Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số

[kitty.sweet.love]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Bài 1: Cho [TEX]\left{\begin{a;b;c \geq 0}\\{a+b+c = 1}[/TEX]

Tìm min [TEX]M = 3(a^{2}b^{2} + b^{2}c^{2} + c^{2}a^{2}) + 3(ab +bc+ac) + 2\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}[/TEX]
​

Bài 2: [TEX]\Delta ABC[/TEX] có [TEX] 0 < A \leq B \leq C < \frac{\Pi}{2} [/TEX]

Tìm min [TEX]F = \frac{2cos 3C - 4cos 2C + 1}{cos C}[/TEX]
​

Bài 3: [TEX]\Delta ABC[/TEX] nhọn thoả mãn A > B > C

Tìm min [TEX]f(x) = \sqrt{\frac{x-sin A}{x - sin C}} + \sqrt{\frac{x - sin B}{x - sin C}}[/TEX]​

Bài 4: Cho x;y thoả mãn: [TEX]x^{2} + y^{2} + xy = 3[/TEX]

Tìm max, min của [TEX]A = 2x^{4} + 2y^{4} - x^{2}y^{2}[/TEX]
​

 

[desert_eagle_tl]

[TEX][/TEX]Bài 4: x^2 + y^2 = 3 - xy
Ta có A = 2( x^4 + y^4) - x^2.y^2
---------=2[ (x^2 + y^2)^2 -2x^2.y^2] - x^2.y^2
---------= 2(x^2 + y^2 )^2 - 5x^2y^2
---------=2( 3 - xy)^2 - 5x^2.y^2
Đăt t = xy
Theo Cô - Si
x^2 + y^2\geq 2xy \Leftrightarrow 3 - xy \geq2xy\Leftrightarrowxy\leq1
hay t\leq1
Vậy A = 2 (3 - t )^2 - 5t^2 = -3t^2 -12t +18 = f ( t )
f' ( t ) = -6t -12
f' ( t) = 0 \Leftrightarrowt = -2

* Lập Bảng biến thiên ==> max A = 30 , min A = 3

 

[desert_eagle_tl]

ai chỉ tớ cách gõ dấu mũ với , tớ không biết gõ kiểu gì :-s:-s:-s:-s:-s:-s:-s:-s:-s:-s:-s:-s:-s:-s:-s:-s:-s:-s:-s

 

[kitty.sweet.love]

ai chỉ tớ cách gõ dấu mũ với , tớ không biết gõ kiểu gì :-s:-s:-s:-s:-s:-s:-s:-s:-s:-s:-s:-s:-s:-s:-s:-s:-s:-s:-s

VD: [TEX]a^x[/TEX] ================a^{x} nhớ đặt trong thẻ TEX nha bạn............

 

[kitty.sweet.love]

Giải dùm mình bài 1 và bài 2 đj kả nhà ui.......................

 

[locxoaymgk]

Bài 1: Cho [TEX]\left{\begin{a;b;c \geq 0}\\{a+b+c = 1}[/TEX]

Tìm min [TEX]M = 3(a^{2}b^{2} + b^{2}c^{2} + c^{2}a^{2}) + 3(ab +bc+ac) + 2\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}[/TEX]
​

Bài 2: [TEX]\Delta ABC[/TEX] có [TEX] 0 < A \leq B \leq C < \frac{\Pi}{2} [/TEX]

Tìm min [TEX]F = \frac{2cos 3C - 4cos 2C + 1}{cos C}[/TEX]
​

Bài 3: [TEX]\Delta ABC[/TEX] nhọn thoả mãn A > B > C

Tìm min [TEX]f(x) = \sqrt{\frac{x-sin A}{x - sin C}} + \sqrt{\frac{x - sin B}{x - sin C}}[/TEX]​

Bài 4: Cho x;y thoả mãn: [TEX]x^{2} + y^{2} + xy = 3[/TEX]

Tìm max, min của [TEX]A = 2x^{4} + 2y^{4} - x^{2}y^{2}[/TEX]
​

Có pải chị Huyền Anh ko !
Em làm thử bài 4 nhé^^!
Theo Cauchy-schwatz ta có:
[TEX](1+1)(x^4+y^4) \geq (x^2+y^2)^2 \Rightarrow 2(x^4+y^4) \geq (x^2+y^2)^2.[/TEX]
[TEX] 2(x^4+y^4)-x^2y^2\geq (x^2+y^2)^2-x^2y^2=x^4+y^4+x^2y^2.[/TEX]
[TEX](x^4+y^4+x^2y^2)(1+1+1) \geq (x^2+y^2+xy)^2=9[/TEX]
[TEX] \Rightarrow x^4+y^4+x^2y^2 \geq 3.[/TEX]
[TEX] \Rightarrow 2(x^4+y^4)-x^2y^2 \geq 3.[/TEX]
Dấu -= của BDt xảy ra khi...

