Toán [Toán 9] bất đẳng thức(2)

[nhockthongay_girlkute]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Update topic mới.

Hoạt động bình thường.
Link dẫn tới topic cũ tại đây

Bất Đẳng Thức​

Topic lập ra cho member năm nay thi luyện BĐT-CT, thường thì BĐT-CT trong các kỳ thi vào lớp 10 chuyên thường khá dễ, tuy nhiên cũng không ít bài bài cần đến sự tinh tế trong lối suy nghĩ mới có thể đưa ra 1 lời giải gọn, đẹp mà không dùng kiến thức quá cao. Đề nghị không đưa lên những BĐT quá xa vời, không phù hợp với mức độ thi vào lớp 10 chuyên.

 

[bboy114crew]

Xin mở đầu pic với một bài dễ!
Cho các số thực x,y,z,t thỏa mãn: [tex]xyzt =1[/tex].CMr:
[TEX]\frac{1}{x^3(yz+zt+ty)} + \frac{1}{y^3(xz+zt+tx)} +\frac{1}{z^3(yz+xt+ty)} +\frac{1}{t^3(yz+zx+xy)} \geq \frac{4}{3} [/TEX]

 

[01263812493]

Xin mở đầu pic với một bài dễ!
Cho các số thực x,y,z,t thỏa mãn: [tex]xyzt =1[/tex].CMr:
[TEX]\frac{1}{x^3(yz+zt+ty)} + \frac{1}{y^3(xz+zt+tx)} +\frac{1}{z^3(yz+xt+ty)} +\frac{1}{t^3(yz+zx+xy)} \geq \frac{4}{3} [/TEX]

Đặt:

Chak sai quá :-SS

 

[bboy114crew]

bài nữa cũng dễ!
cho các số dương x,y,z .CMR:
[tex] \frac{x^4}{y+z} + \frac{y^4}{x+z} +\frac{z^4}{y+x} \geq \frac{x^3+y^3+z^3}{2}[/tex]
(3 cách )

 

[ruacon_a4]

Cách 1 dùng côsi
cách 2 dùng bunhia
cho mình hỏi cách 3 dùng phương pháp gì ???

 

[0915549009]

bài nữa cũng dễ!
cho các số dương x,y,z .CMR:
[tex] \frac{x^4}{y+z} + \frac{y^4}{x+z} +\frac{z^4}{y+x} \geq \frac{x^3+y^3+z^3}{2}[/tex]
(3 cách )

[TEX]VT \geq \frac{1}{3}(\sum x^4)(\frac{1}{x+y}) \geq \frac{1}{9}(\sum x)(\sum x^3) \frac{9}{2\sum x} =\frac{\sum x^3}{2}(Chebyshev)[/TEX]

 

[trydan]

Chứng minh

(3 cách)

 

[math_life6196]

Chứng minh

(3 cách)

 

[math_life6196]

Bài này thoải mái hơn , 2 cách thôi.
[TEX]Let a,b,c > 0 such that : a+b+c = 1 . Prove that :[/TEX]
[TEX]\sum \frac{a^2}{b} \geq 3\sum a^2[/TEX]

 

[01263812493]

1 cách

bài nữa cũng dễ!
cho các số dương x,y,z .CMR:
[tex] \frac{x^4}{y+z} + \frac{y^4}{x+z} +\frac{z^4}{y+x} \geq \frac{x^3+y^3+z^3}{2}[/tex]
(3 cách )

[TEX]\blue VT=\sum \frac{x^6}{x^2(y+z)} \geq \frac{(\sum x^3)^2}{\sum x^2(y+z)} \geq VP[/TEX]
Vì Ta có:
[TEX]\blue x^3+x^3+y^3 \geq 3x^2y[/TEX]
[TEX]\blue x^3+x^3+z^3 \geq 3x^2z[/TEX]
[TEX]\blue \Rightarrow 2(\sum x^3) \geq \sum x^2(y+z)[/TEX]
Chak sai quá :|:-SS

 

[math_life6196]

Chứng minh

(3 cách)

Mò cả đêm mới thêm 1 cách nhờ phương pháp của anh Phạm Kim Hùng...

 

[hoa_giot_tuyet]

Help
Cho a,b,c là các số thực dương thoả mãn điều kiện [TEX]a^2+b^2+c^2 =9[/TEX]. Chứng minh rằng 2(a+b+c) - abc \leq -10
Vietnam, 2002

 

[0915549009]

Help
Cho a,b,c là các số thực dương thoả mãn điều kiện [TEX]a^2+b^2+c^2 =9[/TEX]. Chứng minh rằng 2(a+b+c) - abc \leq -10
Vietnam, 2002

Giả sử [TEX]x=min{{x;y;z}}[/TEX]
[TEX]x \leq 0; Dat \ t=\sqrt{\frac{9-x^2}{2}}; g(x) = f(x;t;t) = 2x-x\frac{9-x^2}{2} + 2\sqrt{2(9-x^2}[/TEX]
[TEX]g'(x) = \frac{3x^2}{2}-\frac{5}{2}-\frac{4x}{\sqrt{18-2x^2}}[/TEX]
[TEX]g'(x)=0 \ co \ nghiem x = -1; g'(2) > 0 > g(0) \Rightarrow vs \ moi x \leq 0 \ thi \ g(x) \leq g(-1) = 10 [/TEX]
Tiếp tục vs [TEX]x >0. \ Xet \ x \geq \frac{3}{4} ; x \leq \frac{3}{4} [/TEX]
Use phương pháp đánh giá là đc

