = (x+y)^2 \end{cases} $$


Bài giải:
Do $\begin{cases} \sqrt{x^2+1}-x >0 \\ y -\sqrt{y^2-1} \not= 0 \end{cases}$ nên ta có: $$\begin{aligned} (1) & \Leftrightarrow \frac{1}{\sqrt{x^2+1}-x} = \frac{1}{y-\sqrt{y^2-1}} \\ & \Leftrightarrow \sqrt{x^2+1}-x = y-\sqrt{y^2+1} \end{aligned} $$ Kết hợp với phương trình (1) ban đầu ta được: $$2\sqrt{x^2+1}= 2y \Leftrightarrow \begin{cases} y \ge 0 \\ x^2 + 1 = y^2 & (3) \end{cases}$$
Từ (2) và (3) ta có: $$\begin{cases} x^2 + y^2 - xy =1 \\ y^2 - x^2 = 1 \end{cases} $$Từ hệ trên ta suy ra: $x^2+y^2 - xy = y^2 - x^2 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x=0 \\ y = 2x \end{array} \right.$
+ $x = 0 \Rightarrow y = \pm 1$, kết hợp điều kiện $y \ge 0$, ta có $y=1$.
Thử lại, (0;1) là 1 nghiệm của hệ phương trình.
+ $y = 2x \Rightarrow 3y^2 = 4 \Leftrightarrow y = \frac{2}{\sqrt{3}} \text{(do y>0)}$
Với $y = \frac{2}{\sqrt{3}}$, ta suy ra $x = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
Thử lại, $\left( \frac{1}{\sqrt{3}} ; \frac{2}{\sqrt{3}} \right)$ là 1 nghiệm của hệ phương trình.
Kết luận: $S=\{ (0;1) ; \left( \frac{1}{\sqrt{3}} ; \frac{2}{\sqrt{3}} \right) \}$


P/s: Xóa bài bạn hơi nhiều, nên viết dài tý

 

[olala_aha]

Bài 128:Giải hệ phương trình
[TEX]\left{\begin{x^3(4y^2+1)+2\sqrt{x}(x^2+1)=6}\\{x^2y(2+2\sqrt{4y^2+1})=x+\sqrt{x^2+1} [/TEX]

 

[truongduong9083]

mình thử xem nhé

Điều kiện: x > 0
Chia cả hai vế phương trình (2) cho [TEX]x^2[/TEX] ta được
[TEX]2y+2y\sqrt{4y^2+1} = \frac{1}{x}+\frac{1}{x}\sqrt{\frac{1}{x^2}+1} (3)[/TEX]
[TEX]\Rightarrow f(2y) = f(\frac{1}{x})[/TEX]
Với hàm số đặc trưng cho hai vế của phương trình (3) là
[TEX]f(t) = t + t\sqrt{t^2+1}[/TEX]
ta có
[TEX]f'_(t)=1 + \sqrt{t^2+1}+\frac{t}{\sqrt{t^2+1}}>0 \forall t \in \ R[/TEX]
nên hàm số f(t) luôn đồng biến trên $\mathbb{R}$
[TEX]\Rightarrow 2y = \frac{1}{x}[/TEX]
thay vào phương trình (1) ta được
[TEX]x^3 + 2x^2\sqrt{x} + x + 2\sqrt{x} - 6 = 0 (4)[/TEX]
đặt [TEX]u = \sqrt{x}[/TEX] với (u > 0)
phương trình (4) trở thành
[TEX]u^6 + 2u^5 + u^2 + 2u - 6 = 0[/TEX]
nhận xét hàm số [TEX] g(u) = u^6 + 2u^5 + u^2 + 2u - 6 [/TEX] luôn đồng biến với mọi u > 0
mà g(1) = 0. Suy ra phương trình (4) có nghiệm duy nhất u = 1 hay x = 1
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là [TEX](x;y) = (1; \frac{1}{2})[/TEX]