 

[kitty.sweet.love]

Có pải chị Huyền Anh ko !
Em làm thử bài 4 nhé^^!
Theo Cauchy-schwatz ta có:
[TEX](1+1)(x^4+y^4) \geq (x^2+y^2)^2 \Rightarrow 2(x^4+y^4) \geq (x^2+y^2)^2.[/TEX]
[TEX] 2(x^4+y^4)-x^2y^2\geq (x^2+y^2)^2-x^2y^2=x^4+y^4+x^2y^2.[/TEX]
[TEX](x^4+y^4+x^2y^2)(1+1+1) \geq (x^2+y^2+xy)^2=9[/TEX]
[TEX] \Rightarrow x^4+y^4+x^2y^2 \geq 3.[/TEX]
[TEX] \Rightarrow 2(x^4+y^4)-x^2y^2 \geq 3.[/TEX]
Dấu -= của BDt xảy ra khi...

oài, e nào muk pit mình thía nhỉ?!
hjhj, bài 4 làm như desert_eagle_tl là đúng oy
ak, còn cái bđt e áp dụng ý [TEX](1+1)(x^4+y^4) \geq (x^2+y^2)^2[/TEX] tên là Bunhiacopxki nhé.
còn bài giải của e đúng oy. ^^

 

[desert_eagle_tl]

Bài 1 a + b +c = 1 \Leftrightarrowa^2 + b^2+c^2 = 1 - 2(ab + bc+ac)
Theo Bunhia
(1+1+1)(a^2b^2 + b^2c^2 + C^2a^2 ) \geq ( ab + bc + ac ) ^2
\Rightarrow M \geq ( ab + bc + ac ) ^2 + 3 ( ab + bc + ac ) + 2căn [ 1 - 2(ab + bc + ac )]
Đặt t = ab + bc +ac với t\leq 1/2
Vậy M \geq t^2 + 3t + 2căn ( 1 - 2t )
*Tớ làm theo hướng này , không biết có chính xác không , mong mọi người cho ý kiên

 

[kitty.sweet.love]

Bài 1 [TEX]a + b +c = 1 \Leftrightarrow a^2 + b^2+c^2 = 1 - 2(ab + bc+ac) [/TEX]
Theo Bunhia
[TEX](1+1+1)(a^2b^2 + b^2c^2 + C^2a^2 ) \geq ( ab + bc + ac ) ^2[/TEX]
[TEX]\Rightarrow M \geq ( ab + bc + ac ) ^2 + 3 ( ab + bc + ac ) + 2\sqrt{1 - 2(ab + bc + ac )}[/TEX]

Đặt t = ab + bc + ac
Do [TEX]1 - 2(ab+bc + ac) = a^{2} + b^{2} + c^{2} \geq 0[/TEX]
Nên xét [TEX]f(t) = t^2 + 3t + 2\sqrt{1 - 2t}[/TEX] trên [TEX](- \infty; \frac{1}{2}][/TEX]

 

[desert_eagle_tl]

ẹc , nếu t thuộc khoảng như bạn nói thị làm sao \exists căn được , điều kiện phải là t \leq 1 / 2 chứ @-)@-)@-)@-)@-)@-)@-)@-)@-)

 

[kitty.sweet.love]

ẹc , nếu t thuộc khoảng như bạn nói thị làm sao \exists căn được , điều kiện phải là t \leq 1 / 2 chứ @-)@-)@-)@-)@-)@-)@-)@-)@-)

dạ, giải nhầm cái bpt thui ạ............................

 

[nhochung62]

Bài 1 a + b +c = 1 \Leftrightarrowa^2 + b^2+c^2 = 1 - 2(ab + bc+ac)
Theo Bunhia
(1+1+1)(a^2b^2 + b^2c^2 + C^2a^2 ) \geq ( ab + bc + ac ) ^2
\Rightarrow M \geq ( ab + bc + ac ) ^2 + 3 ( ab + bc + ac ) + 2căn [ 1 - 2(ab + bc + ac )]
Đặt t = ab + bc +ac với t\leq 1/2
Vậy M \geq t^2 + 3t + 2căn ( 1 - 2t )
*Tớ làm theo hướng này , không biết có chính xác không , mong mọi người cho ý kiên

giải như thế này là k được nha bạn

Đặt t = ab + bc + ac
Do [TEX]1 - 2(ab+bc + ac) = a^{2} + b^{2} + c^{2} \geq 0[/TEX]
Nên xét [TEX]f(t) = t^2 + 3t + 2\sqrt{1 - 2t}[/TEX] trên [TEX](- \infty; \frac{1}{2}][/TEX]

t này nằm trong khoảng từ 0 đến 1/3 bạn à

 