 

[bboy114crew]

Bài này thoải mái hơn , 2 cách thôi.
[TEX]Let a,b,c > 0 such that : a+b+c = 1 . Prove that :[/TEX]
[TEX]\sum \frac{a^2}{b} \geq 3\sum a^2[/TEX]

Ta có
[tex]VT=\sum_{cyc} \frac{a^4}{a^2b}\ge \frac{(\sum a^2)^2}{\sum_{cyc} a^2b} [/tex]
tức là ta sẽ CM
[tex]\sum a^2\ge 3\sum_{cyc} a^2b[/tex]
mà [tex]\sum a^2=(\sum a^2)(\sum a)[/tex]
nên ta cần cm
[tex]\sum a^3+\sum_{cyc} ab^2\ge 2\sum_{cyc} a^2b[/tex]
đúng v“ [tex]a^3+ab^2\ge 2a^2b[/tex] ,....
=> ĐPCM
( [tex]\sum_{cyc} a^2b=a^2b+b^2c+c^2a[/tex])

 

[01263812493]

1.Cho [TEX]\blue a,b,c>0. C/m:[/TEX]
[TEX]\huge \blue \sum \frac{a^2+b^2}{a+b} \leq 3\frac{\sum a^2}{\sum a}[/TEX]
2.Cho [TEX]a,b,c[/TEX] là ba cạnh của tam giác. C/m:
[TEX]\huge \blue (\sum \sqrt[3]{a})(\sum \frac{1}{\sqrt[3]{a}})- \frac{\sum a}{\sqrt[3]{abc}} \leq 6[/TEX]

 

[math_life6196]

1.Cho [TEX]\blue a,b,c>0. C/m:[/TEX]
[TEX]\huge \blue \sum \frac{a^2+b^2}{a+b} \leq 3\frac{\sum a^2}{\sum a}[/TEX]
2.Cho [TEX]a,b,c[/TEX] là ba cạnh của tam giác. C/m:
[TEX]\huge \blue (\sum \sqrt[3]{a})(\sum \frac{1}{\sqrt[3]{a}})- \frac{\sum a}{\sqrt[3]{abc}} \leq 6[/TEX]

[TEX]BDT \leftrightarrow \sum a.\sum \frac{a^2+b^2}{a+b} \leq 3\sum a^2[/TEX]
[TEX]\leftrightarrow \sum \frac{c(a^2+b^2)}{a+b} \leq \sum a^2 [/TEX]
[TEX]\leftrightarrow c^2-\frac{c(a^2+b^2)}{a+b}+b^2-\frac{b(c^2+a^2)}{c+a}+a^2-\frac{a(b^2+c^2)}{b+c} \geq 0 [/TEX]
[TEX]\leftrightarrow \sum \frac{ac(a-c)^2}{(a+b)(b+c)} \geq 0[/TEX]

 

[herrycuong_boy94]

Chứng minh :
1.

2. Cho

Tìm mãx :

 

[trongthanh95]

Chứng minh :
1.

2. Cho

Tìm mãx :

Âp dụng cosi
[TEX]\frac{a^3}{b(a+c)}+\frac{b}{2}+\frac{a+c}{4} \geq \frac{3a}{2}[/TEX]
Tượng tự => dpcm

 

[0915549009]

Chứng minh :
1.

[TEX]\sum \frac{a^3}{b(a+c)} \geq \frac{(\sum a)(\sum a^2)}{2 \sum ab} \geq \frac{\sum a}{2}[/TEX]

 

[bboy114crew]

Cho a,b,c >0 .CMR:
[tex]\frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a} + \frac{2(ab+bc+ac)}{a^2+b^2+c^2} \geq 5[/tex]

Sử dụng tính thuần nhất của BĐT,ta chuẩn hóa [tex]a+b+c=1[/tex].Đặt [tex]q=ab+bc+ca \Rightarrow 0<q \leq \frac{1}{3}[/tex]
Ta có [tex]VT = \sum\limits_{cyc} {\frac{a}{b}} + \frac{{2\sum {ab} }}{{\sum {a^2 } }} \ge \frac{{\left( {\sum a } \right)^2 }}{{\sum {ab} }} + \frac{{2q}}{{1 - 2q}} = \frac{1}{q} + \frac{{2q}}{{1 - 2q}} \ge 5 (C-S)[/tex]
[tex]\Leftrightarrow 1 - 2q + 2q^2 \ge 5q\left( {1 - 2q} \right) \Leftrightarrow 12q^2 - 7q + 1 \ge 0 [/tex]
[tex]\Leftrightarrow \left( {4q - 1} \right)\left( {3q - 1} \right) \ge 0\left( {True.\forall q \in \left( {0;\frac{1}{3}} \right]} \right) [/tex]
[tex] \Rightarrow DPCM[/tex]
Đẳng thức xảy ra khi [tex]a=b=c[/tex]