[desert_eagle_tl]

làm như thế nào để ra được khoảng đấy ak , bạn nói chi tiết hơn được không

 

[kitty.sweet.love]

Giải típ bài 2 đj.
Lời giải bài 3:
A, B, C là 3 góc của 1 tam giác nhọn \Rightarrow A > B > C \Leftrightarrow sin A > sin B > sin C
[TEX]f(x) = \sqrt{\frac{x - sin A}{x - sin C}} + \sqrt{\frac{x - sin B}{x - sin C}}[/TEX]

• TXĐ : (- \infty; sin C) \bigcup_{}^{} [sin A; + \infty)
• [TEX]f'(x) = \frac{sin A - sin C}{2(x - sin C)^{2}}\sqrt{\frac{x - sin C}{x - sin A}} + \frac{sin B - sin C}{2(x- sin C)^{2}}\sqrt{\frac{x - sin C}{ x - sin B}} > 0[/TEX]

Từ đó suy ra bảng biến thiên



p/s: sai hay đúng nhỉ???????

 

[kitty.sweet.love]

giải như thế này là k được nha bạn



t này nằm trong khoảng từ 0 đến 1/3 bạn à

sao lại nằm trong khoảng này thía????? ĐK của t bạn giải làm sao dzậy????????

 

[nhochung62]

vì a,b,c \geq0 \Rightarrow ab+bc+ca\geq0
và ab+bc+ca\leq (a+b+c)^2/3=1/3

bài 2:
[TEX]a+b+c=pi\leq3C \Rightarrow C\geqpi/3[/TEX] do đó: C thuộc[TEX] [pi/3;pi/2)[/TEX]
[TEX]cos3x=4cos^3x-3cosx[/TEX]
[TEX]cos2x=2cos^2x-1[/TEX]
đặt [TEX]cosx=t[/TEX]
[TEX]=> F=8t^2-8t-6+5/t[/TEX]
[TEX]f'=16t-8-5/t^2 =8(2t-1)-5/t^2<0[/TEX]
[TEX]=> F [/TEX]nghịch biến
[TEX]=> f=<f(1/2)=2[/TEX]
[TEX]=> min F=2[/TEX]

 

[kitty.sweet.love]

Bài 3 mình giải thế đúng chưa nhỉ????? Ai có cách giải khác cho mình xjn vs?????????????

 

[kitty.sweet.love]

Bài 1 a + b +c = 1 \Leftrightarrowa^2 + b^2+c^2 = 1 - 2(ab + bc+ac)
Theo Bunhia
(1+1+1)(a^2b^2 + b^2c^2 + C^2a^2 ) \geq ( ab + bc + ac ) ^2
\Rightarrow M \geq ( ab + bc + ac ) ^2 + 3 ( ab + bc + ac ) + 2căn [ 1 - 2(ab + bc + ac )]
Đặt t = ab + bc +ac với t\leq 1/2
Vậy M \geq t^2 + 3t + 2căn ( 1 - 2t )
*Tớ làm theo hướng này , không biết có chính xác không , mong mọi người cho ý kiên

Đặt t = ab + bc + ac

Ta có [TEX]a^{2} + b^{2} + c^{2} \geq ab + bc + ac[/TEX]
[TEX]\Rightarrow 1 = (a+b+c)^{2} = a^{2} + b^{2} + c^{2} + 2(ab + bc + ac) \geq 3( ab + bc + ac)[/TEX]
[TEX]\Rightarrow \left{\begin{a^{2} + b^{2} + c^{2} = 1 - 2t}\\{0 \leq t \leq \frac{1}{3}}[/TEX]

Theo Bunhia ta có : [TEX]t^{2} = (ab + bc+ac)^{2} \leq 3(a^{2}b^{2} + b^{2}c^{2} + c^{2}a^{2})[/TEX]

[TEX]\Rightarrow M \geq t^{2} + 3t + 2\sqrt{1-2t} = f(t)[/TEX]

[TEX]f'(t) = 2t + 3 - \frac{2}{\sqrt{1-2t}}[/TEX]
[TEX]f''(t) = 2 - \frac{2}{\sqrt{(1-2t)^{2}} < 0 [/TEX] [TEX] \forall t \in [0;\frac{1}{3}] [/TEX]
\Rightarrow f'(t) là hàm giảm

[TEX]f'(t) \geq f'(\frac{1}{3}) = \frac{11}{3} -2\sqrt{3} > 0 [/TEX] \Rightarrow f tăng
[TEX]\Rightarrow f(t) \geq f(0) = 2 \forall t \in [0;\frac{1}{3}][/TEX]

\Rightarrow M \geq 2, \forall a,b, c > 0 thỏa mãn [TEX] \left{\begin{a+ b+ c=1}\\{ab = bc = ac} \Leftrightarrow (0;1;0) or (1;0;0) or (0;0;1)[/TEX]​